2022年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试题（含答案解析）

2022年3月数学试卷注意事项：1.本试卷共4页，共36道小题，总分100分，考试时间120分钟.2.所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答卷上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.3.答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，请将答错的原选涂答案擦干净，再选涂其他答案.4.考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回.一、选择题（本题共8道小题，每小题2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的运算求解即可.【详解】因为集合，，所以.故选：C2.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将直线方程变形为斜截式即可得斜率.【详解】直线，即.所以直线的斜率为.故选：D.3.在公差为的等差数列中，若，则（）A.4 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列通项公式即可求解【详解】因为为公差为的等差数列，所以故选：D4.若实数a，b，c满足，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解.【详解】因为，，由不等式性质可知，，故AC错误；由，可得，不等式性质可知，故B错误；由可知，所以，即，又，所以，故D正确.故选：D5.已知是第四象限角，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求出的值，再由求解即可.【详解】解：因为，是第四象限角，所以，所以.故选：D.6.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得.【详解】不等式，即，解得，所以不等式的解集为.故选：A7.已知向量，，若，则实数（）A.1 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式，求得结果.【详解】由，可得，解得.故选：A.8.圆的周长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用给定的圆方程求解圆的半径，再利用圆的周长公式计算即可.【详解】因为即，所以圆的半径为，所以圆的周长为，故B正确.故选：B.二、选择题（本题共28道小题，每小题3分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）9.样本数据，，，，，的平均数为5，若，则数据，，，，的平均数是（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据平均数定义计算可得，代入计算可得结果.【详解】依题意可知，又可得，因此数据，，，，的平均数是：.故选：C10.已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是，则该圆锥的侧面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式计算即得.【详解】由圆锥的母线与底面所成的角是，得圆锥轴截面等腰三角形且底角为，所以圆锥轴截面等腰三角形是正三角形，因此圆锥母线长为2，所以该圆锥的侧面积是.故选：B11.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意中的解析式，先求出，再求即可.【详解】由题意知，，，所以.故选：B12.从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.【详解】记2名男生为，2名女生为，任意选出两人样本空间，共6个样本点，恰好一男一女生的事件，共4个样本点，所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故选：A13.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可．【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减，所以函数在区间上为减函数，A选项错误；对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确；对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误；对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误.故选：B14.已知为平面，l，m，n为三条不同的直线，给出以下四个结论：①若l，m与n所成的角相等，则；②若l，m与所成的角相等，则；③若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°；④若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°.其中正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】D【解析】【分析】由空间中线面位置关系，线线所成的角，线面所成的角的概念逐个判断即可.【详解】若l，m与n所成的角相等，则可能平行，可能相交，故①错误；若l，m与所成的角相等，则可能平行，可能相交，故②错误；若l与n所成的角等于30°，，则m与n所成的角等于30°，故③正确；若l与所成的角等于30°，，则m与所成的角等于30°，故④正确；故选：D15.已知正数满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，当且仅当时取等号，故选：C.16.等比数列中，若，，则（）A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列下标和性质运算求解即可.【详解】因为数列为等比数列，且，，则，所以.故选：D.17.已知向量，满足，，，则（）A. B. C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】将分别进行平方，借助的值联系起它们的关系，从而求解.【详解】由题知，，则，，则.故选：A18.如图，在正方体中，E是棱的中点，则异面直线DE和所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设为的中点，连接，可证或其补角即为异面直线DE和所成的角，故可求它的余弦值.