青岛 数学 八上 第5章《几何证明举例》课件

5.6几何证明举例第5章几何证明初步逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2全等三角形的判定方法与等腰三角形的性质定理与判定定理有关的证明与线段垂直平分线、角平分线有关的证明直角三角形全等的判定定理知识点全等三角形的判定方法知1－讲11.基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，可简写为SAS.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，可简写为ASA.三边分别相等的两个三角形全等，可简写为SSS.知1－讲2.判定定理两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等，可简写为AAS.知1－讲特别提醒从基本事实SAS，ASA，SSS以及定理AAS出发可以判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形有关线段或角的关系知1－练例1[中考·陕西]如图5.6－1，BD∥AC，BD=BC，点E

在BC

上，且BE=AC．求证：∠ABC=∠D．解题秘方：先根据平行线的性质得到∠ACB=∠EBD，然后根据“SAS”可判断△ABC≌△EDB，从而根据全等三角形的性质得到结论．知1－练

知1－练1－1.[期中·潍坊]如图，在△ABC

和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB于点F，且AB=DE，求证：BD=AC＋CE．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵DE⊥AB，∴∠EFB＝90°.∴∠DEB＋∠ABC＝90°.∴∠DEB＝∠A.知1－练知2－讲知识点与等腰三角形的性质定理与判定定理有关的证明21.等腰三角形的性质定理(1)等腰三角形的两个底角相等；(2)等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.2.等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形.知2－讲3.等边三角形的性质定理等边三角形的三边相等，三个内角都等于60°；等边三角形每一边上的高、中线及对角的平分线重合.4.等边三角形的判定定理三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知2－讲特别提醒1.利用等腰三角形的性质与判定，也可以证明线段相等和角相等.2.等边三角形是特殊的等腰三角形,除具有等腰三角形的一切性质外，它还有特殊的性质:①它有三条对称轴;②三边都相等;③三个内角都等于60°等.知2－练[中考·泰安]如图5.6－2，∠ABC=90°，D，E

分别在BC，AC

上，AD⊥DE，且AD=DE，点F

是AE

的中点，延长FD

与AB

的延长线相交于点M.例2解题秘方：本题考查了等腰三角形的性质与判定、平行线的判定等.知2－练(1)求证：∠FMC=∠FCM.证明：∵AD=DE，AD⊥DE，点F

是AE

的中点，∴DF⊥AE，AF=EF，∠FDE=∠FDA=∠DEF=∠DAF=45°.∴DF=AF=EF，∠AMF＋∠MAC=90°.∵∠ABC=90°，∴∠DCF＋∠MAC=90°.∴∠DCF=∠AMF.知2－练

知2－练(2)AD

与MC

垂直吗？并说明理由.解：AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°.∴DE∥CM.又∵AD⊥DE，∴AD⊥MC.知2－练2－1.[期末·烟台]如图，在△ABC

中，AB=AC，∠ABC

的角平分线交AC

于点D，过点A

作AE∥

BC交BD

的延长线于点E．若F

是DE

上的一点，且AD=AF，求证：BD=EF．证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵AE∥BC，∴∠E＝∠CBE.∴∠E＝∠ABE.知2－练知2－练如图5.6－3，△

ABC为等边三角形，BD

平分∠ABC交AC

于点D，DE∥BC

交AB

于点E.求证：例3解题秘方：本题考查了等边三角形的性质与判定以及平行线的性质.知2－练(1)△

ADE是等边三角形；证明：因为△ABC

为等边三角形，所以∠

A=∠ABC=∠C=60°.因为DE∥BC，所以∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°.所以△ADE

是等边三角形.知2－练

知2－练3－1.[模拟·青岛]如图，在等边三角形ABC中，D为边AC

的中点，DG

//BC

交AB

于点G，E为BC

延长线上的一点，且∠

EDF=120

°，DF交AB于点F．求证：知2－练(1)△CDE≌△GDF；知2－练知2－练

知3－讲知识点与线段垂直平分线、角平分线有关的证明31.线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.2.线段垂直平分线的性质定理的逆定理到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3.角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.4.角平分线的性质定理的逆定理角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.知3－讲知3－讲特别提醒线段垂直平分线的性质定理中的“距离”是指“两点间的线段的长”，而角平分线的性质定理中的“距离”是指“点到直线的垂线段的长”，要注意区分.知3－练[中考·杭州]如图5.6－4，在△

ABC中，AC

＜AB＜BC．例4知3－练(1)如图5.6－4①，已知线段AB

的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B；解题秘方：根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得∠APC=2∠B；知3－练解：∵线段AB

的垂直平分线与BC

边交于点P，∴PA=PB.∴∠B=∠BAP.∵∠APC=∠B＋

∠BAP，∴∠APC=2∠B.知3－练(2)如图5.6－4②，以点B

为圆心，线段AB

的长为半径画弧，与BC

边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠

B的度数.解题秘方：根据题意可知BA=BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA，再根据三角形的内角和定理即可解答．知3－练解：根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA.∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B＋

∠BAQ，∴∠BAQ=2∠B.∴∠BQA=2∠B.∵∠BAQ＋

∠BQA＋

∠B=180°，∴5∠B=180°.∴∠B=36°.知3－练4－1.[模拟·青岛]在△ABC

中，AD⊥BC，且BD=DE，EF

垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，连接AE.知3－练(1)若∠BAD=16°，求∠

CEF的度数；知3－练(2)若DC=8cm，求△ABE

的周长.解：由(1)知，EC＝AE＝AB，∵DE＝BD，∴AB＋BD＝AE＋DE＝EC＋DE＝DC.∴△ABE的周长为AB＋BD＋AE＋DE＝2DC＝2×8＝16(cm)．知3－练已知，如图5.6－5，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB

交AB

的延长线于点E，DF⊥AC

交AC

的延长线于点F，求证：DE=DF.例5知3－练解题秘方：连接AD，利用“SSS”得到△

ABD与△ACD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD

为∠EAF的平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质定理即可得证.知3－练

知3－练5－1.如图所示,在△ABC

中，∠

BAC=120°,AD,BE

分别为△

ABC的角平分线,连接DE.求证:点E

在∠ADC的平分线上.知3－练证明：如图，过点E作EH⊥BA交BA的延长线于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G.知3－练∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°.∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴∠CAD＝∠CAH，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG.∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF.∴EF＝EG，∴点E在∠ADC的平分线上．知4－讲知识点直角三角形全等的判定定理4如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等.这个定理可以简单地记作“斜边、直角边”或“HL”.

知4－讲知4－讲特别提醒“HL”是判定两直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面学习的判定三角形全等的方法在直角三角形中同样适用.知4－练[中考·孝感]如图5.6-7，已知∠C=∠D=90°，BC

与AD交于点E，AC=BD，求证：AE=BE．例6解题秘方：由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA