专题18-26 勾股定理（知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）

专题18.26勾股定理（知识点分类专题）

（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

【类型一】勾股定理

【知识点①】勾股数与勾股树

1.下列各组数中，是勾股数的是（）.

A.1,2,3B.73,2,710C.，出,61D.9,12,15

2.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下

的表格中.

a68101214

h815243548

c1017263750

则当。=24时，%+c的值为（）

A.162B.200C.242D.288

【知识点②】勾股定理两点之间距离公式

3.在平面直角坐标系中，已知点4（-2,1）,点8（4,6）-1^^（7,2）,点。（2,3）,则下

列说法正确的是（）

A.AB=2CDB.BC=2ADC.AC=2BDD.BC=2CD

4.在平面直角坐标系中，已知定点A（-3,2）,B（m,n）,其中“〃为常数且优3,

点C为平面内的动点，若4<7〃*轴，则线段8c长度的最小值及此时点C的坐标分别为（）

A.-2|,（〃%2）B.\m-2|,（-3,n）

C.|n+3|,（m,2）D.|加+3|,（-3,n）

【知识点③】勾股定理>•”面积问题A”求值

5.已知直角三角形A8C的一条直角边M=12cm、斜边47=1女m,则以AB为轴旋

转一周，所得到的圆锥的底面积是（）

A.907rcm2B.209兀cm?C.1557rcm2D.25ncm2

6.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，

如图以直角三角形的各边为边分别向同侧作正方形，若知道图中阻影部分的面积之和，则一

定能求出（）

A.正方形ABE。的面积B.正方形AC/G的面积

C.正方形的面积D.ABC的面积

【知识点④】勾股定理格点问题人-求值

7.如图，在边长为1的正方形网格中，4、B、C均在正方形格点上，则C点到A8的

距离为（）

8.如图，正方形网格中，每一小格的边长为1.网格内有则NPAB+NP8A的

度数是（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

【知识点⑤】勾股定理折叠问题求值

9.如图，Rt^ABC中，45=4,BC=3,2B90?,M,N分别是边AC,AB上的两

个动点，将MC沿直线折叠，使得点A的对应点。落在BC边的中点处，则线段BN

的长为（）

10.如图，将三角形纸片ABC沿AO折叠，使点C落在BO边上的点E处.若8c=12,

BE=2,贝IAB?-AC?的值为（）

A

A.20B.22C.24D.26

【知识点⑥】勾股定理勾股定理的证明★g股定理与无理数

11.如图，在四边形中，AB//DE,M_L8£）,点C是边8£＞上一点，BC=DE=a,

CD=AB=。，AC=CE=c.下歹ij结论：①4ABC四△CDE；②ZACE=90°；③四边形ABDE

171911

的面积是5（a+。）-：®-（a+hy--c2=2x-ab；⑤该图可以验证勾股定理.其中正确的结

论个数是（）

BCbD

A.2个B.3个C.4个D.5个

12.如图，A8C是直角三角形，点C表示-2,且AC=3AB=3,若以点C为圆心，以

CB为半径画弧交数轴于点则A,M两点间的距离为（）

\B

A.75+1B.V10-3C.710-2D.Vio-l

【知识点⑦】勾股定理A“勾股定理—证明A“线段的平方关系

13.在RtZXABC中，ZC=90°,ZA,ZB,NC的对边分别是a,b,c,若a+6=14cm,

c=10cm,则Rt/XABC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

14.在△ABC中，/A,NB,/C所对的边分别为a,b,c,且/A：NB：ZC=1：1：

2,则下列说法中，错误的是（）

A.ZC=90°B.a=hC.<?=2«2D.a2=h2-c2

【知识点⑧】勾股定理弦图问题值问题

15.如图，要在河边/上修建一个水泵站，分别向A村和3村送水，已知A村、3村到

河边的距离分别1km和3km,且C。相距3km,则铺水管的最短长度是（）km

B

A

--------0---------------------0---------1

---•C---------------D-------

A.5B.4C.3D.6

16.我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的

直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC,交BE于点P,

如图所示，若正方形A88的面积为28,AE+EB=7,则S»-S但的值是（）

C.4D.7

【类型二】勾股定理的逆定理

【知识点①】勾股定理的逆定理>*”直接判断能否构成直角三角形

17.若4ABe的三边a、b、c,满足(a-b)(Y+4一,2)=0,则.ABC是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

