高中数学竞赛真题9平面几何（学生版+解析版50题）

竞赛专题9平面几何

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1.（2018・天津,高三竞赛）凸六边形ABCDEF的6条边长相等,内角A、B、C分别为

134。、106。、134。.则内角E是（用度数作答）.

2.（2020・江苏,高三竞赛）在平面直角坐标系-中，直线）=人与圆C：

&-27『+（），-36）2=5交于人，8,则|。4|0目=

3.（2021.全国•高三竞赛）在“8c中，NA8c所对的旁切圆与边八C相切于点。，

乙48所对的旁切圆与边A8相切于点E.若|A8|=1」AC|=2,则史面积的最大值

为.

4.（2021•浙江•高三竞赛）在“8c中，AB>AC>BC,在例，N为A8上两点，且

AN=AC,BM=8C,点,P为AABC的内心.若NMPN=75°,则/AC8=.

5（2021•全国•高三竞赛）设三个不同的正整数“、氏c成等差数列，且以久、护、c5

为三边长可以构成一个三角形，则«的最小可能值为

6.（2019•贵州侑三竞赛）如图，在△/WC中，八/3=3（）,八C=20,S„C=2）0,I）、E

分别为边43、八C的中点，N/3AC的平分线分别与“£、8c交于点AG,则四边形

liGi'D的面积为--------

7.（2018・山东•高三竞赛）若直线6*-5.\-28=0交椭圆*+与=1（“>〃>（）,且

crb-

a\〃为整数）于点A、C.设8（0,。）为椭网的上顶点，而"8c的重心为椭圆的右

焦点人，则椭圆的方程为.

8.（2018•河北•高三竞赛）在AABC中,AC=3,sinC=<siiM（k>2）,则△ABC的

面积最大值为.

9.（2021・全国•高三竟赛）已知直角梯形A8c。中，ABHCD,对角线AC、8。相交于

O,NOA8=90。，P、Q分别是腰A。、8C上的点，且

4BPA=NDPC,NAQB=NOQC,若2AB=3CD,则而=.

10.（2019.山东•高三竞赛）△A8c中，A8=16,8C=56,C4=9.在AABC外部,到点

8、C的距离小于6的点蛆成的集合，所覆盖平面区域的面积是.

二、解答题

II.（2021,全国•高三竞赛）已知△A8C满足乙4=60°,E、F分别为A8、AC延长线上

的点，且8E=C尸=8CAAC£的外接圆与Ek交于不同于E的点K证明：点K在

NMC的角平分线上.

12.（2021・全国•高三竞赛）如图，在平行四边形A8C。中，A、G分别是边A8、反'上

的点，线段AG、CA交于点P,&A47和ACCf的外接圆的第二个交点。位于

△48的内部.证明：NPDAMQBA.

13.（2021•全国高三竞赛）如图，设0、〃分别为△/48c的外心与垂心，M、N分别为

BH、CH的中点.88'是AA8C的外接圆的一条直径，如果是一个圆的内接四

边形，证明：B'N=-AC

2

14.（202卜全国.高三竞赛）如图，已知锐角AA8c的外接圆为「，过8、C分别作圆「

的切线交于点尸，?在直线3C、AC.A8上的投影分别为。、£、F,A。防的外接

圆与8c交于点N（不同于点D）,A在8c上的投影为M.求证：BN=CM.

A

r

ND

E

15.（2021•全国高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC中，A8=AC,M为8c的中

点.。为线段8"上一点，E、F分别为AC、A8上的点，且四边形AE。尸为平行四边

形.80交DE千点.P.CO的延长线交。厂的延长线于点。，d8C的外接圆。。交

△ADM的外接圆于A、K两点.

求证：K、Q、P、。四点共圆.

16.（2021•全国俗三竞赛）如图，AE.人尸为圆的两切线，A8c为圆的一条割线,

E/,.为切点连线，。为过C、8关于圆的切线的交点，证明：。、E、尸共线.

17.（2021.全国高三竞赛）如图，在心AA8c中，N4C8=90。，C为重心，P为射线

AG上一点，满足ZCM=NC48,。为射线8G上一点，满足/CQB=NA8C,证

明：AAQG、ABPG的外接圆的另一个交点在AB上.

