2024-2025学年高中数学第五章数列5.2.1等差数列课后习题含解析新人教B版选择性必修第三册

第五章数列5.2等差数列5.2.1等差数列课后篇巩固提升基础达标练1.已知等差数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,2a+3,则此数列的通项公式为()A.an=2n-5 B.an=2n-3C.an=2n-1 D.an=2n+1解析由题意得2(a+1)=(a-1)+(2a+3),解得a=0.所以{an}的前三项分别为-1,1,3,即a1=-1,d=2.故an=-1+(n-1)·2=2n-3.答案B2.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12 B.16 C.20 D.24解析a2+a10=a4+a8=16,故选B.答案B3.一个等差数列的首项为23,公差为整数,且前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为()A.-2 B.-3 C.-4 D.-5解析设公差为d,d∈Z,由a6=23+5d>0,且a7=23+6d<0,得-235<d<-236.∵d∈Z,∴d=-答案C4.(2024湖南长沙高三月考)元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题:“今有竹七节,下两节容米四升,上两节容米二升,各节欲均容,问逐节各容几升?”其大意为:现有一根七节的竹子,最下面两节可装米四升,最上面两节可装米二升,假如竹子装米量逐节等量削减,问竹子各节各装米多少升?以此计算,第四节竹子的装米量为()A.1升 B.32升 C.23升 D.解析设竹子自下而上的各节容米量分别为a1,a2,…,a7,则有a1+a2+a6+a7=6,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4=3,所以a4=32.故选B答案B5.若等差数列的第一、二、三项依次是1x+1,56x,解析依题意得2×56x=1x+1+1答案16.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20=.

解析设其公差为d,∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105.∴a3=35.同理,由a2+a4+a6=99,得a4=33.∴d=a4-a3=-2.∴a20=a4+16d=33+16×(-2)=1.答案17.一种嬉戏软件的租金,第一天6元,其次天12元,以后每天比前一天多3元,则第n(n≥2)天的租金an=(单位:元).

解析a1=6,a2=12,a3=15,a4=18,…,从其次项起,{an}才构成等差数列,且公差为3,在这个等差数列中第一项是12,而第n天的租金,是第n-1项,故an=12+(n-2)×3=3n+6(n≥2).答案3n+6(n≥2)8.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项?假如是,那么是第几项?解(1)由a1=8,d=5-8=2-5=-3,得数列的通项公式为an=-3n+11,令n=20,得a20=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得数列通项公式为an=-5-4(n-1).令an=-401,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.9.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.解设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,∴d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.10.(2024湖南长沙高二学业考试)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=14(an+1)2(n∈N+)(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等差数列.(1)解由已知条件得,a1=14(a1+1)2∴a1=1.又有a1+a2=14(a2+1)2,即a22-2a2-3解得a2=-1(舍)或a2=3.(2)证明由Sn=14(an+1)2当n≥2时,Sn-1=14(an-1+1)2∴Sn-Sn-1=14[(an+1)2-(an-1+1)2=14[an2-an即4an=an2-an-12+2∴an2-an-12-2a∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0,∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2).所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.实力提升练1.在正整数100至400之间能被11整除的整数的个数是()A.25 B.26 C.27 D.28解析由100≤11k≤400(k∈Z),得9111≤k≤36411.故k=10,11,…,36,共36-10+1=27(个答案C2.设{an}是首项为50,公差为2的等差数列,{bn}是首项为10,公差为4的等差数列,以ak和bk为两边的矩形内的最大圆的面积记为Sk,假如k≤21,那么Sk等于()A.π(k+24)2 B.π(k+12)2C.π(2k+3)2 D.π(2k+1)2解析由题意,得ak=2k+48,bk=4k+6,bk-ak=(4k+6)-(2k+48)=2k-42.∵k≤21,∴2k-42<0,∴bk<ak,∴矩形内的最大圆是以bk为直径的圆.因此Sk=π(2k+3)2.答案C3.已知等差数列{an}的首项为a,公差为b,且不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集为{x|x<1或x>b},则数列{an}的通项公式为.

答案an=2n-14.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|等于.解析设a1=14,a2=14+d,a3=14+2d,a4=14+3d,而方程x2-2x+m=0的两根之和为2,方程x2-2∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4.∴d=12因此a1=14,a4=74是一个方程的两根,a2=34,a3=∴m,n分别为716∴|m-n|=12答案15.已知函数f(x)=cosx,x∈(0,2π)有两个不同的零点x1,x2,且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4,若把这四个数按从小到大排列,能构成等差数列,则实数m=.

答案-36.(2024新疆维吾尔自治区喀什其次中学高二期末)等差数列{an}中,a3=8,a7=20.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列1anan+1的前n项和解(1)设等差数列公差为d,由a7-a3=4d=12,得d=3,∴an=3n-1.(2)∵1=131∴Sn=1a1a2=1312-1=1312-7.已知数列{an}满意a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).(1)设bn=an2n,求证数列{bn}是等差数列(2)若数列{cn}满意cn=2n+1,且对于随意正整数n,不等式abn+4≤1+1c分析本题(1)事实上降低了难度,构造数列{bn},使其构成等差数列并求解.由定义,只需证明bn-bn-1=d(n≥2)即可.(2)恒成立问题通常转化为与最大值、最小值比较.a≤1bn+4(1)证明∵an=2an-1+2n+1,∴an2n=an-12n-∵bn=an2n,∴bn=bn-1+2(n≥2,n∈N又b1=a12∴{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.∴bn=1+(n-1)×2=2n-1.(2)解由abn+4≤1+1c11+1c2…1+1cn,记f(n)=12则f=4n2+16又f(n)>0,∴f(n+1)>f(n),即f(n)单调递增.故f(n)min=f(1)=4515,∴0<a≤即a的取值范围是0,素养培优练数列{an}满意a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.解(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)数列{an}不行能为等差数列,证明如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