广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学

广东省东莞市三校20232024学年高二下学期4月期中联考数学试题命题组组长：聂检华考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数，则（）A.0 B. C. D.2.若，则（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或43.随机变量的分布列如表：则（）A. B. C. D.4.的展开式中，含的项的系数是（）A. B.5 C.15 D.355.若函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有A.34种 B.48种C.96种 D.144种7.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.218.已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数求导正确的是（）A B.C. D.10.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B.任取一个零件是次品概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为11.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对两个不相等正实数，，若，则.第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数是__________.13.如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.14.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（1）计算；（2）已知，求的值．16.某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.17.已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．（1）求实数、的值；（2）求函数的单调区间和极值．18.甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．19设函数.（1）求的单调区间；（2）求的取值范围；（3）已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．广东省东莞市三校20232024学年高二下学期4月期中联考数学试题命题组组长：聂检华考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.若函数，则（）A.0 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求导，再令即可得解.【详解】，所以.故选：A.2.若，则（）A.2 B.3 C.2或4 D.3或4【答案】C【解析】【分析】根据组合数公式的性质求解即可【详解】因为，所以或，故选：C3.随机变量的分布列如表：则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由分布列中的概率和为可直接求得结果.【详解】由分布列性质知：，解得：.故选：A.4.的展开式中，含的项的系数是（）A. B.5 C.15 D.35【答案】C【解析】【分析】根据二项式定理求解.【详解】由二项式定理：，令，得，所以项的系数为；故选：C.5.若函数，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，再赋值计算即得.【详解】函数，求导得，当时，，所以.故选：A6.有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有A34种 B.48种C.96种 D.144种【答案】C【解析】【详解】试题分析：,故选C.考点：排列组合.7.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是()A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21【答案】C【解析】【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，由题可知A、B、C、D互相独立，故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．故选：C．8.已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将原方程变形为或，然后分析的单调性，再对不同的进行分类讨论即可得到结果.【详解】由于，故原方程等价于或.由于当时，，故在上单调递减.而当时，有，故此时，从而当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.从而当时，有，而在上单调递减，，所以有唯一解.若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或，而只有一个解，所以方程至少有三个解.假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以假设，则当，时有，从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解，所以至多有两个解，矛盾，所以.综上，有，即；另一方面，当即时，设，由于，，，且.故在，，上各有一个解，从而至少有三个解.而，（因为），所以或有四个解.综上，的取值范围是，即，D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含充分性和必要性两方面.二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列函数求导正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】直接根据导数的运算法则及复合函数求导方法计即可判断．【详解】对于A：，故A正确；对于B：，故B正确；对于C：令，则，故C错误；对于D：，故D正确．故选：ABD．10.有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（）A.任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015B.任取一个零件是次品的概率为0.0525C.如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为D.如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为【答案】ABC【解析】【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.故选：ABC11.关于函数，下列判断正确的是（）A.是的极大值点B.函数有且只有1个零点C.存在正实数，使得成立D.对两个不相等的正实数，，若，则.【答案】BD【解析】【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；③利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；④设，则，构造函数并结合函数的单调性，可证明，再结合的单调性，可得到，即可得到，从而可得证.【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；D.令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以.故D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．第II卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案．【详解】展开式的通项为，，①令，则；②令，则；综上可得：展开式中项的系数为．故答案为：．13.如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.【答案】13【解析】【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.故答案为：13.14.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________【答案】【解析】【详解】f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．所以要使函数f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，即⇒－2≤a＜1.四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（1）计算；（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）15【解析】【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可；（2）利用赋值法求解即可．【详解】（1）；（2）令，得，令，得，所以．16.某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列．（2）利用条件概率转化求解即可．【小问1详解】由题可知的所有可能取值为0，1，2，依题意得：，，，的分布列为：012【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，根据分步计数原理，．所以．17.已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．（1）求实数、的值；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）（2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果.【小问1详解】解：因为，该函数的定义域为，，因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，则，解得.【小问2详解】解：由（1）可得，该函数的定义域为，，由可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.18.甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：若将频率视为概率，回答下列问题：①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．【答案】（1），；；（2）①分布列见解析；期望为；②推荐小赵去甲快递公司应聘；理由见解析．【解析】【分析】（1）由已知可求得甲快递公司的“快递小哥”的日工资和乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式．（2）①由条形图得x的取值范围为，分别求得，，，，由此可得的分布列，根据数学期望公式可得答案.②求得甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较可得结论．【详解】解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资中与送货单数的函数关系式为，．乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式为．（2）①由条形图得x的取值范围为，，，，，所以的分布列为1001061181300.20.30.40.1故的数学期望为．②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为，所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），由①知，乙