1912函数的图象(精讲)-2021-2022学年八年级数学下学期重要考点(人教版)

19.1.2函数的图象函数的图象对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.注意：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.题型1：函数图像选择题1.如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位：cm3A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】解：容器的形状可知，底部最大，刚开始当ℎ增大时，体积增大较快，但随着ℎ的增大，V增大的速度变缓，表现出的函数图象即为：函数图象先陡，后缓，结合选项只有B选项符合题意；故答案为：B

【分析】根据V与h不成一次函数关系，即可得出图像没有直线部分排除C、D选项，再根据越往上体积越小排除A即可。【变式11】在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得，当0<x≤3时，y=1.∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，∴托运费y与物品重量x之间的函数图象为：故答案为：D.【分析】由当0<x≤3时，y=1.【变式12】如图，是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的流量注水，图中哪个图像能大致表示水的最大深度ℎ和时间t之间的函数关系（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．故答案为：C．【分析】根据水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢，对每个选项一一判断即可。题型2：函数图像图象的识别与理解2.一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图象回答下列问题：（1）甲地与乙地相距千米，两车出发后小时相遇；（2）普通列车到达终点共需小时，普通列车的速度是千米/小时；（3）动车的速度是千米/小时；（4）t的值为.【答案】（1）1200；4（2）12；100（3）200（4）6【解析】【解答】（1）由图像可知，甲地与乙地相距1200千米，两车出发后4小时相遇；（2）普通列车12小时到达，则速度为1200÷12=100千米/小时（3）设动车速度a千米/小时，由题意得(a+100)×4=1200，解得a=200，所以动车的速度是200千米/小时；（4）t=1200÷200=6.【分析】（1）初始时刻y=1200，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻；（2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度；（3）设动车速度a千米/小时，由4小时相遇，列出方程可求解；（4）t时刻是动车到达乙地的时刻，用路程除以速度即可.【变式21】某市5月1日海拔ℎ（千米）与相应高度处气温t(°C)的关系如表格所示；当日当地一架飞机返回地面下降过程中，飞机的海拔高度与返回地面所用时间的关系如图象所示．海拔高度ℎ（千米）012345…气温t(°C)201482−4…根据所给表格和图象，回答以下问题：（1）由上表可知海拔5千米的上空气温约为°C；（2）按表格中的规律，请写出当日气温t与海拔高度ℎ的关系式为；（3）返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋了分钟；（4）飞机自9.8千米的海拔高度下降10分钟时，所在高空的气温是°C；下降16分钟时所在高空的气温是°C．【答案】（1）10（2）t=206h（3）2（4）8；14【解析】【解答】解：（1）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，故海拔5千米的上空气温约为10℃，故答案为：10；（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，所以当日气温t与海拔高度h的关系式为t=206h，故答案为：t=206h；（3）飞机在2千米高空水平面上大约盘旋了2分钟，故答案为：2；（4）由图可知，当从h=9.8开始下降10分钟后，高度为h=2根据图表可知，h=2时，温度为8，设12分钟后，h与t的函数关系式为h=kt+b，则12k+b=220k+b=0解得：k=−1∴h=−1当t=16时，h=1，即下降16分钟时所在高空的气温是14度，故答案为：8；14．【分析】（1）根据表格中的数据求出即可；

（2）由表知海拔高度每上升1千米，气温下降6℃，据此即可求解；

（3）由图象可知：返回途中，飞机在2千米高空大约盘旋1210=2分钟；

（4）将h=9.8代入（2）解析式中求出t值即可；利用待定系数法求出图象中最后一段直线解析式，再将t=16代入计算即可.【变式22】某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）在上述变化过程中，自变量是，因变量是；（2）朱老师的速度为米/秒；小明的速度为米/秒；（3）小明与朱老师相遇次，相遇时距起点的距离分别为米．【答案】（1）小明出发的时间t；距起点的距离s（2）2；6（3）2次；300米或420米【解析】【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s．（2）朱老师的速度为：÷50=2（米/秒）；小明的速度为：300÷50=6（米/秒）．（3）小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300米或420米.【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；（2）根据速度=路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；（3）根据函数图象即可得到结论．【变式23】骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，如图是骆驼48小时的体温随时间变化的函数图象．观察函数图象并回答：（1）第一天中，骆驼体温的变化范围是从℃～℃，它的体温从最低到最高经过了小时．（2）A点表示的是什么？图像中还有什么时间的温度与A点表示的温度相同？【答案】（1）35；40；12（2）解：A点表示当日12时的体温，还有当日20时、次日12时、次日20时的体温与A点表示的体温相同。【解析】【解答】解：（1）根据图像可知，体温的变化范围为35℃~40℃；从最低到最高经历了164=12小时。

故答案为：35；40；12.