18.（2021•全国高三竞赛）如图，设圆内接四边形/WC7）的对角线八C与/"）交于点

P,并且/M与C8交于Q.若PQ.LAC,且£是八8的中点.求证：PE1BC.

19.（2021,仝国•高三竞赛》如图，在AA8c中，BC最短,D、£分别在48、4C上满

足BD=CE=BC,设/是AA8c内心，。是AAOE夕卜心，求证：O!1.BC.

20.（2021•全国•高三竞赛》如图，锐角AA8c中，D为边BC中点、.△A8D内切圆与

边/W切一点£AAC。的内切圆与边AC切于点F,若四边形以）"；为平行四边形，求

证：G在用C的平分线上.

21.（2021•全国高三竞赛）如图，已知圆。是“WC的外接圆，切线8P、CP交于点

匕。是8c的中点，K、4分别在线段A&AC上，过满足切」一ZJD,连结KP、LP.

求证：NBPC=2NKPL.

A

D

P

22

22.（2021.全国•高三竞赛）点P为肺例「+与=1（〃>八0）外一点，过。作椭圆两条

a'b'

切线而、PB,切点分别为A、8,连结A8,点例、N分别为南、A8中点，连结

M2并延长交Iffi圆于点C，连结PC交椭圆于另一点。，连结M）并延长交户8于。，证

明：。为P8的中点.

23.（2021•全国•高三竞赛）如图，在锐用4A8C中，AB>AC,D、E分别是八/八

AC的中点，的外接圆与A8（芯的外接圆交于点P（异于E）,“力"的外接圆

与△8C7）的外接圆交于点Q（异于D）,证明：AP=AQ.

24.（2019•江西•高三竞赛》如图所示,BE、CF分别是锐角三角形A48C的两条高,以

4,为宜径的圆与直线CF相交于点M、N,以AC为直径的圆与直.线/明相交于点P、

25.（2019•山东府三竞赛）已知：正方形A8C/）的边长为1点”是边A。的中点以“

为圆心A/）为直径作圆，点A在线段4,上，且直线。£与圆相切.求△。用的面积.

26.（2018•江西岛三竟赛）如图，AABC的内心为/,D、E、G分别是边8C、

CAsA3的中点，证明：直线。平分△/）■'的周长.

27.（2018・福建•高三竞赛）如图，在锐角”8。中，£、£是边8c上的点，“8C、

△ABD、AA/）C的外心分别为0、P、Q.证明：

（1）“尸QSAABC；

（2）若EOJ.PQ,IAHQO.LPE.

28.（2019•全国高三竞赛）在A48c中，设/C=90。，CD1AB,垂足为D,P、Q分

别为AWC、&3QC的内心，PQ与CD交于点K,记AA8C的面积为S.证明：

11_I

CKr~ciy='s'

29.（2018・全国•高三竞赛）如图，OQ与。。：的半径相等，交于X、Y两点.A48C内

接于。且其垂心H在。。?上，点Z使得四边形CXZY为平行四边形.证明：AB、

XY、HZ三线共点.

30.（2021•全国高三竞赛）如图，以48为直径的圆上有C、。两点，AC,8。两点

的中点为《、”，直线£厂与宜线人/）、8C'分别交于G、H,求证：以由为直径的圆

和以“为直役的圆有一交点在8匕

H

D

31.（2021.全国两三竞赛）如图所示，在等腰“8c中，A8=AC,设点。是边人C

I二一点.点E是线段/"）的中点,延长AE与底边3C交于点尸.证明：若BF=EF,求

证：AE2=ABAD.

32.（202卜全国•高三竞赛）如图，在锐角6ABe'中，已知点D反尸分别是点A、及C在

边AC、C4、A8上的投影，.AEF、。尸的内心分别为L、％,“。门的外心

分别为Q、q,证明：

33.（202卜全国两三竞赛）如图,A8是。O的一条弦，A8的垂直平分线交（3。于

M、N两点，交AB于点/）.尸为OO内一点，△/）历户外接圆交PN于点E.AABE的外

接留交"P于点且点M、P、瓜尸在宜线A8同侧.证明：EF1.PN.