18.下列条件不能判定J18C是直角三角形的是()

A.ZA=2ZB=3ZCB.AB：AC：BC=3：4：5

C.ZA：ZB：ZC=3：4：7D.AO是ABC的一条中线，BC=2AD

【知识点②】勾股定理的逆定理网格上判断能否构成直角三角形

19.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是()

20.如图，和一ABC的顶点均在边长为1的小正方形网格格点上，则N84C的

度数为()

C.150°D.无法计算

【知识点③】勾股定理的逆定理求值

21.如图，在四边形ABCD中，AB^AD=6,ZA=60。,8c=10,C£>=8,贝Ij/ADC

A.110°B.120°C.150°D.160°

22.A48c的三边长分别为a,b,且这三边长满足(a-3)2++|c-5|=0,则

△ABC最长边上的高/?=()

A.3B.4C.5D.—

5

23.如图，在四边形ABC。中，AB=BC=3,C0=J7,DA=5,ZB=90°,则/8C£>

的度数为（）

24.AABC的三边长a,b,c满足(6-12)2+|c-13|=0,则4ABC的面积是

()

A.65B.60C.30D.26

【类型三】勾股定理及其逆定理

【知识点①】勾股定理及其逆定理》”最值问题

25.已知在AABC中，。为BC的中点，A£>=6,BD=2.5,AB=6.5,点P为AO边上

的动点.点E为A8边上的动点，则PE+PB的最小值是()

60-60

——D.—

1311

26.如图，线段OA=2,OP=\,将线段OP绕点O任意旋转时，线段AP的长度也随

之改变，则下列结论：

①AP的最小值是1,最大值是4；

②当AP=2时，△APO是等腰三角形；

③当AP=1时，AAPO是等腰三角形；

④当时，△APO是直角三角形；

⑤当4尸=石时，△APO是直角三角形.

其中正确的是()

A.①B.②③⑤C.②④⑤D.③④⑤

二、填空题

【类型一】勾股定理

【知识点①】勾股数与勾股树

27.探索勾股数的规律：观察下列各组数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,

222

25),(9,40,41)…可发现，4=-3--112=-5--124=-7~-~1!■…请写出第5个数组:

222

28.如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴的正半轴上，且OA=1，以点A为直角

顶点，逆时针方向作用使44=。4；再以点&为直角顶点，逆时针方向作

Rt/\A2OAy,使44；再以点A,为直角顶点，逆时针方向作皮△AQ4,使44=04、;

依次进行作下去，则点4侬的坐标为.

【知识点②】勾股定理“一两点之间距离公式

29.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，4(2,0),8(4,0)是

x轴上的两点，则PA+PB的最小值为.

30.在平面直角坐标系中，点A（a,8-q）,B（仇（）），C（0,2b—3）,0<b<a<8,若OA

平分ZBOC,且AB=AC,则。=,b=.

【知识点③】勾股定理》*“面积问题**”求值

31.在直角三角形中，存在斜边的平方等于两条直角边的平方的和.如图，直线/上有三

个正方形a,b,c,若“，6的面积分别为5和13,则c的面积为.

32.如图，RtZ\ABC中，Z/MC=90,分别以4SC的三条边为直角边作三个等腰直

角三角形：△"£>、八4支、ABCF,若图中阴影部分的面积岳=7.5,52=4.5,S4=3,

【知识点④】勾股定理格点问题求值

33.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,。均在格点上，P为CD上

34.如图，在2x2的正方形网格中，每个小正方形边长为1,点A,B,C均为格点,

以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点。，则CO的长为.

【知识点⑤】勾股定理折叠问题求值

35.如图，在ABC中，447=90。，点。、E是边BC上的点，点尸在边AC上，连

接AD、EF,将二ABC分别沿直线A。和EF折叠，使点8、C的对称点重合在边BC上的

点G处.若45=2,AC=3,则AF的长是.

