湖南省涟源市部分学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024年涟源二中九月月考数学卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列说法正确的是（）A.零向量没有方向B.空间向量不可以平行移动C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D.同向且等长的有向线段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根据零向量规定可以确定A错误；根据空间向量是自由向量可以确定B；根据相等向量的定义可以确定C、D.【详解】对于A：零向量的方向是任意的，A错误；对于B：空间向量是自由向量可以平移，B错误；对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确.故选：D.2.设复数，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再由复数模的计算公式求解即可.【详解】解：因为复数，所以.故选：D.3.已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平行、垂直的坐标表示判断即可.【详解】设，即，则，此方程组无解，故不平行，故A错误；设，即，则，此方程组无解，故不平行，故B错误；，则，故C正确；，则不垂直，故D错误.故选：C.4.两平面的法向量分别为，若，则的值是（）A.－3 B.6C.－6 D.－12【答案】B【解析】【分析】由，可得，则，从而可求得结果.【详解】因为两平面的法向量分别为，且，所以，所以，故选：B5.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样的方法，高二学生人数占总体的，所以被抽取的人数也应占，即20人.【详解】根据分层抽样的方法，应抽取高二年级学生人数为人.故选：B.6.如图：在平行六面体中，M为，的交点．若，，，则向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解【详解】因为在平行六面体中，M为，的交点，，，，所以,故选：B7.已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（）A..充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】两条不同的直线的方向向量不共线，两条不同的直线可能相交，可能异面；两条直线相交，则两条直线的方向向量一定不共线.【详解】由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间两条直线的位置关系，考查了空间直线的方向向量，考查了必要不充分条件，属于基础题.8.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的平面角满足（）A.余弦值为 B.正弦值为C.大小为 D.大小为【答案】B【解析】【分析】利用二面角的向量求法即可求得答案．【详解】设所求二面角的平面角的大小为，则，所以或，故CD错误，又因为，故A错误，B正确.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.下列命题是真命题的有（）A.A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B.直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C.直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD.平面α经过三点是平面α的法向量，则【答案】ABD【解析】【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可.【详解】对于A，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，A正确；对于B，，故，可得l与m垂直，B正确；对于C，，故，可得l在α内或，C错误；对于D，，易知，故，故，D正确.故选：ABD.10.在空间直角坐标系Oxyz中，，，，则（）A.BC.异面直线OB与AC所成角的余弦值为D.点O到直线BC的距离是【答案】AC【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示，结合向量数量积、模的意义计算判断选项AB；利用异面直线夹角的向量求法判断选项C；利用空间向量求出点到直线距离判断选项D作答.【详解】对于A，，，，依题意，，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，,因为，则异面直线OB与AC所成角的余弦值为，故C正确；对于D，因为，，在上的投影为，所以点O到直线BC的距离是，故D错误.故选：AC.11.如图，正方体的棱长为2，E为的中点，P为棱BC上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A.存在点P，使B.存在点P，使C.四面体的体积为定值D.二面角的余弦值的取值范围是【答案】AB【解析】【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，当时，即点与点重合时，，故A正确.由知，解得，此时点与点重合，故B正确为定值，故C错误.又，，设平面的法向量，由，令则，，，又平面的法向量，，又，，故D错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．12.已知向量，分别是直线的方向向量，若，则___________．【答案】18【解析】【分析】由空间中两直线平行的向量关系即可求解.【详解】，，所以存在实数，使得，则，解得，，..故答案为：18.13.已知，，那么向量___________.【答案】【解析】【分析】由空间向量的线性坐标运算可得答案.【详解】因为，，所以，故答案为：.14.若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则______．【答案】【解析】【分析】先平方，结合向量数量积公式求出，从而得到答案.【详解】为空间两两夹角都是三个单位向量，，.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知向量．（1）求（2）求向量与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算和模的公式计算；（2）利用数量积的公式计算.【小问1详解】∵，，∴，，.【小问2详解】设与的夹角为，则，，，，，∴，∴向量与夹角的余弦值为．16.已知正方体棱长为2，若F为的中点，则（1）求直线与直线的夹角的余弦值（2）求证：平面平面【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，直线与直线的夹角，即直线与直线的夹角，解直角三角形得解；（2）取的中点，连接，易得即为平面与平面所成角，根据面面垂直的定义，证明为直角即可.【小问1详解】在正方体中，，所以直线与直线的夹角，即直线与直线的夹角，即为，在中，，，，则，所以直线与直线的夹角的余弦值为.【小问2详解】如图，在正方体中，取的中点，连接，易得，，所以，，又平面，平面，且平面平面，所以即为平面与平面所成角，因为，是的中点，则，在中，，同理，在中，，又平面，所以在中，，则，所以，所以平面平面.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后再利用余弦定理可求得结果；（2）由三角形的面积可求得，再结合（1）中得到的式子可求出的值，从而可求出三角形的周长.【小问1详解】因为，，（为外接圆的半径），又因为，所以，即，所以，由余弦定理得，因为，所以．【小问2详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以的周长为618.在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；（3）求点到PD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）构造平面，由面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质可得线面平行；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】如图，取中点，连接因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．【小问2详解】根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，，则，设平面的法向量为，则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，设直线PB与平面所成角为，则.所以直线PB与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】由（2）可知，，所以点到PD的距离为.19.如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．（1）证明：平面；（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；是上靠近的三等分点【解析】【分析】（1）过点作于点，由面面垂直性质定理可得平面，由此证明，再证明，根据线面垂直判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件列方程确定点的位置；【小问1详解】过点作于点，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，