M

34.（2021•全国向三竞赛）如图，锐角AA8C的外接圆为「.。是A在8c上的射影，

假设A£>=8C,点M为。C中点，/AOC的角平分线与八C交于点N,「上一点P满

足8户"AC.直线。N与AM交于点儿直线/V•'与圆「再交于点Q.直线人C与

VPNQ的外接圆再交于点£证明：NOQE=90。.

35.（2021•浙江•高三竞赛）如图，。。是“18c的外接圆，。是弧8c（不含A）上一

点，S为弧8八C的中点./>为线段5。上一点，过户作08的平行线交A8于点£,过〃

作。。的平行线交AC于点尸，过。作S。的平行线交弧8OC于点兀已知。。上的点

。满足NQA。被A7•平分.证明：QE=QF.

36.（2021•全国高三竞赛）在锐角AA8C中，。为边8c上一定点，P为4）边上一动

点，直线CP交43千点Q,DQ交BP于点X..BCX、ACAX、”AX的三个外接圆

分别交。。于X外的另三点X、X、匕，过X、为、八分别作。。垂线4、4、4,证

明：4、4、/,均过定点.

37.（2021・全国•高三竞赛）在A/WC中，点9、Q、K分别位于边8C、CA,A8上，

%、为、气分别是“Q＜、△BRP、A"Q的外接圆，线段的与以、%分别

38.（2021•全国•高三竞赛）点。是A/WC的外接圆圆心，含点A的/3c的中点为S,点

7在不包含点A的8c上.点M在圆。上且SM〃。了.点，在线段SM上.过点/,作MB的

平行线交A8于点/：过点。作MC的平行线交AC于点E.点Q在圆。上，使得A7.是

NPAQ的角平分线.证明：QE=QF.

A

M

39.（2021・仝国・高三竞赛）如图，在“8。中，N4NN8NNC,且为“。边上的

高，M为/1C边上的中线，CP'为NC的平分线，人D与CA块:‘分别交于P、K两点,

BE与CF交于Q点,令》=2.求证：且，是最好的界（即可以无限接近

566

40.（2021•全国•高三竞赛）设△A8C的内心为点/,内切园分别切8C、C4、A8于

。、E、F.直线。厂与/?/交于点N.连结并延长/加，交AC于点用.求证：M是

AC中点.

41.（2021.全国高三竞赛）已知。。上依次四点A、4（、。，射线A8、ZX;交于点P.射

线,4。、8c交于点Q,弦4C、8£»交于点R,点M为线段PQ的中点.过点。作MR的

垂线，分别/'Q、MR于点、U、R过点。作。。的切线UK,与。。切于点K.

u

证明:(l)匕明KOBI点共圆:

(2)K、M、K三点共线.

42.(2020•全国•高三竞赛》如图，在等腰“8C中，A8=8C,/为内心，M为由的

中点，户为边人C匕一点，满足A尸=3pC,P/延长线上一点，满足胸/_LP〃，Q为

△A8C的外接圆上劣弛A8的中点.证明：BH1QH.

43.(2020•全国两三竞赛》如图，在锐角△A8c中，M是8c边的中点点P在△/WC

内，使得人P平分N8八C.直线MP与^ABP、△ACP的外接圆分别相交于不同于点P

的两点。、£证明：若l)E=MP,则8c=28P.

44.(2019.江苏.高三竞赛)如图所示，。是△/U3C中，边8c的中点，K为AC与

△八8”的外接圆。的交点，EK平行于AH且与网0交于E,若A1HDE、求证：

AB+AK=KC.

K

C

45.（2019,广西高三竞赛）如图所示，AI）.人”分别是△A8C（其中43>AC）的角平

分线、高线，点M是AO的中点，△MOH的外接圆交CM于点£求证：ZA£B=90°.

46.（2019•福建・高三竞赛）如图，O、H分别为锐知△A8c的外心垂心，AZ）_L8C于

D,G为4”的中点点K在线段G“上，且满足GK="O,连结K。并延长交人8于点

E.

（1）证明：EKJ/HC；

（2）证明：GELGC.

47.（2019,全国•高三竞赛）如图，点人从C、/）芭在一条直线上顺次排列,满足

BC=CD=yjABDE.点?在该直线外，满足P8=PD点KL分别在线段P8、P。上，满

足KC平分Z.BKE,LC平分ZALI).