36.如图，RtAABC纸片中，ZC=90°,AC=1,BC=6，N8=30。，点。在边

8c上，以AC为折痕△"£）折叠得到VAB'。，AQ与边BC交于点E,若△DE夕为直角三

角形，则8。的长是.

【知识点⑥】勾股定理勾股定理的证明★该股定理与无理数

37.如图，把长、宽、对角线的长分别是小6、c,的矩形沿对角线剪开，与一个直角边

长为c•的等腰直角三角形拼接成右边的图形，用面积割补法能够得到的一个等式是_.

38.长方形A5C。的边AD长为3,A8长为1,点A在数轴上对应的数是1,以点A为

圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E,则这个点E表示的实数是

【知识点⑦】勾股定理》*»勾股定理证明**“线段的平方关系

39.若直角三角形的两边长为。、b,且满足石二G0+|。-4|=7T与+行G，则该直

角三角形的斜边长的平方为.

40.设。，匕是直角三角形的两条直角边长，若该三角形的周长为24,斜边长为10,

则/的值为.

【知识点®】勾股定理弦图问题★★最值问题

41.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所

示的“赵爽弦图''是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三

角形较长直角边长为。，较短直角边长为6,若（。+力）2=30,大正方形的面积为16,则小

正方形的面积为

42.如图，有一圆柱体，它的高为8cm,底面直径为2cm.在圆柱的下底面A处有一

个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的8点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm

（结果用带根号和兀的式子表示）

【类型二】勾股定理的逆定理

【知识点①】勾股定理的逆定理>>“直接判断能否构成直角三角形

34

43.下列条件：®ZC=Z4-Zfi；②4:4:NC=5:2:3；@a=^c,Z?=-c；④

a:b:c=l:2:6,则能确定ABC是直角三角形的条件有个.

44.如图，在四边形A8C。中，AB±AD,AB=AD=2y/2,CD=3,8c=5,则NADC

的度数为.

【知识点②】勾股定理的逆定理网格上判断能否构成直角三角形

45.在如图所示的网格中，A、B、C都在格点上，连结A8、AC,贝lJ/l+N2='

46.如图，在6x4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1,点A,B,C,D,E均

【知识点③】勾股定理的逆定理求值

47.如图，ABAC=45°,BD:DC:BC=3:4:5,AD=4,ZABC+ZABD=\SO0,

ZACB+ZACD=180°,四边形ABC。的面积为.

A

48.如图，有一块四边形花圃ABC£),

AB=3m,AD=4m,BC=13m,DC=12m,ZA=90°,若在这块花圃上种植花草，已知每种

植In?需50元，则共需元.

49.已知等腰ABC的底边BC=5,。是腰A8上一点，§,CD=4,BD=3,则A£)的

长为.

50.如图，ABC中，A8=13,AO=6,AC=5,。为8c边的中点，则SABC=

【类型三】勾股定理及其逆定理

【知识点①】勾股定理及其逆定理》“最值问题

51.如图，在ABC中，AB=AC,。为BC的中点，40=4,30=3,43=5,点尸为AO

边上的动点，点E为A3边上的动点，则PE+PB的最小值为

52.如图，在ABC中，AC=6,BC=8,A3=10,AO是23AC的平分线，若尸、Q

分别是AO和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是

参考答案

1.D

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方

和是否等于最长边的平方.

解：A,P+2V32,不能构成直角三角形，故不符合题意；

B、22+（6）2#（9）2,不能构成直角三角形，故不符合题意：

C、（石）2+（近）2=（屈）2,能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；

D、92+122=152,能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知AABC的三边满足

“2+〃=/,则4ABC是直角三角形.

2.D

【分析】先根据表中的数据得出规律，根据规律求出匕、。的值，再求出答案即可.

解：从表中可知：。依次为6,8,10,12,14,16,18,2（）,22,24,…，即24=2x（10+2）,

方依次为8,15,24,35,48,…，即当a=24时，=122-1=143,

C依次为10,17,26,37,50,•••,即当a=24时，c=122+l=145,

所以当a=24时，6+c=143+145=288.

