陕西省部分学校高三下学期5月第一次模拟考试数学（理）

2024年高考全真模拟考试数学（理科）注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.2.已知复数，，，若，则在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中，记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的办法.如图，已知圆锥的高与底面半径均为2，过轴的截面为平面OAB，平行于平面OAB的平面与圆锥侧面的交线为双曲线C的一部分，将双曲线C的这部分平移到平面OAB内.若双曲线C的两条渐近线分别平行于OA，OB，以点O为坐标原点建立恰当的坐标系后，则平移后的双曲线C的方程可以为（）A. B. C. D.4.若的展开式中的各项系数和为243，则（）A.32 B.31 C.16 D.155.已知，若，则（）A. B. C. D.6.若点在平面区域上，则的最小值是（）A. B. C.1 D.27.在平行六面体中，已知，，则下列选项中错误的一项是（）A.直线与BD所成的角为90°B.线段的长度为C.直线与所成的角为90°D.直线与平面ABCD所成角的正弦值为8.今年两会期间，“新质生产力”被列为了2024年政府工作十大任务之首.某中学为了让高三同学对“新质生产力”有更多的了解，利用周五下午课外活动时间同时开设了四场有关“新质生产力”方面的公益讲座.已知甲、乙、丙、丁四位同学从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的不同方法共有（）A.48种 B.84种 C.24种 D.12种9.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，若的面积为，周长为，则AC边上的高为（）A. B. C. D.10.设O为坐标原点，直线过抛物线（）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A. B.C.的面积为 D.以MN为直径的圆与l有两个交点11.将一个体积为的铁球切割成一个正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（）A. B. C. D.12.已知函数，若，，，则（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图是某人设计的正八边形八角窗，若O是正八边形ABCDEFGH的中心，，则______.14.圆上总存在两个点到的距离为1，则a的取值范围是______.15.已知函数（）在区间上有且仅有3个极值点，则的取值范围是______.16.已知函数（）仅有一个零点，则实数a的值为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）记，求数列的前10项和.18.（本小题满分12分）体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（20202030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占.（Ⅰ）根据所给数据完成下面的列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（Ⅱ）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为与，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.附：，.0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.63519.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE中，已知，，且，.（Ⅰ）求证：平面平面BCD；（Ⅱ）线段BC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知动圆M经过定点，且与圆内切.（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.（i）求证：为定值；（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.21.（本小题满分12分）已知函数（），.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：（）；（Ⅲ）证明：（）.（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（s为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为，直线（）.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程以及曲线的普通方程；（Ⅱ）过点A且平行于l的直线m与交于M、N两点，求的值.23.（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】已知函数（，）.（Ⅰ）当，时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为6，求的最小值.2024年高考全真模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C2.A3.C4.B5.C6.B7.D8.A9.B10.C11.B12.D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14. 15. 16.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.解：（Ⅰ）由题意得，，又是等比数列，，，，，又，故，又是等差数列，故为等比数列，首项，公比，.……（6分）（Ⅱ），，令，则（），记的前n项和为，，数列的前10项和为760.……（12分）18.解：（Ⅰ）因为随机抽取了80人，其中女生与男生的人数之比为，男生中“运动达人”占，女生中“运动达人”占，所以可得到如下列联表：女生男生合计运动达人153045非运动达人53035合计206080由所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.……（6分）（Ⅱ）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人，记“恰有两人闯关成功”为事件A，“有女生闯关成功”为事件B，则，，由条件概率的公式得.故恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为.……（12分）19.解：（Ⅰ）证明：取AC的中点G，连接EG，，，，∴四边形EDCG为平行四边形，，又，，，，又，.，BC，CD是平面BCD内的两条相交直线，平面BCD，又平面ABC，平面平面BCD.……（6分）（Ⅱ）在平面BCD内过点C作BC的垂线l，平面BCD，∴l，CA，CB两两相互垂直，故以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，设在线段BC上存在点（），使二面角的余弦值为，则，，.设平面AEF的法向量为，则即令，则，，.设平面ABE的法向量为，则即（AÉ.n=0，m（，+）y:+/2=0，令，则，，..化简得，解得或（含去），故，所以，存在点F，当时，二面角的余弦值为.……（12分）20.解：（Ⅰ）设动圆的半径为r，由题意得圆的圆心为，半径，，，则.∴动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，，，即，，则，因此轨迹C的方程为.……（4分）（Ⅱ）（i）证明：设，，.由题意可知，，如图所示，则，，而，于是，，又，则，因此，为定值.……（8分）（ii）直线PQ的方程为，设，.由得，由（i）可知，即，解得或（舍去），∴直线PQ的方程为，因此直线PQ过定点.……（12分）21.解：（Ⅰ）函数的定义域为，，①当时，恒成立，函数的单调递减区间为；②当时，由，得，当时，；当时，.∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.………………（5分）（Ⅱ），恒成立，在上单调递减，又，，.……（8分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，，即，，，（当时“=”成立）.令（），，即，，从而，，…，，累加可得，即.由（Ⅱ）知，在是递减函数，，即，.（）.……（12分）（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（Ⅰ）曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，即.由，得曲线的极坐标方程为，即曲线的极坐标方程为.……（2分）由曲线的参数方程（s为参数），可得，又，故