证明：4KLK四点共圆.

48.（2021・全国•高三竞赛）如图，给定两个相交的圆。Q与。。2，A、B为的、。②

的交点，一动直线经过8与OQ交于点C,与。仇交于点■，且B在线段C。内，过C

的。。/KJ切线与过D的。。2的切线相交于点M,连结AM交C。于点E,过点E作

DM的平行线交A。于点K,求点K的轨迹.

A/

（2021•全国•高三竞赛）AA8C的外接圆与内切圆分别为「、Q.C”为A-旁切圆.

49.证明：存在唯一圆叫,叫与a内切、与Q»外切,并且与「内切于点A.

50.设圆电与Q,、Q的切点分别为P、Q.如果N%IQ=NC4P,求证：AB=AC.

竞赛专题9平面几何

(50题竞赛真题强化训练)

一、填空题

I.(2()18•天津高三竞赛)凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为

】34。、106°>134。.则内角E是(用度数作答).

【答案】134。

【解析】

【详解】

不妨设边长为I,设AC、DF的中点分别为M、N,且A在DF上的射影为K,则

ZBAM=37°,NM4F=97°,ZA?K=83°,即PK=cos83°,AW=AM=cos370

乂设乙EFN=.v,则FN=cosx,利用FN=FK+KN,

我们有cost=cos830+cos37°=2cos60°cos23°=cos230.

因此x=23°.即等腰ADEF的底加为23。，可见其顶加E为134。.

故答案为134。

2.(202()・江苏・高三竞赛)在平面直角坐标系屹)-中，苴线门息与圆C：

(x-27f+(.y-36y=5交于A,B,则|(汹|0埋=.

【答案】202()

【解析】

【详解】

解析：=202().

故答案为:202().

3.(2021•全国•高三竞赛)在AA8c中，Z/18C所对的旁切圆与边人C相切于点。，

ZAC8所对的旁切圆与边A8相切于点£.若［A8|=1」AG=2,则“AZ把面积的地大值

为

【答案】迎

8

【解析】

【详解】

设边BC、C4、A8的长度分别为“、6、则

IAO|=；(“+〃-c)JAE|=+c-/>),

故S,.,戊=^\AD\\AE\^nA

-S-c)[sinA

(a2-b2-c

=1.+1sinA-2/?c

8I2bc

=-(l-cosA)sinA-4=1.2sin2-2cos-sin-=2sin*4cos-

8222222

.2A.3A.•>A

“，AAsin-snr-stir-4

入(S亚)2=4sin6—cos2—=4x27x-----x-----x-----xcos2—'

'皿〃223332

.->A.,A.,A

sin"—sin"——sin'—

2722AA

---------十--------4+------上+COS—27

<4x27x3332

464

故3乎（等号在A*时取到）.

故答案为：—

8

4.（2Q2I-浙江高三竞赛）在AA8C中，AB>AC>BC,在何，N为A8上两点，且

AN=AC,BM=BC,点P为"BC的内心若NMPN=75°,则/AC8=

【答案】105

【解析】

【分析】

【详解】

证明：连接例、PB、PC及PM、PN.

山已知易证MPCW/MPN,MPC注ABPM.

从而PC=PN,PC=PM,即PM=PN=PC.

故P为△CMN的外心，此时有4MPN=2NMCN.

而/ACN=90°-!/A,ZBCM=900--ZB,

22

故NACN+ZBCM=y80°-；(NA+N8),

即NMCN+NACB=180°-1(ZA+ZB),

则ZMCN=ZMCN+NACli-ZACB

=(180。-Z4Cfi)--(/A+NB)

=(NA+/8)-g(NA+N8)

=g(/A+NB).

故乙”夕心2NMCN=NA+N/，=180°-NC

所以NC=180°-NMPN=180°-75°=105°.

故答案为：105°.

5.(2O2I•全国而三竞赛)设三个不同的正整数“、氏c成等差数列,且以2、h\e

为三边长可以构成一个三角形，则。的最小可能值为

【答案】I0

【解析】

【分析】

【详解】

设“M-A,c=〃+A为正整数，由于以八按、o'为三边长可以构成一个三角形，

则S-Q'+hs>(h+A)5ob'>10〃*+20/rk3+2ks,

所以〃'>l0Z/A">10«,

于是,a=l，-k>9k，U|：W«>9A-+I>)0.

