大学物理课件：机械震动基础

教学基本要求一、掌握描述谐振动各物理量的意义及其关系；二、掌握谐振动的描述方法、基本特征及一维问题；

三、理解谐振动的合成规律；

四、了解阻尼振动、受迫振动和共振的规律。2.本章重点介绍：简谐振动及其规律，简谐振动的合成，阻尼振动、受迫振动等更接近客观实际的机械振动模型。1.机械振动：机械工程、日常生活普遍可见的力学现象，第10章波动的基础，电工学、无线电技术、自动控制技术等科学技术领域的理论基础。3.本章的学习：掌握简谐振动，动力学方程的建立与求解，简谐振动合成复杂振动的研究。为专业课程的学习和技术工程中的应用奠定理论基础。9.1简谐振动一.振动：定义：物理量在某一定值附近往复变化称之为振动；振动是物质运动的一种普遍形式；机械振动：物体在某一定位置附近作周期性往复运动；

简谐运动杂振动合成分解谐振子：作简谐运动的物体；弹簧谐振子：轻弹簧连接质点，不计阻力；(1)2.受力分析：1.选振子m

平衡位置为坐标原点，水平向右为正，建立一维直角坐标系；以弹簧振子为例讨论谐振动；二.弹簧振子令：(3)(2)(4)得：4.方程的解：(7)振动加速度：(6)振动速度：积分常数，根据初始条件确定(5)运动学方程：图图图取1.振幅2.周期周期为：三.描述谐振动的物理量定义：谐振动物体距其平衡位置最大位移之绝对值，为描述振动强弱的物理量；定义：物体完成一次完全振动所需时间间隔，为描述振动快慢的物理量；(1)(2)频率:圆频率:例：对于弹簧振子：(3)(4)结论：周期、频率仅与振动系统本身的物理性质有关；图3.相位：差为整数

质点运动状态全同，初相位描述质点初始时刻的状态；1.是一角度，但可确定已知系统在任意时刻的运动状态，称为振动相位，时为初相位；由看出：2.相位在内变化，质点无相同运动状态；相4.和的确定初始条件：结论：对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初条件决定。(5)实际应用一例：问题：铁路检修工人利用榔头敲击火车车轮等部位，使其发生谐振动，通过耳听其发出的声音判断部件内部的损伤，从而使火车成为世界上最安全的交通工具之一。分析：如果部件内部有损伤，则其固有频率发生变化，检修工人听到声音的频率也变化。对谐振动的描述，除上述解析法、图像法外，还可用旋转矢量法。此法可使我们形象理解相关物理量，且讨论振动的合成方便。定义：矢量由原点出发绕z轴以逆时针转动,任意时刻t矢量与x轴正向夹角为,称其为旋转矢量。注意：旋转矢量的端点在x轴上的投影＝?9.2旋转矢量当时旋转矢量时；时旋转矢量时；旋转矢量对谐振动速度、加速度的描述例题9.3.1单摆(SimplePendulum)1.振动装置：不可伸长的细线一端固定，另一端悬挂小球，在重力作用下球在铅直平面内就其平衡位置附近往复运动，摆球体积及阻力不计。单摆：理想模型，不可伸长细线、摆球体积及阻力不计；9.3简谐振动的应用解:分析任意时刻t对应，小球受力，重力和绳拉力，重力对定轴有力矩：位于平衡点右为正、左为负；规定：(1)其中：；由刚体转动定律可得：(3)令：(4)(5)得：(2)(6)(7)(8)由(8)式可见：单摆谐振动周期仅取决于摆长和当地重力加速度，与m无关，由此可测当地的重力加速度。例题9.3.2复摆1.振动装置：一刚体在重力作用下，可绕一固定水平轴摆动，阻力不计。重力和定轴支撑力；重力对轴有力矩；2.分析刚体受力：任意时刻t对应；重力和定轴支撑力，重力对轴有力矩：2.分析刚体受力：任意时刻t对应；位于平衡点右为正、左为负；规定：(1)*（点为质心）转动正向其中：；令：(3)由刚体转动定律得：(4)得：(5)最后得：(2)问题：复摆与单摆的谐振动有无关系？(6)例题9.3.3地球隧道中质点的谐振动。设地球为密度、半径R的球体，若沿其直径打通一条隧道，设隧道内质量为的质点作无摩擦运动。（1）试证明隧道内质点作谐振动；（2）试计算质点谐振动的周期；解分析（1）由动力学分析质点在隧道运动时受力特征即可。取坐标如图所示，原点为地球中心，故当质点位于坐标处时受地球引力为：（9.3.10）其中，令。得质点位于受力为:

（9.3.11）由（9.3.11）式知质点在隧道内所受地球引力为线性回复力，故质点作谐振动。（2）质点谐振动周期与弹簧振子谐振动周期（9.1.9）式类比可得:（9.3.12）（3）对于地球隧道中质点振动问题的扩展讨论，还可以增加地球自转、公转等因素；讨论：（1）可以证明，沿地球表面圆轨道运行人造地球卫星的周期与地球隧道质点谐振动周期相同；（2）可以证明，将上述隧道贯穿地球任意位置，质点谐振动周期均为（9.3.12）式结果；例题9.3.4弹簧振子简谐振动的能量。以弹簧振子的谐振动为例，讨论谐振动的能量问题，如弹簧振子的振动动能、弹性势能和总能量等问题。解：分析由任意时刻弹簧振子简谐振动的运动方程、振动速度得到任意时刻的动能、弹性势能及系统的总能量:将（9.3.13）第二式带入（9.3.14）又得到：讨论：（1）系统的动能、势能均为时间的周期函数。动能最大时，势能最小。势能最大时，动能最小。振动过程是系统动能、势能的相互转换过程；左上图所示为动能、势能随时间的变化关系。（2）左下图为系统的动能、势能随坐标变化的周期函数。动能最大时，势能最小。势能最大时，动能最小。振动过程就是系统、的相互转换过程；（3）谐振动系统是保守系统，如左图所示系统的总能量守恒。弹簧振子谐振动的守恒量与振幅的二次方成正比，谐振动是等幅振动；例题9.3.5试由弹簧振子总能量出发，导出其谐振动的动力学方程。解：分析由弹簧振子总能量两边对时间求导，并注意到总能量为守恒量，得到：讨论：1.由上式可求得弹簧振子谐振动运动方程；2.由总能量导出其谐振动动力学方程的方法，较之牛顿第二定律解法简单，可不顾及弹簧振子的受力，省去了受力分析等环节，该方法对于保守系统普遍成立；3.（9.3.13）—（9.3.15）式谐振动能量方法，在解决某些谐振动问题时有其方便之处；4.能量方法可用于求解谐振动系统的固有频率，该方法在工程技术中具有广泛应用；例题9.3.6能量的时间平均值问题。与时间有关的物理量在时间间隔内的平均值定义为：

（9.3.16）试计算弹簧振子谐振动在一个周期内的平均动能、等于平均势能。解：分析由上式积分可求得，弹簧振子谐振动在周期内平均动能、平均势能和平均机械能分别为：上述结果表明，弹簧振子谐振动在周期内的机械能为常量，平均动能与平均势能相等，分别等于机械能的一半。此为谐振动系统能量的重要结论，该结论在后续章节讨论比热容时有具体应用。例题9.3.7氢原子的谐振动。原子的振动可近似为谐振动，已知氢原子质量、振动频率、振幅。试计算氢原子谐振动时：（1）最大振动速度；（2）振动总能量；解：分析由谐振动速度可得氢原子谐振动最大速度及氢原子的振动总能量为：

由此结果可以看出，氢原子谐振动速度较大，但谐振动能量具有非常小的数量级。（1）（2）注意：1.波动光学的学习以此为基础；2.每一种合成均为振动合成的典型实例；

复杂的振动可由不同频率的谐振动合成。重点讨论四种特殊情况下谐振动的合成,合成方法为：1.旋转矢量法；2.代数法；9.4简谐振动合成9.4.1两个同方向同频率谐振动的合成结论：两同向、同频谐振动合成仍为同向、同频谐振动；其振幅、初相与分振动振幅、初相有关；由(1)、(2)、(3)描述该合振动；(2)(3)(1)1.代数方法：2.旋转矢量方法设同向、同频两谐振动分别对应旋转矢量及投影：于是有合成矢量：(1)由平行四边形法则可作如图：又有：同频率＝相同角速度；故有以角速度转动的平行四边形形状不变,其对角线即为合矢量，其投影即为x。于是可得合矢量投影：(2)由余弦定理可求合矢量的模：(3)求初相角：(4)于是可求合矢量的初相角：讨论：对合振动振幅、初相与分振动振幅、初相的关系，可作以下讨论：结论：同向、同频两谐振动合成，仍为同向、同频谐振动，但振幅、初相与分振动有关。3.一般情况:2.令:1.令：相互加强相互削弱得：得：有：9.4.2两相互垂直同频率谐振动的合成设：两个相互垂直的同频率谐振动，分别沿x、y轴运动：(1)将上式时间消去可得质点运动轨迹：(2)1.