【详解】设为的中点，连接，由正方体的性质可得则四边形为平行四边形，故，而为所在棱中点，故，故，故或其补角即为异面直线DE和所成的角，设正方体的棱长为2，则，故，故异面直线DE和所成的角的余弦值为，故选：C.19.在中，设，，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用给定条件结合平面向量的线性运算求解即可.【详解】因为，，，所以，因为，，所以，故D正确.故选：D.20.已知函数，若，且，则（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案.【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增，又，且，则，解得.故选：B21.若球O被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心O到该截面的距离为1，则球O的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案.【详解】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为，又因为球心到该截面的距离为1，所以球的半径为，所以球的表面积为.故选：B.22.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果.【详解】由题意，得.故选：A.23.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的运算法则及对数函数的性质计算即可.【详解】易知，而，所以，即.故选：A24.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理可求，从而可求.【详解】由正弦定理可得，故，因为，故，故为锐角，故，故选：A.25.已知函数为上的奇函数，则实数（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可.【详解】因为函数为上的奇函数，则，解得，若，则，且定义域为，则，所以函数为上的奇函数，综上所述：.故选：A.26.若，则（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用余弦的和角公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：C27.已知函数，且为偶函数，给出以下四个结论：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则.其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数，可得关于直线对称，即可求出a，可得表达式，结合基本不等式可判断①②；利用二次函数的对称性可判断③；结合二次函数表达式化简可判断④.【详解】由于函数，且为偶函数，故可得关于直线对称，即的对称轴为，则，即，对于①，若，则，当且仅当，即时取等号，故，①正确；对于②，若，，当且仅当，即时取等号，故，②正确；对于③，若，且，即时，，则，③正确；对于④，若，则，即得，④正确，故正确结论的个数是4，故选：D阅读下面的材料，完成下面小题.28.夕阳红旅行社为了解某城市年龄在60～65岁居民单次旅游消费支出（单位：千元）的分布情况，在这一年龄段居民中随机调查了120大，把所得样本数据分组为：，，，，，并绘制出如图所示的频率分布直方图.（1）该城市这一年龄段居民单次旅游消费支出的众数的估计值是（）A.2.5 B.3.0 C.3.5 D.4.0（2）设该城市这一年龄段居民单次旅游消费支出的中位数的估计值是（）A. B. C. D.（3）若同一组数据用该区间的中点值作代表，则该城市这一年龄段居民单次旅游消费支出的平均数的估计值是（）A.4.2 B.4.1 C.4.0 D.3.9【答案】（1）B（2）C（3）B【解析】【分析】（1）众数即为频率最高那一组的组中值；（2）中位数为面积为时的值；（3）频率直方图平均数的公式代入计算即可.【小问1详解】由图像可知，区间频率最高，故众数为3，故选B；【小问2详解】前两组数据的频率和为，所以中位数的估计值应该在之间，故选C；【小问3详解】根据频率分布直方图，平均数为，故选B.根据下面的题设，完成下面小题.29.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，侧面底面，E，F分别为的中点．（1）若，则三棱锥的体积是（）A. B. C. D.（2）下列结论正确的是（）A. B. C.平面 D.平面（3）直线与平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】（1）D（2）C（3）D【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质及三角形中位线得出三棱锥的高的长度，再根据三棱锥体积公式求解即可；（2）通过构造三角形中位线，结合余弦定理即可说明AB；由面面平行的判定及性质即可判断C；由线面垂直的性质即可说明D；（3）取中点为，连接，由面面垂直的性质及三角形中位线得出平面，进而得出直线与平面所成角即为，即可求解．【小问1详解】连接，因为侧面是等边三角形，为中点，所以，因为底面正方形，，所以，又因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，取中点，连接，又为的中点，则，且，平面，所以三棱锥的体积为，故选：D．【小问2详解】对于A，由（1）得，平面，又平面，所以，在中，，，则，取中点为，连接，则，在中，，所以与夹角余弦值为，故A错误；对于B，取的中点，连接，则，，因为平面，平面，所以，所以，又因为分别为的中点，所以，在中，，所以，则与夹角为，故B错误；对于C，由B知，，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因为平面，且，所以平面平面，又平面，所以平面，故C正确；对于D，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又因为为的中点，所以，在中，，所以与不垂直，又平面，所以与平面不垂直，又因为平面平面，所以与平面不垂直，故D错误；故选：C．【小问3详解】由（2）知，平面，取中点为，连接，，则，因为为中点，所以，，所以平面，所以直线与平面所成角即为，在中，，所以直线与平面所成角的余弦值为，故选：D．根据下面的题设，完成下面小题.30.已知函数.（1）函数的定义域是（）A.， B.，C.， D.，（2）当时，函数的最大值是（）A.0 B. C. D.（3）若恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】（1）A（2）C（3）B【解析】【分析】（1）根