故答案为：10.

6.(2019•贵州•高三竞赛)如图，在△ABC中,48=30,八C=20,SMQ210,1)、E

分别为边A3、AC的中点，NBAC的平分线分别与。£、8C交于点八G则四边形

8G/'/)的面积为

【答案】等

【解析】

【详解】

如图,在"BC中，由AG平分N/3AC知=:.故声改=照=]

BGAH35“如BC5

G

DB

33

又SAA3C=210,则“的=/皿=^x210=126.

由。、E分别为边A8、AC的中点知48c.所以8G.

由声2^=得到£.8=奥,故"边船刖二=126-警=等.

Q"〃G422.2.

故答案为：号.

7.（2018.山东.高三竞赛）若直线6x-5y-28=0交椭圆工+与=1且

“-b-

"、/,为整数）于点A、C.i殳8（0,〃）为椭圆的上顶点，而AAAC的重心为椭圆的右

焦点6,则椭圆的方程为

洛案】

【解析】

【详解】

设A(s),c(±M，

由题意AABC的重心为椭圆的右焦点号，整理得出+%=3r，/+H=-〃.

由A（qX）,C（三,⑼布直线6X-5.V-28=0上,得到：二？=’,

由哈3CHM在椭圆今/叱〃＞。）上，得到「+营印，

(丹+乂6

两式相减并整理得-7■=

(x2+X))(,v:-.V))3c5

整理得2/=5"①

因为A(.r”yj,C(.r2,力)在直线6A-5J-28=0±.

所以有6人-5y-28=0,6x2-53-2-28=0.

将*+a=3c,凹+.*=-〃代入得6x3c-5(-%)-56=0,

整理得18c+5〃=56.②

联立①②，且注意到。、b为整数，解得c=2,6=4,/=20.

故所求的椭圆方程为二+£=I.

2016

8.（2018•河北•高三竞赛）在AABC中,AC=3,sinC=AsinA（k>2）,则AABC的

面积最大值为.

【答案】3

【解析】

【详解】

山正弦定理将sinC=AsinA变形为c=A«.其中c=AB.a=BC

以线段AC所在直线为x轴,以AC的中点O为坐标原点建立平面自用坐标系，则

两边平方整理得伊-1卜2+伊-1）』_（3《+3）\+萍一1）=0

因为北.2,所以上述方程川化为为d+/_（3七+3）,+2=o

k2-\4

3k

由此可知点B的轨迹是以扣胃.（）为圆心，以〃=日为半径的圆所以当点B在

3*

圆上运动时，点B到x轴的最大距离为半径所以金C的面枳

c।°3Z乙9I„9I

S'xBxg伏二^^丁丁在八2上单调递减,所以九、=^[[=3

k

~l2-2

9.（202卜全国•高三竞赛）已知出用梯形A8CO中，ABHCD,对角线AC、8。相交于

O,Z£MB=90°,P、Q分别是腰A。、8c上的点，且

OP

NBPA=ZDPC,2AQB=NDQC,若2A8=3C。，则而=

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，记尸为过。点在A/）上的垂线的垂足,。为过户点在BC上的垂线的垂

足，下证儿。即为所求.

对。,白•布=--1所以有ACDP^GBAP,从而NCPD=ZBPA.

APOBAB

对Q,PQ工BC,所以P、。、C、/）,P、。、8、A均四点共圆，

所以VlNDQC=乙CPD=ZBPA=NAQ8.

设A。、8c交于T,K为7P的中点.不妨设AD=5,

则DT=10,DP=2.AP=3.TP=12.KP=6.K1)=4,TK=6,

从而芸=舁=£，所以OK〃BT,所以。

KTOB3

OP

由KP=KQ,所以OP=O。，从而右而=I.

故答案为：I.

10.（2019・山东•高三竞赛）△A8C中,八/，=】6'院?=5五,。八=9.在乙48。外部，到点

8、C的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是.

