四川省凉山州安宁河联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

安宁河联盟20232024学年度下期高2022级期中联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分．考试时间共120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知首项为1的数列中，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据递推关系逐项求解即可.【详解】∵，，，，.故选:B.2.已知等差数列中，，公差，如果，，成等比数列，那么等于（）A.2或 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，进行基本量代换，求出公差d即可.【详解】因为，，成等比数列，所以，即，因为，所以，解得：d=2（d=0舍去）.故选：C3.已知，若，则等于（）A.0 B.1 C.e D.2e【答案】B【解析】【分析】根据导函数的单调性，结合，即可求解.【详解】因为，由于时，均为单调递增函数，且函数值均为正，故在上单调递增，又，而当时，，故，则，故选：B4.函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析求出定义域，求导，求解单调性.【详解】由的定义域为，，令，解得,当,则，所以的单调递减区间为，故选：A5.若数列满足，则数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式；【详解】解：因为①，当时，，当时②，①②得，所以，当时也成立，所以；故选：D6.已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意函数在各段单调递增且需满足，即可得到不等式组，求出参数的取值范围.【详解】因为函数，，且是递增数列，则，解得．故选：C7.已知函数，，若，且关于x不等式在上恒成立，其中e是自然对数的底数，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知在上恒成立，利用导数分别求出，即，解不等式即可.【详解】由，得，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故；由，得，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故.因为在上恒成立，所以在上恒成立，即，解得，即实数m的取值范围为.故选：D8.数列满足，则等于（）A.2565 B.2575 C.2585 D.2595【答案】D【解析】【分析】当时，,当时，,两式相加可得，根据等差数列的求和公式即可求解.【详解】当时，①；当时，②，①+②，可得.所以，，…，所以.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A.数列是等比数列B.若，，则C.若，则数列是递增数列D.若数列的前和，则【答案】AC【解析】【分析】利用等比数列的定义可判断A选项的正误；利用等比中项的性质可判断B选项的正误；分和两种情况讨论，求得对应的的取值范围，结合数列单调性的定义可判断C选项的正误；求得、、，由求得的值，可判断D选项的正误.【详解】设等比数列的公比为，则，且.对于A选项，，所以，数列等比数列，A选项正确；对于B选项，由等比中项的性质可得，又因为，则与同为正数，则，B选项错误；对于C选项，若，由可得，可得，解得，则，，则，此时，数列为递增数列；若，由可得，可得，解得，则，，则，此时，数列为递增数列.综上所述，C选项正确；对于D选项，，，，由于数列是等比数列，则，即，解得，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列定义、等比中项的性质以及等比求和相关命题正误的判断，考查计算能力与推理能力，属于中等题.10.已知在处取得极大值1，则下列结论正确的是（）A. B.对称中心为C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据以及，结合极值点的定义可得时，，即可求解ACD,根据图象关于原点对称，即可求解D.【详解】由题意可得，且是函数的极大值点，即，可得，又极大值为1，所以，解得或；当时，，此时，时，，时，所以函数在上单调递减，在上单调递增；此时函数在处取得极小值，与题意不符，即舍去，故C错误；当时，，此时，时，，时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减；此时函数在处取得极大值，符合题意，所以，，即，所以A正确，此时，由于函数为奇函数，图象关于原点对称，所以关于对称，故对称中心为，B正确，即D正确．故选：ABD11.下列判断正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通过证明，即可判断A，设，利用导数说明函数的单调性，即可判断B，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.【详解】对于A，设，，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，则恒成立，当且仅当时取等号，又，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒成立，即恒成立，当且仅当时取等号，综上可得当且仅当时取等号，所以，故A正确；对于B，设，则，当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以，即，故，故B正确；对于C，令，则，所以在上单调递增，则，即任意，，又，所以，故C错误；对于D，令，则，又，，所以，则在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是构造相应的函数，利用导数说明函数的单调性，结合函数的单调性比较函数值的大小.第Ⅱ卷（非选择题，共77分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在等差数列中，，则________.【答案】20【解析】【分析】根据等差数列的性质和指数运算和对数运算法则计算出答案.【详解】在等差数列中，，所以，所以.故答案为：2013.已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】求导得，由题意可得在区间上能成立，根据二次函数的单调性即可求解.【详解】由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递减区间，即在区间上能成立.设，，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则，即实数a的取值范围为.故答案为:.14.已知，关于x的方程有三个不同实数根，则m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，作出函数的图象，令，则所求等价于有两个不同实根，则.当时，不满足，舍去．则或，根据二次方程根的分布即可求解.【详解】，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时函数有最小值．当时，，且时，；当时，，且时，.作出函数的图象如图所示：令，则所求等价于有两个不同实根，则.不妨设，当时，不满足，舍去．则或．当时，可得,与矛盾，故舍去；当，设，因为，所以,即，所以.故答案为:.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知是数列的前n项和，是以1为首项1为公差的等差数列．（1）求的表达式和数列的通项公式；（2）证明：【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前项和求通项的方法求解作答即可；（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法即可得解.【小问1详解】因为是以1为首项1为公差的等差数列,所以，即，当时，，即，经检验，当时，满足上式，所以通项公式是.【小问2详解】由（1）知：,所以，即16.设数列满足：，，且，对成立.（1）证明：是等比数列；（2）求和的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）变换得到，计算，得到证明；（2）确定，变换得到，解得答案.【小问1详解】移项得到，，相加得，所以，因为，所以是首项为5，公比为的等比数列；【小问2详解】，，所以对成立，解得，对成立，故和.17.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求出的单调区间即可.（2）利用（1）的结论，分类讨论求出最大值，结合已知列出不等式求解即得.【小问1详解】函数的定义域为R，求导得，①当时，，在上单调递增；②当时，由得或，由得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；③当时，由得或，由得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减，【小问2详解】由（1）知，①当时，在上单调递增，此时在上的最大值为；②当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，在上的最大值只有可能是或，由在上的最大值为，得，则，③当时，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，在上的最大值可能是或，由在上的最大值为，得，则，综上，a的范围.18.雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；……按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Kochsnowflake）．现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究：P1P2P3P4…Pn边数31248192…从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…根据小明的假设与思路，解答下列问题．（1）填写表格最后一列，并写出与的关系式；（2）根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；（3）从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．参考数据（，）【答案】（1）填表见解析；（2）（3）第7个【解析】【分析】（1）根据题中数据的规律及等比数列的通项公式填写表格最后一列，进而得出与的关系式；（2）利用累加法求解；（3）由题意，利用指数函数的性质及对数的运算性质求解．【小问1详解】图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是．P1P2P3P4…Pn边数31248192…从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数31248…从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积…所以，即．【小问2详解】当时，，又因为，符合上式，所以．【小问3详解】由，得，则，所以，故，由，，故，又因为，所以，所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．19.已知函数（1）当时，求在处切线方程．（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，；①证明：直线与曲线交于另一个点C；②在①的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求n；若不存在，说明理由．附：，【答案】（1）（2）①证明见解析，②存在，【解析】【分析】（1）当，求解在的切线方程；（2）①求出直线的方程，然后与联立得，构造函数，再利用导数求解有个零点即可求解；②中由①可得，假设存在，则，从而可求得，再构造函数，再利用导数求出的零点，从而可求解.【小问1详解】当时，，故，所以当时，，所以在处的切线方程是，即【小问2详解】因为，则，令得或，当与时，；当时，；所以在，单调递增，在单调递减．所以