专题2112二次函数中的十二大存在性问题（沪科版）

专题21.12二次函数中的十二大存在性问题【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】 1【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】 12【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 23【题型4二次函数中全等三角形的存在性问题】 33【题型5二次函数中平行四边形的存在性问题】 42【题型6二次函数中菱形的存在性问题】 53【题型7二次函数中矩形的存在性问题】 63【题型8二次函数中正方形的存在性问题】 75【题型9二次函数中面积问题的存在性问题】 87【题型10二次函数中线段问题的存在性问题】 97【题型11二次函数中角度问题的存在性问题】 110【题型12二次函数中最值问题的存在性问题】 123【题型1二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例1】（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+

(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、【答案】(1)y(2)最大面积为278，(3)存在，见详解【分析】（1）把B、（2）连接CE、BE，经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，-x+3代入求出即可．（3）先求出C、P的坐标，由勾股定理可求【详解】（1）解：∵直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B∴B（3，∴c=30=9+3b∴抛物线解析式为y=（2）当0<x<3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，过点E作x轴的垂线FE，交直线

设点F（x，∴EF=-∴S△CBE=S△CEF+∵a=-32∴当x=32时，S△CBE有最大值∴E3（3）∵y=∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为P∴CP=设点M的坐标为（2，m），则PM=m则m+1∴m=-1±2∴点M2,-1-25或2,-1+2若CP=CM=2∴m=7∴点M（若PM=CM，如图，过点C作CH⊥

∴CH=2，PH∵CH∴4+H∴HM=∴点M2,∴满足条件的点M分别为M1（2，7），M22,-1-25，【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，二次函数的最值，等腰三角形性质，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识点的应用，综合性比较强．【变式11】（2023春·广西贵港·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+3x+ca≠0与x轴交于点A-2,0和点B，与y轴交于点C0,8，点P

(1)求抛物线的解析式；(2)求△BCP(3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得△BEM为等腰三角形？若存在，求出点M【答案】(1)y(2)△BCP的面积最大值为(3)存在，M点坐标为3,0或3,-5或3,52+5【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）先求出直线BC的解析式，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,-1（3）分三种情况进行讨论：当BE=BM时；当BE=【详解】（1）解：将A-2,0，C0,8∴4a解得a=-∴y=（2）令y=0，则-解得x=-2或x∴B8,0设直线BC的解析式为y=∴b=8解得k=-1∴y=-过点P作PG∥y轴交BC于

设Pt,-1∴PG=-∴S△∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为（3）①存在点M，使得△BEM∵y=-∴抛物线的对称轴为直线x=3∴E3,5，设M∴BE=52，BM=当BE=BM时，解得m=5（舍）或m∴M3,-5当BE=EM时，解得m=52+5∴M3,52+5当BM=EM时，解得m=0∴M3,0综上所述：M点坐标为3,0或3,-5或3,52+5或【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合－面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．【变式12】（2023春·山西晋城·九年级校考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A-1,0，B4,0两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点