【答案】54万+四叵

4

【解析】

【详解】

分别以点8、C为圆心，6为半径作圆，交于三角形外一点“，连结/"）、CD-.

5353

cos4=—.cosZflDC=,故A、B、■、C四点共圆，所以NA8O+/AC£）=".

7272

乂易知人8与圆C相而，故所求的面积为2个圆的面积去掉半个圆的面积再加上4

8。的面积等于54万+龙变.

4

故答案为：54”+力陛.

4

二、解答题

11.（2021•全国•高三竞赛）已知，8。满足4=60。，£、F分别为A8、AC延长线上

的点，且BE=CT=8CAACE的外接圆与上/「交于不同于£的点K.证明：点K在

皿。的角平分线上.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

设BF与CE相交F点7.连结题、CK.

由NBCE+NBEC=NABC,及BC=BE,得NBCE=LNABC,

2

类似可得NC8F=；NAC8.故

ZCTF=NBCE+Z.CBF=-(ZABC+ZACB)=6()。，

2

因此，八、B、T、C四点共圆.

进而，4EBF=Z4CE=ZAKE.〃8尸=180°-ZEBF=180O-NAKE=NAKF.

所以A、8、K、/；四点共圆.

山乙EBK=NCFKNBEK=aFCK,及BE=FC,得^KBE'KFC.

干辿KC=KE.因此，KC=KE,即AK是N8AC的角平分线.

12.(2021・全国•高三竞赛)如图，在平行四边形A8CO中，A、G分别是边A8、8c上

的点，线段AC,、C4交于点尸，AAA/和△CC7的外接圆的第二个交点。位于

△ACO的内部.证明：NPDA=NQBA.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

对完全四边形8GCPAA,用密克定理，知Q、A、民C四点共圆，所以

Z.QC13=ZAA.Q=ZAPQ.

又因为ZPAQ=NPAQ=NC8Q,所以APAQSAC"。

,,APBCAD

因此而=加=丁,

结合NPAD=NPCIB=APQC知^PAD^^PQC.

因1）匕NPDA=NPCQ=N48Q.

13.（2021・全国•高三竞赛）如图，设0、〃分别为的外心与垂心，M.N分别为

BH、CH的中点.88'是AA8c的外接圆的一条直径，如果〃ON仞是一个圆的内接

四边形，证明：B'N=-AC.

2

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

如图，设尸为AC的中点.连接9/、4?',8匕片0,9。尸,0仞,0〃.可证尸、A、0、

〃四点共阴，从而可证明四边形8'WC为等腰梯形.故可证8'N=，AC.

2

【详解】

如图，连接A〃,A8'.8'CAO,^AHLBC.B'CLBC,故AH//B'C，同理A®〃HC,

故四边形AHCB）为平行四边形

设/•,为AC的中点,故。'、F、，共线,且尸为的中点，

连接FMOF,结合N为CH的中点可知，FNUffC.

连接。例。〃,则。“〃8'〃，故二FHO=NHOM=兀一4HNM=加一4HCB.

另一方面，容易得到NB4O=]-NA8C=N〃C8,故NFHO+NFAO=万，

从而八八、。、〃四点共圆，

从而可知NFB'C=ZFHA=AFOA=ZA8C=1-ZAB'C=ZNCB'.

从而四边形rwc为等腰梯形，进而8'N=CF=；AC，证毕.

【点睛】

思路点睛：竞赛中的平面几何，大多数与四点共圈相关，因此需要结合三角形中各类

角的性质进行大小关系的转化.

14.（2,21•全国•高三竞赛）如图，已知锐角d8C的外接圆为「，过8、C分别作画「

的切线交于点尸，P在直线8C、AC.A8上的投影分别为。、E、F,"）所的外接

圆与BC交于点N（不同于点D）,A在8c上的投影为M.求证：BN=CM.

A

*

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

连结AP、EF、DE、FN.

因为叩_L8C,P”1A8,所以NDP〃=48C.

因为P8、〃。与。。相切，所以N8AC=NgCP=NC8P.

因此Z.PCE=1800-ZAC8-"CB=1800-ZAC«-N8AC=Z.AHC=4DPF.

又因为户。，8c.PELAC,所以NPCE=NPDE.

所以PF//DE,因此ZPFE=ZDEF.