或讨论:(3)由轨迹方程讨论几种特殊情况下质点的运动轨迹：(2)2.3.综上所述：两个相互垂直同频频率谐振动的合成，其合振动在一直线或椭圆上进行，而当分振动振幅相等时，质点在圆轨道上运行。(5)(4)两相互垂直同频率谐振动的合成轨迹图9.4.3两同向不同频谐振动的合成由于此时两振动频率不同，对应的旋转矢量角速度也不同，故其合振动一般不是谐振动，而是较复杂的合成结果。仅取特殊情况讨论，限制条件为：分振动频率均较大，两频率之差较小；讨论：,的情况；(1)设：(0)合振动频率振幅部分(1)振幅：(2)频率：(4)(3)定义：频率较大、频差较小的两个同方向谐振动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.(6)拍频：(5)“振幅”的周期：注意：拍频=振幅变化的频率；拍现象图示拍现象应用：1.校准钢琴；

2.测量未知振动的频率；9.4.4两相互垂直不同频率的谐振动合成此时振动的合成较复杂，其轨道一般是不稳定的，而且也不是封闭曲线，即合振动一般不再是周期运动。但在特殊情况下合振动的轨道是稳定的封闭曲线，运动具有周期性。这时的轨迹图称为李萨如图形：应用：1.测量频率的方法；2.设计图案；李萨如图9.5.1

阻尼振动(DampedOscillation)1.阻尼振动：谐振动为等幅振动。而实际振动总要受到阻力影响，振动过程中振幅不断减小。振幅随时间变化因阻力而减小的振动称为阻尼振动。2.阻尼力模型：客观存在的阻力是复杂的，故提出许多阻尼力模型。当物体运动速度不太大时有：介绍两种接近客观实际较复杂的振动。9.5阻尼振动受迫振动共振

b.负号表示阻尼力与物体运动速度反向；a.，与物体形状、介质性质有关；

为阻力系数3.弹簧振子的阻尼振动问题：在阻尼力模型(1)作用下弹簧振子的振动；思路：受力分析、建振动微分方程、求解与讨论；阻尼力模型:(1)a.受力分析与方程的建立m受到两种力作用：(2)由牛顿定律得：(3)固有角频率阻尼系数(5)(4)对于确定的振动系统和环境，为常量，其中。于是有：(6)最后得：

注：1.上式是阻尼振动微分方程；2.固有角频率振动系统确定；阻尼系数振动系统、介质性质确定；b.方程的求解与讨论微分方程理论：根据方程系数数值的相对大小关系，(6)式有三种解，对应三种运动状态：1.阻尼力较小时：

弱阻尼；(6)角频率振幅(7)此时系统作弱阻尼运动，对应解为：其中：为积分常量，由初条件确定；并且有：(8)(9)1.(6)式的解由两部分组成：衰减项：“振幅”；周期项：谐函数；2.由(7)得x-t函数曲线图；阻尼振动位移时间曲线c.讨论：3.位移方向变化仍由余弦函数定，周期为：此时系统作过阻尼运动，对应的解为：(10)其中：为积分常量，可由初条件确定；过阻尼振动2.阻尼力较大时：过阻尼；3.阻尼力不大不小时：临界阻尼；此时系统作临界阻尼运动，对应方程的解为：(11)其中：为积分常量，可由初条件确定；临界阻尼振动三种阻尼的比较

b.过阻尼：

a.弱阻尼：

c.临界阻尼：阻尼振动位移时间曲线总之：9.5.2

受迫振动共振周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建筑物发生的振动，桥樑由于火车行驶而引起的振动等。受迫振动在电磁学、机械工程等领域均有重要应用。

问题：上述阻尼力模型作用下弹簧振子的受迫振动；周期性外力：阻尼力：弹性力：受迫振动：施加周期性外力作用的振动；由牛顿定律得：(1)(2)2.其中：注意：1.(2)式为受迫振动微分方程＝非齐次常系数二阶微分方程；整理得：(3)3.分析：强迫力不存在时，(2)式成为阻尼振动微分方程；由微分方程理论：(2)式的解应包含阻尼振动的解，另外还应包含(2)式的一个特解。总之：