2025届福建省高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题（含答案解析）

2025届高中毕业班适应性练习卷（二）数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和练习卷的指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本练习卷上无效．3．考试结束后，将练习卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先将因式分解，然后解不等式，利用两个根的关系分类讨论，求出的取值范围即可.【详解】由题可知，当时，无解，得，此时；当时，解，得，此时，；当时，解，得，此时，要使，则；综上所述，.故选：A2.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，利用复数乘法和复数相等的概念求出，再利用复数的模长公式求解即可.【详解】设，则，所以，解得，所以，.故选：D.3.在中，点是边上一点，若，则的最小值为（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】在中，点是边上一点，，则，，当且仅当，即时取等号，所以最小值为.故选：B4.将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象的变换可得，进而解方程可得，可求的值..【详解】将函数图象向右平移后，可得平移后的解析式为，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，可得，由方程，可得，所以，因为，所以，因为方程在内有两不等实根，所以，所以，所以.故选：A.5.已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是（）A.49π B.56π C.65π D.130π【答案】C【解析】【分析】作出正四棱台及其内切球的轴截面，求出正四棱台的上底面边长，再求出外接球半径即可得解.【详解】正四棱台下底面边长，设其内接球半径为，则，解得，取的中点，则四边形内切圆是正四棱台内接球的截面大圆，则四边形是等腰梯形，，而，，整理得，而，则，设为正四棱台外接球球心，为该球半径，则，令分别为正四棱台上下底面的中心，则，，，，当球心在线段时，，解得，球的表面积为；当球心在线段的延长线时，，无解，所以所求外接球表面积是.故选：C6.设数列的前面和为，若，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解.【详解】数列an中，由，得，整理得，则，数列是以为首项，1为公差的等差数列，于是，即，而满足上式，因此，，，ABD错误，C正确.故选：C7.设曲线的方程为（，为系数），则（）A.曲线一定经过第一象限 B.当，曲线可能为抛物线C.曲线一定经过第三象限 D.当，曲线一定关于直线对称【答案】D【解析】【分析】分别对曲线的方程中的系数，进行赋值，即可排除A,C项，对于B，因时，曲线表示直线或抛物线，排除B，对于D，分都等于0和相等但不为0两种情况分析讨论，均能验证曲线关于直线对称.【详解】对于A，当时，由化简得，，则可得，或，此时曲线表示轴或开口向下且顶点在原点的抛物线，显然图象不经过第一象限，故A错误；对于B，当时，由化简得，可得，或，当时，曲线显然不是抛物线，当时，曲线表示轴或焦点在轴上的抛物线，故B错误；对于C，当时，由化简得，，即或，即曲线表示轴或轴，因而图象不经过第三象限，故C错误；对于D，若时，由C分析知，曲线表示轴或轴，显然关于直线对称；若相等但不为0时，由可得，若点在曲线上，即，而对于，有，即必有在曲线上，而点与关于直线对称，故D正确.故选：D.8.已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性，结合导数运算法则逐项判断即可.【详解】因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以为偶函数，故C错误；又对两边求导，得，即，所以是偶函数，故B错误；由，可得，由，可得，所以，即fx+2=−fx，即得所以是周期为4的函数，则，所以fx−1是奇函数，故A正确；由，可得，即，又由，可得，所以，即为偶函数，所以为偶函数，故D错误.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.设是非空的实数集，若，则（）A.函数的定义域为 B.函数的值域为C.函数值域为 D.函数无极值【答案】AD【解析】【分析】由函数定义可判断A和B，令，可判断C，对求导可判断D.【详解】由函数的定义可知，集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，所以函数的定义域为，值域为集合的子集，故A正确，B错误；对于C，当，时，值域不为，故C错误；对于D，，所以单调递增，无极值，故D正确.故选：AD.10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，现在丢失了其中一个数据，另外六个数据分别是7，9，10，7，15，7．将丢失数据的所有可能值从小到大排列成数列an，记，则（）A. B.C.an是等差数列 D.a【答案】AC【解析】【分析】设丢失的数据是，求出平均值和众数，然后根据的大小得出中位数，根据已知等差数列求出的所有可能值，判断各个选项得出结论．【详解】设丢失的数据是，则这组数据的平均数为，众数显然是7，所以中位数为，当时，有，解得，当时，有，解得，当时，有，解得，所以丢失的数据所有可能值为，则.对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，D，由，，，所以是等差数列，故C正确，D错误.故选：AC.11.若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（）A.若，则是3阶聚合点集B.存在对任意正数，使不是阶聚合点集C.若，则不是阶聚合点集D.“”是“是阶聚合点集”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】根据集合新定义的规定，易判断A正确；通过举反例排除B；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断C；运用等价转化思想，即可得到D正确.【详解】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确；对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误；对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确；对于D，因是阶聚合点集等价于，因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡的相应位置．12.