2024-2025学年度第一学期高二数学期中模拟试卷（一）含答案

2024-2025学年度第一学期高二数学期中模拟试卷（一）总分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线，，则“”是“”的（）条件A.必要不充分 B.充分不必要C.充要 D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根据直线平行求得，结合充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】若，则，解得或，当时，和的方程都是，两直线重合，不符合题意.经验证可知，符合.所以“”是“”的充要条件.故选：C2.抛物线的焦点到其准线的距离为（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】将抛物线方程化为标准式，即可得到，再根据的几何意义得解；【详解】解：抛物线，即，则，所以，所以抛物线的焦点到其准线的距离为.故选：C3.已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案．【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，所以，，则，所以，所以的周长为，故选C．4.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意得到，，进而得到，求出渐近线方程.【详解】由题意得，，解得，，故，故双曲线渐近线方程为.故选：C5.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（）A. B. C.12 D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，又，所以，即实数的值为12.故选：C6.点在曲线上，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.【详解】如图，曲线为圆上半圆，圆心，半径为2，，表示点到直线距离的5倍，点到直线的距离，即直线与圆相离，点到直线的距离，最小值为，最大值为，则的取值范围为.故选：B7.焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.【详解】解：设椭圆方程为，且设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，所以，又在椭圆上，可得：，两式相减得，整理得：，则，所以，又直线的斜率为，所以，即，所以椭圆的焦距为，所以，则，故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.故选：A.8.已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出轨迹方程，再根据直线与圆有交点，结合点到直线距离公式即可求解.【详解】设，根据直线解析式，直线与轴交点，因为，圆心，半径；根据题意，，又因为，则有：，化简整理得，，故的轨迹为，是圆心为，半径为的圆；因为存在，则直线与圆有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径，所以，即，整理得：，解得；故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.曲线，下列结论正确的有（）A.若曲线表示椭圆，则且不等于0 B.若曲线表示双曲线，则焦距是定值C.若，则短轴长为2 D.若，则渐近线为【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆双曲线简单几何性质逐项判断即可.【详解】对于:表示椭圆,则,即,故正确;对于:表示双曲线,则,即,当时,,焦距不是定值,故错误;对于:时,为椭圆,短轴长,故正确;对于:时,为双曲线,渐近线方程为,故错误;故选:.10.已知直线和圆，则下列选项正确的是（）A.直线恒过点B.圆与圆有三条公切线C.直线被圆截得的最短弦长为D.当时，圆上存在无数对关于直线对称的点【答案】ACD【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A，根据两圆的位置关系即可求解B，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解C，根据直线经过圆心即可求解D.【详解】对于A，由直线的方程，可知直线恒经过定点，故A正确；对于B，由圆的方程，可得圆心，半径，又由，由于，所以圆与圆相交，圆与圆有两条公切线，故B错误；对于C，由，根据圆的性质，可得当直线和直线垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为，故C正确；对于D，当k=1时，直线，将圆心代入直线的方程，可得，所以圆上存在无数对关于直线对称的点，故D正确，故选:ACD.11.设椭圆的右焦点为，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则以下命题正确的有（）A.B.时，三角形面积为C.直线与直线斜率之积是定值D.当与平行时，四边形的面积最大【答案】ABD【解析】【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；对于C选项，按照选项内容建立起直线和直线的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从而根据表达式得出面积最大时，和的位置关系.【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，焦距为，则由题意可知，，，，，∴，，，直线过原点，且在第一象限，∴设直线的方程为：，，∵经过原点，∴，即：，∴，即：，故A正确；如图所示：设椭圆的左焦点为，连接，，，，由对称性可知：四边形是平行四边形，又：，，设，，，由余弦定理可知：，即：，即：，解得：，∴，又：，∴，，∴，∴，故B正确；设：，点在第一象限，∴，由对称性知：，∴，，∴，又：在椭圆上，∴，∴，即有：，直线与直线的斜率之积与直线的斜率有关，不是定值，故C错误；如图所示：，当且仅当：，即：，，时等号成立，而，此时，∴当与平行时，四边形的面积最大，最大面积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆的方程是，则圆心的轨迹方程为________.【答案】【解析】【分析】将圆方程化成标准方程可得出圆心坐标为，再根据表示圆的条件消去参数即可得圆心的轨迹方程.【详解】因为方程表示圆，即表示圆,所以，解得,易知圆心坐标为，且，设圆心坐标为，则有，消去，得即为所求圆心的轨迹方程.故答案为：13.已知为椭圆上的点，，则线段长度的最小值为__________.【答案】##【解析】【分析】记线段的长度为，表达的函数，利用,；，结合二次函数的性质即可求的最小值．【详解】设，记线段的长度为，是椭圆上任意一点，设,,,所以：．由于，故时，有最小值，且的最小值，故答案为：14.直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．【答案】或【分析】由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得.【解析】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：或

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆，直线过点.（1）当直线与圆相切时，求直线的斜率；（2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出.【小问1详解】已知的圆心是，半径是，设直线斜率为则直线方程是，即，则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.【小问2详解】设点则，由点是的中点得，所以①因为在圆上运动，所以②①代入②得，化简得点的轨迹方程是.16.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．（1）求抛物线C的方程；（2）若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程；（2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解.小问1详解】由题意设抛物线方程为，其准线方程为，∵到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴∴∴抛物线C的方程为【小问2详解】由消去y，得,∵直线与抛物线相交于不同两点A、B，则有,解得且，又，解得，或（舍去）∴的值为．17.已知圆.（1）证明：圆过定点.（2）当时，求直线被圆截得的弦长.（3）当时，若直线与圆交于两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）对式子变形为，由于与无关，列方程求解即可得定点；（2）求出圆心到直线距离，再结合垂径定理求解弦长即可；（3）联立直线与圆的方程，韦达定理，利用数量积的坐标运算列不等式，求解即可.【小问1详解】由，得，令，得，解得，所以圆过定点，且定点的坐标为.【小问2详解】当时，圆的标准方程为，则圆的圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.【小问3详解】将代入，得.则恒成立，设，则，所以，整理得，则，所以的取值范围是.18.已知椭圆C：的焦距为，离心率为.（1）求C的标准方程；（2）若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案.（2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可.【小问1详解】由题意得，，，又，则，则，所以C的标准方程为.【小问2详解】由题意设，，如图所示：联立，整理得，，则，，故.设直线l与x轴交点为，又，则，故，结合，解得.19.已知圆C：与圆的相交弦长为（1）求圆C的半径R的值；（2）若对于的圆，已知点，点，在圆C上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为2，求证：直线MN经过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）或（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意，联立两圆的方程，结合勾股定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，