【分析】根据函数图像分析数据，据此进行解答即可。题型3：函数图像画函数图像3.画出函数y=﹣2x的图象（先列表，然后描点、连线）．【答案】解：列表：x…﹣2﹣1012…y…420﹣2﹣4…描点，连线，如图【解析】【分析】利用描点法画正比例图象即可．【变式31】在平面直角坐标系中，画出函数y=|x|的图象．【答案】解：(1)列表：x……101……y……101……(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．(3)连线：把这些点依次连接起来，得到y=|x|的图象，如图所示．【解析】【分析】（1）利用函数解析式先列表；（2）描点；（3）连线，即可画出函数图象.【变式32】画出函数y＝2x－1的图象．（1）列表：x…－101…y……（2）描点并连线；（3）判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？（4）若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．【答案】（1）解：列表：（2）解：描点并连线：（3）解：将x=3代入函数解析式，得y=3×21=7≠5，因此A点不在函数y=2x1的图象上；将x=2代入函数解析式，得y=2×21=3，因此B点不在函数y=2x1的图象上；将x=3代入函数解析式，得y=2×31=5，因此C点在函数y=2x1的图象上.（4）解：将点P(m，9)的坐标代入可得9=2m1，解得m=5.【解析】【分析】对于（1）和（2），填写表格，用两点法画出函数的图象即可，选好点后经过描点，连线即可得出函数的图象；对于（3），判定A，B，C是否在函数y=2x1的图象上，只需分别将x的值代入函数解析式，验证y的值是否与点的纵坐标相等，若相等，则点在函数图象上，反之不在；对于（4），根据函数图象上点的坐标特征，将点P的坐标代入即可得到关于m的方程，求解即可.函数的几种表达方式：变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.注意：函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.题型4：函数的三种表达方式4.用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n本书共需费用y元，则可列出关系式()A．y=n(m100+0.6) B．y=n(mC．y=n(100m+0.6) D．y=n(100【答案】A【解析】【解答】解：∵用m元钱在网上书店恰好可购买100本书，

∴1本书需要m100元.

∵每本书需另加邮寄费6角，

∴购买n本书共需费用y=n(m100+0.6).

故答案为：A.【变式41】小明从家出发步行至学校，停留一段时间后乘车返回，则下列函数图象最能体现他离家的距离(s)与出发时间(1)之间的对应关系的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】【解答】①从家出发步行至学校时，为一次函数图象，是一条从原点开始的线段；②停留一段时间时，离家的距离不变；③乘车返回时，离家的距离逐渐减小至零，且乘车到家用的时间比步行的时间短，只有B选项符合．故答案为：B．【分析】本题是实际问题的函数图像，要先了解横坐标纵坐标代表的意义，直线的斜率程度不同，代表运动的速度不同，倾斜越厉害，说明速度越快。【变式42】在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间有如下表关系：下列说法错误的是（）A．y随x的增大而增大B．所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cmC．所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cmD．不挂重物时弹簧的长度为0cm【答案】D【解析】【解答】解：由表格可得，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式为：y=0.5x+10A.k=0.5>0，故y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；B.当x=x1时，y1=0.5x1+10C.当x=7时，y=0.5×7+10=13.5，故本选项不符合题意；D.当x=0时，y=0.5×0+10=10，故本选项符合题意．故答案为：D【分析】根据表格中的数据先得到函数关系式，然后再根据一次函数图像的性质进行判断即可得解．【变式43】我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200毫升的量筒接水，每隔10秒钟观察量筒中水的体积，从某一时刻起记录1分钟内量筒中水的体积如下表（精确到1ml）：时间t(s)102030405060量筒中的水量V(ml)3045607590105（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点；（2）量筒中的水量V(ml)是否为时间t(s)的函数？如果是，试求出一个符合表中数据的函数解析式；（3）若水费为3.6元/m3，按这样的漏水速度，这个水龙头一个月（30天）要浪费多少钱？（1【答案】（1）解：描点、连线，画出函数图象，如图所示：（2）解：量筒中的水量V(ml)是时间t(s)的函数，当0⩽t⩽10时，V=3t；当t>10时.设V=kt+b，则10k+b=3030k+b=60，解得k=1.5∴V=1.5t+15，∴V=（3）解：(1.5×30×24×60×60+15)÷1000000×3.6≈14（元).答：这个水龙头一个月(30天）要浪费14元.【解析】【分析】（1）根据时间t与水量V的数据即可描点、连线即可；

