青岛 数学 八上 第2章《角平分线的性质》课件

2.5角平分线的性质第2章图形的轴对称逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2角平分线的性质角平分线的判定作角的平分线知识点角平分线的性质知1－讲11.角的对称性角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.知1－讲2.角平分线的性质角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.几何语言：如图2.5-1，因为OC平分∠AOB，点P

在OC上，PD

⊥OA

于点D，PE⊥OB

于点E，所以PD=PE.要点精析：点一定要在角平分线上.点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度.知1－讲特别提醒★角平分线是一条射线；角的对称轴是一条直线.1.角的平分线的性质是由两个条件(角平分线，垂线)得到一个结论(线段相等).2.利用角的平分线的性质说明线段相等时，说明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”.知1－练例1[期中·青岛]如图2.5-2，OD平分∠EOF，在OE，OF上分别取点A，B，使OA=OB，P

为OD

上一点，PM

⊥BD，PN

⊥AD，垂足分别为点M，N.试说明：PM=PN.解题秘方：在图中找出能利用角平分线性质的模型，利用角平分线的性质可说明线段相等.知1－练解：因为OD

平分∠EOF，所以∠BOD=∠AOD.又因为OB=OA，OD=OD，所以△BOD≌△AOD(SAS).所以∠BDO=∠ADO，所以DO

平分∠BDA.又因为P为DO

上一点，且PM⊥DB，PN⊥DA，所以PM=PN.知1－练1-1.[期中·济宁]如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM

上滑动，两直角边分别与OA，OB

交于点C，D，试说明：PC=PD．知1－练解：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E，PF⊥OA于点F，则∠CFP＝∠DEP＝90°.因为OM是∠AOB的平分线，所以PE＝PF.因为∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，所以∠PCF＋∠PDO＝360°－∠AOB－∠CPD＝180°.因为∠PDE＋∠PDO＝180°，所以∠PCF＝∠PDE.知1－练知1－练如图2.5-3，在△ABC

中，AD

为∠

BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC

于点F，△ABC

的面积是86.8cm2，AB=16cm，AC=12cm，求DE的长.解题秘方：运用角平分线的性质和三角形的面积计算公式求解.例2知1－练

知1－练2-1.如图，点P

是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D.若PD=2，则点P

到边OA的距离是()A.1B.2C.3D.4B知2－讲知识点角平分线的判定21.

判定法角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.几何语言：如图2.5-4，因为点P

为∠AOB

内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，且PD=PE，所以点P在∠

AOB的平分线OC上.知2－讲2.角平分线的判定与性质的关系(1)如图2.5-4，都与距离有关；条件PD⊥OA，PE

⊥OB都具备.知2－讲(2)点在角的平分线上(角的内部的)点到角两边的距离相等.拓展：(1)角的平分线可以看做是由到角两边距离相等的所有点组成的射线.(2)三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等.知2－讲特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角的平分线的判定方法是说明两个角相等的重要依据，它比利用三角形全等说明两角相等更方便快捷.知2－练如图2.5-5，BF⊥AC

于点F，CE⊥AB

于点E，BF和CE交于点D，BE=CF.试说明：AD

平分∠

BAC.例3解题秘方：利用角平分线的判定定理判定角平分线时，关键是说明角的内部的点到角两边的距离相等.知2－练

知2－练3-1.如图，在△

ABC中，∠ABC

的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P，连接AP.知2－练(1)试说明：AP

平分△ABC

的外角∠

CAM；解：如图，过点P作PT⊥BN于点T，作PS⊥AC于点S，PQ⊥BM于点Q.因为在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACN的平分线相交于点P，所以PQ＝PT，PS＝PT.所以PQ＝PS.所以AP平分∠MAC，即AP平分△ABC的外角∠CAM.知2－练(2)过点C

作CE

⊥AP，垂足是E，并延长CE

交BM

于点D.试说明：CE=ED.知3－讲知识点作角的平分线31.步骤与图示已知：∠AOB(如图2.5-6).求作：∠AOB的平分线.

知3－讲2.作角平分线的理论依据是三角形全等的判定方法“SSS”.知3－讲知3－讲特别提醒作角平分线的最后一步不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段.知3－练

例4解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分.知3－练

知3－练4-1.如图，已知OA和OB

两条公路，以及C，