(1)求抛物线的表达式；(2)求线段PQ的最大值；(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接QM．是否存在点P，使得△PQM为等腰三角形？若存在，请直接写出点P【答案】(1)y(2)3(3)存在一点P，当点P的横坐标为83时，△【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标，进而求出直线BC的解析式，设Pm，-34（3）先证明PQ⊥PM，则当△PQM为等腰三角形，只存在PM=PQ这一种情况，设P【详解】（1）解：把A-1,0，B4,0代入y∴a=-∴抛物线解析式为y=-（2）解：设直线BC的解析式为y=在y=-34x2∴C0把C0，3，B4,0代入∴k=-∴直线BC的解析式为y=-设Pm，-∴PQ=-=-=-3∵-3∴当m=2时，PQ有最大值，最大值为3（3）解：∵PQ⊥x轴，∴PQ⊥∴当△PQM为等腰三角形，只存在PM设Pn，-同理可得PQ=-又∵PM=∴-3解得n=83∴存在一点P，当点P的横坐标为83时，△【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．【变式13】（2023•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M【分析】（1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式；（2）过点G作GH⊥PE于H，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，则AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根据等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，证明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系数法求出直线BC为y=-12x+2，根据AD∥BC得直线AD为y=-12x-12，设P（m，-12m2+32m+2），则E（m，-12m-12（3）求出点D的坐标D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分两种情况：①当BD＝BM时，②当BD＝MD时，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+2得：16a+4b∴抛物线的函数表达式为y=-12x2+（2）过点G作GH⊥PE于H，∵抛物线y=-12x2+32x+2交∴C（0，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC=12+22=∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AD∥BC，EG⊥BC，∴AC＝BG=5∵PE∥y轴，∴∠OCG＝∠EFG，∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，∴∠ACO＝∠GEH，∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH（AAS），∴GH＝AO＝1，设直线BC为y＝kx+n，将C（0，2），B（4，0）代入得：4k+n∴直线BC为y=-12∵AD∥BC，A（﹣1，0），∴直线AD为y=-12x设P（m，-12m2+32m+2），则E（m，∴PE=-12m2+2m∴△PEG面积为12PE•GH=-14m2+m+54=-14∵-14∴m＝2时，△PEG面积的最大值为94此时点P的坐标为（2，3）；（3）∵抛物线y=-12x2+32x+2=-12（x-32）2+258水平向右平移32∴y1的对称轴为x＝3，联立直线AD为y=-12x-12，抛物线y=-12x2+∴D（5，﹣3），设点M的坐标为（3，t），∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，①当BD＝BM时，∴BD2＝BM2，∴1+t2＝10，∴t＝±3，∴点M的坐标为（3，3）或（3，﹣3），∵点（3，3）与B，D共线，∴点M的坐标为（3，﹣3）；②当BD＝MD时，∴BD2＝MD2，∴t2+6t+13＝10，∴t＝﹣3±6，∴点M的坐标为（3，﹣3+6）或（3，﹣3-综上所述，点M的坐标为（3，﹣3）或（3，﹣3+6）或（3，﹣3-【题型2二次函数中直角三角形的存在性问题】【例2】（2023春·四川广安·九年级校考期中）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-3,2)，

(1)求抛物线的函数表达式；(2)试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F【答案】(1)y=(2)E(1,-223)，△ADE(3)存在，点F的坐标为F(52,13)或(5【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解；（2）运用待定系数法，确定直线AD解析式为y=-12x+12，联立二次函数解析式，求解得D(5,-2)，过点E作EF⊥x轴，交AD于点G，设E(（3）存在．设点F(52,n)，则AF2=n2-4n+1374；D【详解】（1）解：由题意，c=-29∴y=（2）解：设直线AD的解析式为y=-3k∴直线AD解析式为y=-联立直线与抛物线解析式，得y=-12x∴D过点E作EF⊥x轴，交AD于点设E(m,1△ADE的面积∴S∴当m=1时，-3<m<5，此时，16∴E(1,-2

（3）解：存在．设点F(AFDFAD①若∠FAD=90°，则∴n2+∴F(

②若∠FDA=90°，则∴n2-∴F(

③若∠DFA=90°，则∴n2解得，n∴F(5

综上，点F的坐标为F(52,13)或(5【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键．【变式21】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考期中）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与

(1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的横坐标；(3)点P是对称轴上的一动点，是否存在某一点P使P、B、C为顶点的三角形是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的P点坐标；不存在，说明理由．【答案】(1)y(2)-(3)存在，-1,8【分析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A，与y轴的交点B的坐标，再将A，B（2）设第三象限内的点F的坐标为m,-m2+2m+3，运用配方法求出抛物线的对称轴和顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，再根据S△（3）设点P坐标为-1,n，先由B，C两点坐标运用勾股定理求出BC，再分两种情况讨论：①若∠PBC=90°，根据勾股定理列出关于n的方程，求出n值，得出P点坐标；②若∠BCP【详解】（1）∵y=x+3与x轴的交点A，与y∴当y=0时，x=-3，即点A的坐标为当x=0时，y=3，即点B的坐标为将A-3,0，B0,3得-9-3∴b∴抛物线的解析式为y（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为m,-

则m<0，-∵y∴对称轴为直线x=-1，顶点D设抛物线的对称轴与轴交于点G，连接FG，则G-1,0，∵直线AB的解析式为y=∴当x=-1∴E点坐标为-∵S==∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2解得：m1=-当m=-=-=-3+==∴点F的坐标为-3-（3）设点P坐标为-1,∵B0,3，∴B分两种情况①如图2，