故选：D.

【点拨】本题考查了勾股数，能根据表中数据得出。=(〃+2)2-1,c=(〃+2f+l是解

此题的关键.

3.B

【分析】先根据两点间距离公式求得相关线段的长，然后再代入判断即可.

解：•・•「(-2,1),点8(4,6),点C(Y,2),点0(2,3)

,AB=-2-4)2+(1-6)2=屈、CD=-4-2/+(2-3)2=屈

BC=J(-4-4y+(2-6『二廊=4石.AO=7(-2-2)2+(1-3)2=720=275

2222

AC=5/(-2+4)+(1-2)=BBD=A/(4-2)+(6-3)=713

：.A.AB^2CD,该选项错误，不符合题意；

B.BC=2AD,该选项正确，符合题意；

C.AC=2BD,该选项错误，不符合题意；

D.8c=28,该选项错误，不符合题意.

故选B.

【点拨】本题主要考查了两点间距离公式，运用两点间距离公式求出相关线段的长成为

解答本题的关键.

4.A

【分析】根据题意先设点C坐标为a2),再用两点间距离公式表示出3c的长度，再根

据绝对值的性质和完全平方式的非负性求解即可.

解：；点4-3,2),B(m,n),4c〃彳轴，

轴，

.•.点C的纵坐标为2,

设C(/,2),

BC=4(mT)2+(计2『,

,:m,n为常数目*-3,

.•.当右加时，线段BC的长度最小，此时BC的值为2|,

此时C的坐标为(m,2).

故选：A.

【点拨】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握绝对值的性质、两点间距离公式等知识是

解答此题的关键.

5.D

【分析】根据勾股定理求得底面半径，然后求得底面积即可.

解：：直角三角形ABC的一条直角边=12cm、斜边AC=13cm,

BC=>J\32-I22=5cm-

...底面积为257rcm2,

故选：D.

【点拨】考查了圆锥的计算及勾股定理的知识,解题的关键是确定哪一条边是底面半径,

难度不大.

6.D

【分析】证明_ACB^_NPB,从而得出5阴影=S矩形硕楸=25,

解：如图，过点N作NHLBG于点、H,则ADN”是矩形，则N”=A£>

ZPNH+乙NPA=ZNPA+NEBA=90°.

’4PNH=NEBA,

又AEAB=NPHN=90°,

aPNH'EBA,

•C—c

••2PNH~JEBA，

同理可得SPG材=5EDN，

依题意3C=ftV,ZBNP=ZNBC=ZBAC=90°,

:./NBP+ZABC=90°=ZABC+/ACB,

：.ZACB=/NBP,

：.ACB^NPB,

•・•0qACB一―uqNBP»

S阴影=S矩形EBHN=2sABC,

故选D.

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题

的关键.

7.D

【分析】连接AC、BC,利用割补法求出S.c=4,根据勾股定理求出A3二如，设

C点到A8的距离为力，根据S.c=gA8»=4,即可求出〃的值.

解：如图，连接AC、BC,

>S=3x3—x3x1—x3xI—x2x2=4,

“V''Be222

AB=>/32+I2=Vio>

设C点到A3的距离为/?,

枷=；AW?=4,

,,84710

..n=—f==-------.

V105

故选：D.

【点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一

定等于斜边长的平方.也考查了三角形的面积和二次根式的运算.

8.B

【分析】延长PC到点C,使得PC=AP,连接BC,根据勾股定理的逆定理可得PCB

为等腰直角三角形，即可求解.

解：延长AP到点C,使得PC=AP,连接5C,如下图:

由勾股定理得：PC=AP=yl、2+爱=近,BC=\ll2+22=45•BP=《f+32=而，

PC=BC,BP2=PC2+BC-,

.•.一PCB为等腰直角三角形，

NCPB=NCBP=45°,

，ZPAB+ZPBA=NCPB=45°,

故选：B.

【点拨】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性质，解题的关键是

利用相关性质，构造出等腰直角三角形，正确进行求解.

9.A

【分析】设8N=x,根据折叠得出@V=4V=4-x,然后在Rl△或W中，根据勾股定

理得出关于x的方程，然后解方程即可.

