第08讲平行四边形的判定

第08讲平行四边形的判定判定定理1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：连接BD．∵AB=CD，AD=BC，BD是公共边，∴△ABD≌△CDB．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵多边形ABCD是四边形，∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°．∴AD∥BC，AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB．∴∠OAD=∠OCB．∴AD∥BC．同理AB∥DC．∴四边形ABCD是平行四边形．判定定理4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：连接AC.∵AB//CD，∴∠1=∠2．又∵AB=CD，AC=CA，∴△ABC≌△CDA．∴BC=DA．∴四边形ABCD是平行四边形．平行四边形的判定有五种：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．【注意】（1）判定方法可作为“画平行四边形”的依据．（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．（4）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形．考点剖析考点一、平行四边形的判定条件【例1】如图，在四边形中，与相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】解：A．根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；B．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；C．“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；故选C．【变式1】根据图中所给的边长及角度，下列四边形中，一定可以判定为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，可知一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，所以A不符合题意；由，可知一组对边平行，平行线间距离是5，可知另一组对边平行，该四边形是平行四边形，所以B符合题意；由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以C不符合题意；由，可知一组对边平行，另一组对边无法确定，不一定是平行四边形，所以D不符合题意．故选B．考点二、由两组对边的关系判定平行四边形【例2】如图，在平行四边形中，分别是，的角平分线．求证：四边形是平行四边形．

【解析】∵四边形是平行四边形，∴，，∴，又∵分别是，的角平分线，∴．∴，∴，∴四边形是平行四边形.【变式2】如图，已知都是等边三角形，点不在同一条直线上．你能证明四边形是平行四边形吗？【解析】证明：都是等边三角形，．，即．．．又∵在等边三角形中，，，同理可得．∴四边形是平行四边形．考点三、由一组对边的关系判定平行四边形【例3】如图，点D，C在上，，，．

(1)求证：；(2)连接，，判定四边形的形状，并说明理由．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，即，在与中，∴，∴；（2）判定：四边形为平行四边形，理由如下：由（1）知，∴，∴，又∵，∴四边形为平行四边形．【变式3】如图，已知是等边三角形，点D、F分别在线段、上，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求证：．【解析】（1）证明：是等边三角形，，，，，，四边形是平行四边形；（2）证明：如图，连接，，是等边三角形，，，，是等边三角形，，，在与中，，，．考点四、由对角线的关系判定平行四边形【例4】如图，将平行四边形的对角线向的两个方向延长，分别至点和点，且使得，求证：四边形为平行四边形．

【解析】连接，与交于点O．如图所示：

∵四边形是平行四边形，∴，又∵，∴，即．∴四边形是平行四边形．【变式4】已知：如图，在中，E，F是对角线上的两点，G，H是对角线上的两点，，．求证：四边形是平行四边形．【解析】证明：在中，，因为，，所以，所以，所以四边形是平行四边形．考点五、添加条件使四边形是平行四边形【例5】如图，在四边形中，，，垂足分别为点E，F，连接．(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是；(2)在（1）中添加条件后，请证明四边形为平行四边形．【解析】（1）解：；根据，，可得，再添加，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定；故答案为：（答案不唯一）．（2）证明：∵，，∴，∵，∴四边形是平行四边形．【变式5】如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形．(1)现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：（填一个序号即可）(2)在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形．【解析】（1）解：添加①，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④，证明AE＝CF，AECF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加③不能得出四边形AECF为平行四边形．故答案为：①或②或④（填一个即可）；（2）证明：如图，添加①BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四边形AECF是平行四边形；添加②AFCE时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AFCE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AFCE，∴四边形AECF是平行四边形；添加④∠BAE＝∠DCF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，ABCD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AECF，∴四边形AECF是平行四边形．考点六、与已知三点构成平行四边形【例6】在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四辺形，请写出D点坐标：．【答案】，，【解析】解：①当为边且为邻边时：如图，

因为点、，所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，相应地，点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点，，；②当为边且为邻边时：如图，

