广东省六校（广州二中深圳实验珠海一中中山纪念东莞中学惠州一中）高三下学期第三次联考数学（理）试题

2018届广东省六校第三次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由题意得圆的圆心到直线的距离为，故直线和圆相切，即直线和圆有1个公共点，所以的元素个数为1．选B．2.设等差数列的前项和为，若，，则A.B.C.D.【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由题意得，即，解得．∴．选A．3.若变量满足约束条件，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得，平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值，由题意得点A的坐标为（3,0），∴．当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，由，解得，故点B的坐标为，∴．综上可得，故的取值范围是．选D．4.函数的部分图象大致为A.B.C.D.【答案】A【解析】设，由得，则函数的定义域为．∵，∴函数为奇函数，排除D．又，且，故可排除B．，且，故可排除C．选A．5.设函数，其中常数满足．若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A．6.执行下面的程序框图，如果输入的分别为1，2，3，输出的,那么，判断框中应填入的条件为()A.B.C.D.【答案】C【解析】依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填，即．选C．7.已知（，为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为的虚部．若数列的前项和为，则A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意得，∴当时，，又，故当时，，∴当时，．∴．选C．8.如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若，则的值为()A.3B.C.D.【答案】B【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由知为锐角，且，故，．∴点B,C的坐标为，∴．又，∴，∴，解得，∴．选B．9.四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥(如图所示)，其中．设长方体的三条棱长分别为，则有．（1）由②③得，又，∴，解得．（2）由②③得，又，∴，解得．综上可得．故的取值范围是．选C．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法．10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有()A.42种B.36种C.72种D.46种【答案】A【解析】分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有种不同的方法，故不同的放法有种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为种；取球后将两球放在袋子中的方法数有种，所以不同的放法有种．综上可得不同的放法有42种．选A．11.已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．在中，，由双曲线的定义可得，∴．∵，∴，∴，∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．12.已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，设，则，∴当时函数单调递减，当时函数单调递增，故．设，则，∴在上单调递增，∴，∴．∴，∴∵，故，且在上单调递减，∴，即．由，得，故在上单调递增．∴．设，可得函数在上单调递减，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴．综上可得，即所求范围为．选D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数是定义在上的奇函数，则__________．【答案】,【解析】由定积分的运算性质可得．∵函数是定义在上的奇函数，∴．又．∴．答案：14.已知函数，若，则函数的图象恒过定点___．【答案】【解析】∵，∴函数图象的对称轴为，∴，即，∴．在中，令，则．∴函数的图象恒过定点．答案：15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥．∵正方体的棱长为2，∴,∴，∴该几何体的表面积为．答案：16.若函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数”的为___．（填上所有正确答案的序号）【答案】①④【解析】设，由向量的数量积的可得，当且仅当向量共线（三点共线）时等号成立．故的最大值为0时，当且仅当三点共线时成立．所以函数是“柯西函数”等价于函数的图象上存在不同的两点，使得三点共线．对于①，函数图象上不存在满足题意的点；对于②，函数图象上存在满足题意的点；对于③，函数图象上存在满足题意的点；对于④，函数图象不存在满足题意的点．图①图②图③图④故函数①④是“柯西函数”．答案：①④点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B，使得O,A,B三点共线是至关重要的，也是解题的突破口．（2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.设数列的前项和为，数列的前项和为，满足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求数列的通项公式.【答案】(Ⅰ)，，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)在中，分别令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到数列为等比数列，由此可求得数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵…①，∴…②，∴①②得，，又也满足上式，∴…③，∴…④，③④得，∴．又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．∴，∴．点睛：数列的通项an与前n项和Sn的关系是．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.【解析】试题分析：(Ⅰ)分和两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i)由题意知的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望；(ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得的分布列和期望，比较的大小可得选择的结论．试题解析：（Ⅰ）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为．（Ⅱ）（i）由题意知的所有可能的取值为62，71，80，并且，，．∴的分布列为：X627180P0．10．20．7∴元．（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y58677685P0．10．20．160．54∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．∴所以小店应选择一天购进17份．19.如图，在四棱锥中，是平行四边形，，，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．试题解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角.,，，在中，根据余弦定理得，∴二面角的余弦值为．解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设，由，，可得，，，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设是平面的法向量，由，得，令，则．又是平面的法向量，∴，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，点满足．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2），定值为1.【解析】试题分析：.......................................，根据此式的特点可得当时，为定值．试题解析：（Ⅰ）依题意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意.因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．21.已知函数，其中．（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式恒成立．【答案】（1）不能（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）假设函数的图象能与轴相切．设切点为，根据导数的几何意义得到关于的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为,设，则问题等价于对任意恒成立，故只需函数在R上单调递增，因此在R上恒成立即可，由可得，即为成立的必要条件，然后再证时，即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）∵，∴．假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．显然，将代入方程中可得．∵，∴方程无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．（Ⅱ）由题意可得原不等式可化为，故不等式在R上恒成立．设，则上式等价于，要使对任意恒成立，只需函数在上单调递增，∴在上恒成立．则，解得，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，即．则当时，，；当时，，．∴恒成立．所以实数的最大整数值为3．点睛：（1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数，将问题转化为函数单调递增的问题处理，然后转化为恒成立，可求得实数a的值．（二）选考题：共10分.请考生在第2