解：设BN=x,

；折叠，AB=4,

：.DN=AN=4—x,

二•力为BC的中点，BC=3,

13

二BD=-BC=-,

22

3

在Rtz^BDN中，?B90?,BD=-,BN=x,DN=4-x,

2

•••(47)，=丁+(|),

解得X=||，

故选：A.

【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股

定理是解题的关键.

10.C

【分析】根据折叠，可得4C=AE,ED=CD,ZADE=90°,根据勾股定理可得

AB2=AD2+BD2«AE2=AD2+DE1，根据

AB2-AC2=AB2-AE2=Blf-DE2=（BD+DE）（BD-DE）=BCBE,求解即可.

解：根据折叠，可得AC=A£,ED=CD,ZADE=90°,

在肋A8D中，根据勾股定理，WAB2=AD2+BD21

在必_血＞中，根据勾股定理，得+

Z.AB2-AC2=AB2-AE2=BD--Df=（BD+DE）（BD-DE）=BCBE,

VBC=12,BE=2,

，AB2-AC2=12x2=24,

故选：C.

【点拨】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键.

11.D

【分析】利用SAS可证△ABC空△（?£）£,故①正确；由全等三角形的性质可得出

NBAC=/DCE,ZACB=NCED,求出NDCE+N4c8=90。，即可得到②正确；根据梯形

的面积公式可得③正确；根据s^ABDE-sACE=SABC+SCDE列式，可得④正确；整理后可得

a2+b2=c2,即⑤正确.

解：AB//DE,AB1.BD,

DEVBD,

：.N8=N£＞=90°,

AB=CD

在_ABC和,CDE中，＜ZB=ZD=90°,

BC=DE

：.AfiC^CDE(SAS),故①正确:

，ABAC=NDCE,ZACB=ZCED,

ABAC+ZACB=90°,

：.^DCE+ZACB=90°,

"：NDCE+ZACB+ZACE=\80°,

；.NACE=90。，故②正确；

,/AB//DE,ABA.BD,

•••梯形ABDE的面积是g(a+8)(〃+%)=g(a+6)2,故③正确；

•S梯形—SACE=SABC+SCDE,

/•—(a+b}—c~=2x—ab,故④正确；

2''22

整理得：a2+b2=c2,

该图可以验证勾股定理，故⑤正确；

正确的结论个数是5个，

故选：D.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，梯形的面积计算，三角形的面积

计算，勾股定理等知识，解答时证明三角形全等是关键.

12.B

(分析】设点例表示的数为m,先根据AC、48的长求出8c的长,即为圆的半径为JQ,

再列式2)=而即可求出m的值.

的值.

解：设点M表示的数为，小

；AC=348=3,

."8=1,AC=3,

而△A8C是直角三角形，由勾股定理得

BC=V12+32=而，

当以点C为圆心，CB为半径画弧时，

CM=BC=M，

Aw-(-2)=710,

/.n?=Vio-2,

由图可知A点表示的数为1,

故4,M两点间的距离为：710-2-1=710-3.

故选：B.

【点拨】本题考查的是用勾股定理与无理数，数轴上两点间的距离，理清题意，正确表

达两点间的距离是解题的关键.

13.A

【分析】根据题意可知，口△ABC的血积为3必，结合已知条件，根据完全平方公式

变形求值即可.

解：中，NC=90。，ZA,NB,NC所对的边分别为“，b,c,

/.a2+h2=c2，

*.*a+Z?=14cm,c=10cm,

.・・lab=(a+ft)2-(a2+&2)=(a+by-c2=142-102=96(cm2),

二.SAsc=Ja8=；xg=24(cm2)，故A正确.

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方

公式变形求出油的值.

14.D

【解析】由题意可得△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到

解答.

解：A、由NA：ZB：ZC=1：1：2及NA+/B+/C=180。可以得到：

/A=NB=45。，NC=90。，故本选项正确，不符合题意；

B、由上可得NA=NB,所以a=b,故本选项正确，不符合题意；

C、由上知△ABC是直角三角形，所以a?+b2=c2,又因为a=b,所以c?=2a2,故本选项

正确，不符合题意；

D^山上知a2+t>2=c2,故本选项不正确，符合题意；

故选D.