因为点、，所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，相应地，点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点，，；③当为对角线时：如图，

因为点、，所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，相应地，点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点，，；故答案为：，，．【变式6】平面直角坐标系中，，，，为平面内一点若、、、四点恰好构成一个平行四边形，则平面内符合条件的点的坐标为．【答案】或或【解析】解：如图，

当，时，点的坐标为；当，时，点的坐标为；当，时，点的坐标为；综上所述，满足条件的点的坐标为或或，故答案为：或或．考点七、平行四边形与动点问题【例7】如图，在四边形中，，，，点从点出发，向以的速度运动，到点即停止．点从点出发，向以的速度运动，到点即停止，点，同时出发，设运动时间为.(1)用含t的代数式表示：_________；___________；(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？(3)是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：∵点以的速度运动，点以的速度运动，∴，，故答案为：tcm，．（2）解：∵，∴，∴当时，四边形是平行四边形，∴，解得，∴当时，四边形是平行四边形；（3）解：∵，∴，∴当时，四边形是平行四边形，∵，，∴，解得：，∴存在，当时，四边形是平行四边形．【变式7】在四边形中，，，，，点从出发以1cm/s的速度向运动，点从点出发，以2cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t．

若是上一点，且，t取何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？【解析】解：∵，是上一点，即，①当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，②当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则有，解得，综上所述，s或s时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．过关检测一、单选题1．在下列命题中，是假命题的是（

）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．有一组对边相等，一组对边平行的四边形是平行四边形C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】B【解析】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意；B、有一组对边相等，一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，原命题是假命题，故本选项符合题意；C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意；D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项不符合题意；故选B．2．如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】解：A、∵，，∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵，，∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵，，∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D符合题意．故选D．3．如图，点是内的一点，过点作直线、分别平行于、，与的边分别交于、、、．则图中平行四边形的个数为（

）A．4个 B．5个 C．8个 D．9个【答案】D【解析】解：∵四边形为平行四边形，∴，∵过点作直线、分别平行于、，∴，∴四边形均为平行四边形，∴加上共9个；故选D．4．如图，，，且平分，则下列结论：；；．其中正确的个数是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，，∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∴正确；∵，∴，∵，∴，∴正确；∵四边形是平行四边形，∴，∴与不会全等，∴错误．故选．二、填空题5．如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形【解析】由题意可知，AD=BC，AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形.故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.6．如图，四边形的对角线相交于点，．请添加一个条件：，使四边形是平行四边形（写出一种情况即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴AD∥BC，∴可添加，得四边形是平行四边形，故答案为：（答案不唯一）.7．在四边形中,,为两条对角线,若,,则在下列结论中,不正确的是．；；；.【答案】【解析】解:∵,∴,在和中,,∴,∴,故正确；,故正确；,故错误；∴四边形是平行四边形,,故正确．故答案为:．8．如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长为18，则．【答案】6【解析】解：∵，∴则四边形和四边形都是平行四边形，∵是等边三角形，∴是等边三角形，则，∴，∴，∵的周长为，∴．故答案为：6．9．如图所示，四边形是平行四边形，按下列条件得到的四边形是平行四边形的有个．①图甲，；②图乙，平分，平分；③图丙，是的中点，是的中点；

④图丁，是上一点，．【答案】3【解析】①∵四边形是平行四边形，，，，，，，∴四边形是平行四边形；②∵四边形是平行四边形，，，平分，平分，，在和中，，，，，，∴四边形是平行四边形；③∵四边形是平行四边形，，是的中点，是的中点，，，，∴四边形是平行四边形；④∵四边形是平行四边形，，是上一点，，无法判断，∴四边形不一定是平行四边形；综上所述，能得到四边形是平行四边形的个数是3，故答案为：3．10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为、、，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标：．【答案】或或【解析】解：根据题意得，建立如图所示的直角坐标系．当，时，；当，时，；当，时，．故答案为：或或．三、解答题11．已知：在的边，上分别取一个点，，使得，，连接，．求证：

(1)四边形是平行四边形；(2)