乂因为尸、£/）、N四点共圆，所以N8N尸=N。上方.

乂因为户、E、八、/••四点共圆，所以NBNF=NPFE=NPAC.

乂因为NPCE=48C,所以NACPnNMBU,

故ABFN^hCPA1所以=石,

[5]j）tBN=—AC=—AC=ACcosZPBF=ACcosNAC8=GW.

CPBP

15.（2。21・全国诲三竞赛）如图，已知等腰三角形A8C中，AB=AC，M为8c的中

点.“为线段8M上一点，E、F分别为AC、A8上的点，且四边形AED厂为平行四边

形.BO交DE于点P*CO的延长线交/）尸的延长线于点Q,AA8c的外接圆。。交

△ADW的外接圆于八、K两点.

求证：K、Q、P、。四点共圆.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

因为08=OA.AE=尸£>=BF.NOBA=Z.OAB=ZE40.

所以AOAEgAOBF,所以Zfi/'O=ZAEO，

所以八、£、F、。四点共顷I,记该圆为

乂NOPE=NOBA=NOAE,故行尸在做上，同理。也在回匕

ZSADM的外接圆圆心/V为AD的中点，即EF的中点.

乂OE=OF,故有。V.L£F，所以（入N与”的圆心共线.

所以三圃关于直线OZ对称，故人•也在”上.

所以K、Q、P、。四点共圆.

16.（2021•全国•高三竞赛）如图，AE,行为圆的两切线，A8c为例的一条割线,

£厂为切点连线，/）为过C、8关于圆的切线的交点，证明：/）、E、F共线.

£

A

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

法一：共同证法.

作圆心0,连结A0nEF=例，连结M3、0C.

由于DC、为圆。的切线，故•、C、/）、8四点共圆.

对Rt^AOF用射影定理nAM-AO=AF2.

y.AF2=ABAC=>AMAO=ABAC,即“、0、C、8四点共圆.

=>（）、C、/）、从例五点共圆，故。、C、例、8四点共圆.

=>ZAMB=ZOCB=ZOBC=ZOMC=/W'平分NCMB.

乂CD=BD=MF过D，即。、E、F共线.

法二：塞瓦定理.

sinZBDFsinZFCDsinNCBF

对F及△0）8用塞瓦定理,------------X--------------X--------------=1

sinZ.CDFsinZBCFsinZFBD

sinZ^EsinZDCEsinZEfiC

对上及久加）用塞瓦定理,xx=1

sinZCDEsinZECBsinZEBD,

sinZBDFfsinZFBD\

由｝-Z.FCD=4CBF/BCF=Z.FBDn[ainZCBF)

sinZCDF

由于ZDCE=180。一NEBCZEBD=180。一NECB=wi/BDE(丝/E8c

sinZCDE(sin/£C8

sinZFBD__sinZ.EBCCF二CE

sinZCBF-sinZ.ECB=茄一族’

CFACACCF

由AA8FSAAFC.AA8£SAA£C=曰=3=2=匕.

BFAFAEBE

从而D、£、F共线.

17.（2021.全国高三竞赛）如图，在肋“8C中，NAC8=90°,G为重心，P为射线

AG上一点，满足NCa4=NC48.Q为射线8G上一点，满足NCQ8=NA8C,证

明：AAQG、A8&的外接网的另一个交点在A8上.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

如图，延长CG与A8交于点J,则/为A8的中点,故NC7%=N68=NACG.

从而“CGsdPCnAGAP=AC2.

同理，BG-HQ=13C2.

设A8PG的外接圆圆仞与AH的另一个交点为K.

由圆然定理知：AKABAG-APAC2<

所以CK.LA8,手拉BK.BA=BC?=BG-BQ.

因此八、K、G、Q四点共圆，所以AAQG、A8PG的外接圆的另一个交点在A3t.

18.（2021.全国•高三竞赛）如图，设圆内接四边形A8C。的对角线八C与8。交于点

P,并且/）人与CB交于Q.若PQ.LAC,且E是A8的中点.求证：PEi.BC.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

【详解】

过B作BF/1PE交AC于F.连结FQ.

OC

则有”=/平，于是PQ是AF的中垂线,故。4=。尸，

ZQFA=NQAf=180°-ZDAC=180°—Z.DBC=NQBP.