【点拨】本题考查三角形内角和与比例的综合应用，根据三角形内角和与角的比例求出

三角形每个角的度数，再结合特殊三角形的一些性质求解是解题关键.

15.A

【分析】作A关于河的对称点E,连接AE,连接BE,则BE就是所求的最短距离，利

用勾股定理求出防的长即可.

解：作A关于河的对称点E,连接AE,连接跖，则BE就是所求的最短距离.

过A作AGL8产于G,过E作EFLBF于F,

VAC=1km,BD=3km,

7.BG=3-l=2km,GD=AC=\km,CE=DF=AC=lkm,3尸=3+l=4km,

EF=CD-3km,

在RtZ\8所中，BE=-JEF2+BF2=>/42+32=5km>

铺水管的最短长度是5km,

故选A.

/B

【点拨】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关

键.

16.B

【分析】先证明尸三△CGMlAS?!),则S,律=Scw，所以两三角形面积的差是中

间正方形面积的一半，i&AE=x,3E=7-x,根据勾股定理得：AE2+BE2=AB\

父+(7-司2=28,则2d_14x=-21，整体代入计算即可；

解：•正方形438的面积为28,

•••AB2=28,

设AE=x,

AE+EB=7,

「・BE=7-x,

RLAEB中，由勾股定理得：AE-+BE1=AB-，

二/+（7-X）2=28,

2X2-14X=-21.

"."AH1.BE,BELCF,

：.AH//CF,

，NEAP=NGCM,

・「赵爽弦图''是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方

形A8CO，

△AEBwACGD,

：.AE=CG,

：.AAEP=/\CGM（ASA）,

♦♦SAEP=SCGM，EP=MG,

••S&CFPiS与EP=S&cFp-S&CGM=S梯形FPMG=5（MG+PFyFG=—EF»FG=-S正方形切。尸，

S矩形EHGF=S正方囱BCD-4sAyt破=28-4xgx（7-x）=28-2x（7-x）=28-21=7,

则S.CFP-S4£P的值是3.5；

故选：B.

【点拨】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生

正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题.

17.C

【分析】根据（。一6）（。2+/一。2）=0得至|/。-/?=0或/+/-/=（）,找到.、b、。之间

得关系即可得到结论.

解：•••（〃-与（/+/-。2）=0,

，。一。=0或储+。2一°2=0,

分情况讨论：

①当”一6=0,即a=6

•••AfiC为等腰三角形，

@a2+b2-c1=0,ERcr+b1=c2>

二_43C为直角三角形，

综上所述：MC为等腰三角形或宜角三角形.

故选：C.

【点拨】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理得逆定理，正确根据题目已知条件找

到a、b、c之间得关系即可判断三角形的形状是解题关键.

18.A

【分析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质逐项分析即

可.

解：VZA=2ZB=3ZC,

.•.设ZA=x,ZB=-x,ZC=-x,

23

根据三角形内角和定理，得x+gx+；x=180。，

解得T*。，

；•.4JC不是宜角三角形，

故选项A符合题意；

AB：AC：8C=3：4：5

♦，・设AB=3k,AC=43BC-5k,

Z.AB2+AC2=（3^）2+（4A:）2=25k2,BC2=（5^=25k2,

/.AB2+AC2=BC2,

•••ABC是直角三角形，

故选项B不符合题意；

：ZA：ZB：NC=3：4：7,

・•・设ZA—3x,Z.B=4x,ZC=lx,

根据三角形内角和定理，得3x+4x+7x=180。,

解得7x=90°,

,ZC=90°,

•••是直角三角形,

故选项C不符合题意；

如图，

是ABC的一条中线，BC=2AD,

：.AD=BD=CD=-CB,

2

；.ZB=ZBAD,ZC=ZCAD,

又NB+NB4£>+NC4£>+NC=180°,

,ZBAD+ZCAD=90°.

即ZBAC=90°.

二ABC是直角三角形，

故选项D不符合题意；

故选：A.