（2）观察图像可得分段函数，当0⩽t⩽10时，是正比例函数，代入点（10,30）可得解析式，当t>10时，是一次函数，代入点（10,30）、（30,60），根据待定系数法可得结果；

（3）由（2）可得漏水速度为1.5ml/s，代入即可计算.【变式44】中秋节前夕，某公司的李会计受公司委派去超市购买若干盒美心月饼，超市给出了该种月饼不同购买数量的价格优惠，如图，折线ABCD表示购买这种月饼每盒的价格y（元）与盒数x（盒）之间的函数关系．（1）当购买这种月饼盒数不超过10盒时，一盒月饼的价格为元；（2）求出当10＜x＜25时，y与x之间的函数关系式；（3）当时李会计支付了3600元购买这种月饼，那么李会计买了多少盒这种月饼？【答案】（1）240（2）解：当10＜x＜25时，设y=kx+b（其中k、b为常数且k≠0），将B（10，240），C（25，150）代入y=kx+b中，得：10k+b=24025k+b=150，解得：k=−6∴当10＜x＜25时，y=﹣6x+300（3）解：∵3600÷240=15（盒），3600÷150=24（盒），∴收费标准在BC段，根据题意得：（﹣6x+300）x=3600，解得：x1=20，x2=30（不合题意，舍去）．答：李会计买了20盒这种月饼．【解析】【解答】（1）∵当0≤x≤10时，y=240（元）．故答案为：240．

【分析】（1）观察图象可知，结果为240元；

（2）有图象可知，y是x的一次函数，故设出其解析式，用待定系数法求出即可；

（3）先根据消费总额估计出收费标准的范围，然后”单价×数量=总价“列方程求解即可。题型5：分段函数5.某人开车从家出发去植物园游玩，设汽车行驶的路程为S（千米），所用时间为t（分），S与t之间的函数关系如图所示.若他早上8点从家出发，汽车在途中停车加油一次，则下列描述中，不正确的是()A．汽车行驶到一半路程时，停车加油用时10分钟B．汽车一共行驶了60千米的路程，上午9点5分到达植物园C．加油后汽车行驶的速度为60千米/时D．加油后汽车行驶的速度比加油前汽车行驶的速度快【答案】D【解析】【解答】解：A.汽车行驶30千米时，停车加油时间为第25分至第35分，该选项正确；B.S=60千米，8点出发，用时65分钟，9点5分到达，该选项正确；C.加油后速度V=SD.加油后速度V加油前速度VV2故答案为：D【分析】根据函数图象可知：从家到动物园的距离为60千米，共经历65分钟时间，行驶到30千米的加油，加油的时间为3525=10分钟，据此判断A、B；根据速度=路程÷时间，分别求出加油后速度与加油前速度，据此判断C、D即可.【变式51】小明家与学校之间距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离学校的距离S（千米）与所用时间t（分）之间的关系（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：因为小明家所在学校离家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离学校的距离．故答案为：C．【变式52】某旅游团上午6时从旅馆出发，乘汽车到距离210km的某著名旅游景点游玩，该汽车离旅馆的距离S（km）与时间t（h）的关系可以用如图的折线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）求该团去景点时的平均速度是多少？（2）该团在旅游景点游玩了多少小时？（3）求返回到宾馆的时刻是几时几分？【答案】（1）解：210÷（9﹣6）=70（千米/时），答：该团去景点时的平均速度是70千米/时（2）解：13﹣9=4（小时），答：该团在旅游景点游玩了4小时（3）解：设返货途中S（km）与时间t（h）的函数关系式为s=kt+b，根据题意，得13t+b=21015t+b=110解得k=−50b=860函数关系式为s=﹣50t+860，当S=0时，t=17.2答：返回到宾馆的时刻是17时12分【解析】【分析】（1）根据平均速度的意义，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得答案；（3）根据待定系数法，可得函数关系式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．【变式53】星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？【答案】解：观察图象可知：（1