因此。、P、F、8共同1,再山QRL/V-,得8F.L8Q.

而8/■〃柱..故PELBQ.即PELBC.

19.（2021•全国两三竞赛）如图，在AA8c中，8c最短，/入£分别在A8、AC上满

足BD=CE=BC,设/是AA8c内心，。是AAOE外心，求证：O!LBC.

【解析】

【分析】

【详解】

设AABC的外接阿凡M、N、。分别是弧48、AC.8c的中点.

如图连结线段，则由8C=CE得A/8=A布.

又,M4=M8,所以M4=/W£.于是用OJ.4K.

又/WL八C,所以/W0///W.同理NO〃PM.

再由0/W=/W,即知四边形OMPN是菱形，

所以MNLOP,并.『LOP=2PMsin=QB=QI.

Q

另方面.山鸡爪定理.乂有MN1.AI,所以OP//Q/且OP=Q1,

即四边形。PQ/是平行四边形,所以。〃/PQ,所以O/J.8c.

20.（2021全国.高三竞赛）如图，锐角“8C中，。为边8c中点，/XABO内切圆与

边A8切一点£AAC£＞的内切圆与边AC切于点F，若四边形EZJ收;为平行四边形，求

证：G在me的平分线上.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

设△A3。的内切圆分别与8。、A。切于〃、，两点：△AC。的内切圜分别与DC、AD

切于J、K两点.

作平行四边形AGFM,连结A/W,交八C于点心，则ZMG=NAE0.

HAM//GF//ED,AM=GF=ED,

所以AEDM是平行四边形，所以A£〃DM.

13

HDJC

又AG〃MF、所以ZE4G=NDMF、

所以要证明ZE4G=ZFAGoZFML=z^FMoLF=LM.

因为。是8c的中点，AE//DM,所以ZJ也AC的中点，RDL=-AB

2

因此：2LM=2DM-2DL=2AK-AB=AE-EB=AI-BH

=Al-BD+HD=AI-BD+DK+KI

2LF=2AF-2AL=2AK-2AL=2AK-AC

=AK-FC=AI+IK-CF=AI+IK-C/

Al+IK-CD+DJ=AJ+IK-BD+DK,

所以乙仞=乙".所以AG是的C的平分线.

21.（2021•全国•高三竞赛）如图,已知圆。是AASC1的外接圆，切线BP、b交于点

P,/）是8c的中点，K、乙分别在线段A8、AC上，且满足KD_LZ_D,连结KRLP,

求证：ZBPC^2ZKPL.

B

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

如图，过尸作。例」-A87N.LAC,垂足分别为M、N.

首先，山题意知则/?、M、P、/）共圆，C、MP、。共圆.

而ZKMD=NBPD=Z.CPD=NLND=90。一A,则NMKD+4KDM=90。+A,

而NMKD+NNLD=900+A,故ZNLD=ZKDM,UPAKDM^DLN,

,,KMDN

因此——=——

MDNL

乂因为NPMD=NPBD=ZPCD=NPND,

ZMPN=180°-A=180°-（NMKD+NKDM-900）

=360°-9()°-ZLDN-NKDM=ZMDN.

故四边形心而为平行四边形’即得而=而=而r而'

结合百角，&RtAKMP^RgPNL,即N"何+NUW=90。.

则Z.KPL=4MPN-900=(180°—4)-90°=90°~4.

而NBPC=180°-2A,故NBPC=2aKPL.

22.（2021•全国•高三竞赛）点P为椭圆^+£=】（“＞。＞0）外一点，过。作椭圆两条

crlr

切线附、用，切点分别为A、B,连结A8,点M、N分别为总、A3中点，连结

MN并延长交椭圆于点C,连结PC交椭圆于另一点。，连结N。并延长交依于Q,

证明：Q为的中点.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

【详解】

\PD\_\KD\

PC与43交于点K.首先证明：P、I）、K、C为调和点列，即宿一而.

"仇㈤，则宜线A8方程为首

\PD\_\K'1J\

设P、D、K'C为调和点列.

x1-2A\N+

-%=

-HT-1+九’

X+Z*

>0=

l-Ai