【点拨】本题考查了直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理，勾股定理的逆定理,

等腰三角形的性质等知识是解题的关键.

19.A

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.

解：A、三边长分别为逐,石丫+（屈丫4如『，

二ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；

B、三边长分别为石,2行,5,（^）2+（2A/5）2=52,

/.ABC是直角二角形，故本选项不符合题意；

C、三边长分别为26264,；（20丫+（20）2=42,

二一4?C是直角三角形，故本选项不符合题意;

D、三边长分别为加,布,2石，：（加『+（而『=卜石『，

ABC是直角三角形，故本选项不符合题意.

故选A.

【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a,b,c满足/+〃=。2,

那么这个三角形就是直角三角形是解题关键.

20.B

【分析】如图连接AE、CE,利用勾股定理的逆定理证明8CE是宜角三角形，再证

明△AEC是自角直角三角形，可得ZE4C=45。，即可求IIIN54C的度数.

：BC=5，CE=7F+F=V5-BE="+42=26,AE=V?7F=石

又；5之=（石『+（2石『，

->.BC2=CE2+BE2,

_8CE是直角三角形，Z£=90°,

又；CE=AE,

二△AEC是直角直角三角形，

二NE4c=45°,

ABAC=180°-ZE4C=180°-45°=135°,

故选：B.

【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，根据题目已知条件添加适当的辅助线是解答

本题的关键.

21.C

【分析】连接8D,由题意可知AAB。是等边三角形，求出NAO8的度数，根据勾股定

理的逆定理，求出/8OC的度数，即可求出/AOC.

解：连接8n

'：AB=AD=6,ZA=60°,

...△A8O是等边三角形,

：.BD=6,ZADB=60°.

"：BC=\O,CD=8,

则即2+crP=62+82=100，8c2=1()2=100,

/•BD2+CD2=BC2,

：.NBOC=90°,

故选：C

【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理的逆定理，解本题的关键在熟

练掌握相关性质、定理.

22.D

【分析】先根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性求出〃=3力=4,c=5,再根据勾

股定理的逆定理可得，/RC是直角三角形，且。为斜边长，然后利用三角形的面积公式即可

得.

解：.(a-3)2+5/^4+|c-5|=0,

a—3=0,。—4=0,c—5=0,

解得。=32=4,。=5,

a2+tr=32+42=25=c2,

.二ABC是直角三角形，且c为斜边长，

解得〃=茎12，

故选：D.

【点拨】本题考查了偶次方、算术平方根、绝对值的非负性，勾股定理的逆定理，熟练

掌握勾股定理的逆定理是解题关键.

23.A

【分析】先在对△ABC中，求出NBCA=45。，AC=3正，然后再利用勾股定理的逆定

理证明△ACO是直角三角形，从而可得/AC£>=90。，最后利用角的和差关系进行计算即可

解答.

解：ZB=90°.

.•.NBAC=/BCA=45。，*=廊彳^=五后=侦，

*：CD=币,DA=5,

.•.AC2+CZ)2=(3应丫+(«y=25,AD2=52=25,

:.AC2+CD2=AD2,

...△ACO是直角三角形，

:.ZACD=90°,

：.ZBCD=ZBCA+ZACD^U5°,

故选：A.

【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理

的逆定理是解题的关键.

24.C

【分析】首先根据非负数的性质可得。-5=0,"12=0,c-13=0,进而可得。、仄c的值，

再利用勾股定理逆定理证明AABC是直角三角形，最后由直角三角形面积公式求解即可.

解：*/+(Z?-12)2+|c-13|=0,

...a-5=0,6-12=0,c-13=0,

...a=5,〃=12,c=13,

V52+122=132,

...△ABC是直角三角形，

S^ABC=—aZ?=—x5x12=30.

22

故选：c.

【点拨】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，熟练掌握如果三角形的

三边长a,b,c满足〃+〃=°2,那么这个三角形就是直角三角形，利用非负数性质求出a、b、

c•的值是解题的关键.

25.C

【分析】根据勾股定理的逆定理得到NA/)8=90。，得到点B,点C关于直线AO对称,

过C作CELAB交4)于P,则此时PE+PB=CE的值最小，根据三角形的面积公式即可得到

结论.