正八面体中，以其顶点为顶点三棱锥的个数为___________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】根据给定条件，利用几何图形组合计数问题，结合排除法列式计算即得.【详解】作出正八面体，如图，正八面体共有6个顶点，其中有3组不同的四点共面，则以正八面体顶点为顶点的三棱锥的个数为.故答案为：1213.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为______．【答案】##0.5【解析】【分析】根据题意得到的值，然后利用离心率公式求出椭圆的离心率.【详解】设圆柱的底面半径为，由题意可知，，即，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.14.已知函数，则曲线的对称中心为___________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用对称中心的定义计算判断即得.【详解】曲线的对称中心为，则，即，整理得，依题意，与无关，则，解得，此时，所以曲线的对称中心为.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在，角所对的边分别为，已知．（1）证明：；（2）是否存在内一点使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）不存在【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换以及辅助角公式可将原式化为，根据三角函数最值即可得，可得结论；（2）由（1）可知点在的边的中线上，再由的最小值为可得，可得不成立.【小问1详解】由题意可知，即，则，即，其中；其中和的最大值为1，故上式只有当时，等号成立；故，由正弦定理可得，所以【小问2详解】因为，所以为的重心，因为，为各边中线的交点，因此；又因为点在内部，点在内的直线上的动点，如下图所示：当点与点重合时，取得最小值，即，所以恒成立，显然与，即矛盾，故内不存在点使得且同时成立.16.如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面．（1）证明：；（2）若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）在平面内过作，以为原点，建立空间直角坐标系，借助面面垂直求出平面的法向量，再计算即可得证.（2）设出点的坐标，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求出夹角余弦的函数关系即可求出范围.【小问1详解】在平面内过作，而平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，设，设平面的法向量，则，令，得，而平面的法向量为，平面平面，则，解得，于是，而，则，所以.【小问2详解】设点，显然，，设平面的法向量，则，令，得，由（1）知，平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，于是，所以平面与平面夹角余弦值的取值范围.17.已知函数．（1）讨论函数的零点个数；（2）若有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）或时，函数有一个零点，时，函数有三个零点；（2）．【解析】【分析】（1）求出函数的导数，在对按，和分类讨论确定的零点个数，其中要特别注意零点存在定理的应用.（2）利用得，又，结合基本不等式可得范围．【小问1详解】，则，令，则，（i），即时，，函数单调递增，函数在上的取值集合为，而在上的取值集合为，则存在，使得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，，而当趋近于0时，趋近于，因此只有一个零点；（ii）当，即时，，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，则，函数在上单调递减，而，因此只有一个零点；（iii）当，即时，由，得，由，得，函数，即在上单调递增，在上单调递减，，由（i）知，存在，使得，而，令，，又，则存在，使得，即当或时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，显然，因此，又当趋近于0时，趋近于，因此在上有一个零点，而，，令，，求导得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，函数在上单调递减，，函数在上单调递减，，即，因此在上有一个零点，又1是的零点，此时有三个零点，所以或时，有一个零点，时，有三个零点．【小问2详解】由（1）讨论知是函数的一个零点，又，则，即，，因此，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点个数问题有两种基本方法，一是利用函数导数确定函数的单调性、极值，然后结合零点存在定理得出零点个数，二是利用参数分离法，转化为求直线与函数图象的交点个数，从而只要利用导数确定新函数的单调性与极值，得出函数的变化趋势后可得结论．18.为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．（1）在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率；（2）记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；（3）设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．【答案】（1）（2）（3）4【解析】【分析】（1）利用条件概率公式计算；（2）将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后结合等比数列求和公式计算概率；（3）根据概率最大列不等式，然后解不等式即可.【小问1详解】设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，，，故，所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为.【小问2详解】由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，所以，故数列的通项公式为.【小问3详解】设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，则概率，要使最大，即使最大，所以，即，化简得，且，又在0,+∞上单调递减，所以，综上所述，.【点睛】关键点睛：（2）的解题关键在于将个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”转化为最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，然后求概率.19.贝塞尔