解：'：AD=6,80=2.5,48=6.5,

."82=心+8》，

:.ZADB=90°,

为BC的中点，BD=CD,

.,.AD垂直平分BC,

点8,点C关于直线AD对称，

：.PB=PC,

要求PB+EP最小，即求PC+EP最小，

过C作CE1AB交4。于P,则此时PE+P8=CE的值最小,

SAABC=yAB・CE=；BOAD,

；.6.5・CE=5x6,

.”_60

••CH-,

13

PE+PB的最小值为,

故选：C.

【点拨】这是一道根据轴对称求最短路线的问题，考查了勾股定理的逆定理，线段垂直

平分线的性质，垂线段最短，三角形的面积公式等，根据轴对称确定最小值是解题的关键.

26.C

【分析】①根据题意求出AP的最小值和最大值是，判断即可；

②根据等腰三角形的定义得到4APO是等腰三角形；

③根据三角形的三边关系得到4APO不存在；

④根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形；

⑤根据勾股定理的逆定理计算，得到△APO是直角三角形.

解：①当点P在线段0A上时，AP最小，最小值为2-1=1,

当点P在线段A0的延长线上时，AP最大，最大值为2+1=3,①错误；

②当AP=2时,，AP=AO,

则△APO是等腰三角形，②正确：

③当AP=1时，AP+OP=OA,△AOP不存在，

△APO是等腰三角形错误，③错误；

④当AP=后时，AP2+OP2=3+1=4,OA2=4,

.,.AP2+OP2=OA2,

...△APO是直角三角形，④正确；

⑤当AP=^fft,AP2=5,OP2+OA2=1+4=5,

.\AO2+OP2=PA2,

.♦.△APO是直角三角形，⑤正确，

故选C.

【点拨】本题考查的是等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理

是解题的关键.

27.II,60,61

【分析】先找出每组勾股数与其数组的关系，找出规律，再根据此规律进行解答.

解：,：①3=2x1+1,4=2xl2+2X1,5=2xI2+2x1+1；

②5=2x2+l,12=2X22+2X2.13=2x2?+2x2+1；

③7=2x3+l,24=2X32+2X3,25=2x32+2x3+1；

@9=2x44-1,40=2X42+2X4,41=2x4?+2x4+1;

⑤11=2x5+1,60=2X52+2X5>61=2x52+2x5+1，

故答案为：11,60,61.

【点拨】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此

题的关键.

co（修01°

【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理多次计算，找出规律即可得到结果.

解：。4=1,

0A=A4=L放0A4是等腰直角三角形，

・•・4(1,1),

同理可得:4(0,2),4(-2,2),A(T0),A(TA),4(。,-8),4(8,—8),4(16,0),

由上可知，每个方位上是点是每8一个循环，

2022+8=252余6

...点4。22在第三象限，

r.A2022b2叫-2吗

【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形和勾股定理结合，准确进行计算，发现规律是

解题的关键.

29.2#)

【分析】根据动点最值问题-将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点，结合两点

之间线段最短即可得到答案.

解：由题可知①分析端点：B4+PB中户是动点，48是定点，

②动点轨迹：P在直线y

③确定模型：将军饮马模型，作A(2,0)关于动点轨迹直线y=x的对称点A'(O,2),连

接43,则上4=E4',如图所示；

PA+PB=PA+PB,

④确定线段：由③可知，利用两点之间线段最短，当4、P、B:.点共线时，E4+PB的

最小值为A'3,

⑤求定线长：A'(O,2),8(4,0),

:.OA'=2,OB=4,

在RtZSA'BO中，NA'O8=90。，OA'=2,OB=4,利用勾股定理得

AB=>JOA'2+OB2=722+42=2出，

故答案为：2

【点拨】本题考查动点最值问题，涉及对称性质、勾股定理等知识，熟练掌握动点最值

问题解法步骤，尤其是模型的识别及确定最值方法是解决问题的关键.

30.43或日

【分析】先证明点A在第一象限的平分线上，得到。=