若∠PBC则PB2+∴n=∴点P的坐标为-1,②如图3，

若∠BCP则BC2∴n∴点P的坐标为-1,-综上所述，P点坐标为-1,83【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题型，运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图像上的点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形面积的求法，直角三角形性质和勾股定理，其中利用面积的和差表示出S△【变式22】（2023春·广东梅州·九年级校考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(1)求这个二次函数的解析式；(2)点P直线AC下方抛物线上的一动点，求△PAC(3)在抛物线对称轴上是否存在点Q，使△ACQ是直角三角形？若存在，直接写出点Q【答案】(1)二次函数的解析式为y(2)S(3)存在，Q1(1,8),Q2(1,-2)【分析】（1）直接把点A(-2,5)，B(-1,0)代入y=x2+（2）先求出点C的坐标，根据S△PAC=（3）设点Q的坐标为(1,y)，然后分三种情况讨论：①∠QAC=90°；②∠QCA=90°；③【详解】（1）解：将A(-2,5)，B(-1,0)得4-2解得b=-2∴二次函数的解析式为y（2）将y=0代入y=x2∴点C∵点P直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴交AC于点

则S由A(-2,5)，C(3,0)得直线AC∴设P(x∴xPE=∴S∵x=-将x=12代入S（3）解：存在，Q1(1,8)，Q2(1,-2)∵y=∴对称轴是直线x=1∵A(-2,5)，∴AC设点Q的坐标为(1,y①如果∠QAC=90°，那么则1+22+y所以点Q的坐标为(1,8)；②如果∠QCA=90°，那么则1-32+y所以点Q的坐标为(1,-2)；③如果∠CQA=90°，那么则1-32+y-0所以点Q的坐标为Q(1,-1)或Q(1,6)．综上所述，所求点Q的坐标为Q1(1,8)，Q2(1,-2)，【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，主要利用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式23】（2023春·甘肃金昌·九年级统考期中）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-1)2+92与x轴交于(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P(3)如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点【答案】(1)y=-12(x-1)2+(2)存在，P(1，5)，(1，-3)，(1，2+7)，(1，2-7(3)存在，M(85，12【分析】（1）将B(4，0)代入y=a（2）根据题意y=-12(x-1)2+92，对称轴为直线x=1，设P1,n，根据勾股定理BC2=（3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式y=23【详解】（1）解：将B(4，0)代入y即0=9a+9∴y=-令x=0，则y令y=0，则-解得：x1A(-2,0)，C(0（2）解：存在点P∵y=-12设P1,∵B(4，0)∴BC2=4①当∠BCP=90°时，∴4-12+n2=32解得：n=5②当∠CBP=90°时，∴12+4-n2=解得：n=-3③当∠BPC=90°时，32=4-12+n2解得：n=2-7或综上所述：P(1，5)，(1，-3)，(1，2+7)，(1，2-7（3）存在点M使AM+作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，由对称性可知，OM=∴AM当A、M、Q三点共线时，AM+∵B(4，0)，C(0∴OB∴∠CBO由对称性可知∠QBM∴BQ∴Q(4，设直线AQ的解析式为y=∴-2解得k=∴直线AQ的解析式y=设直线BC的解析式为y=∴4m∴m∴直线BC的解析式为y=-联立方程组y=-解得x=∴M(85，12【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型3二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2023春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A-1,0和点B4,0，与y轴交于点C，过动点D0,m

(1)求抛物线的表达式；(2)求m的取值范围；(3)直线l上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求m【答案】(1)y=(2)m>-(3)存在，2或4．【分析】（1）把点A-1,0和点B4,0（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得y的最小值为-258．由直线l与抛物线有两个交点，即可得出（3）分两种情况：①当∠BCP=90°，BC=PC时，②如图，当∠CBP【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+∴a解得a∴抛物线的表达式为y=（2）解：y=∴y的最小值为-25∵直线l与抛物线有两个交点，∴m>-（3）解：存在．当x=0时，y∴点C的坐标为0,-2．①如图，当∠BCP=90°，BC=PC时，过点P作∴∠BOC∵∠BCO+∠PCG∴∠BCO

在△BCO和△CPG∴△BCO∴CG=∵CO=2∴m=延长PC至P'使得CP'易得，此时m=-6．（不合题意，舍去）②如图，当∠CBP=90°，BC=BP时，过点P作

∵∠BOC=∠BMP=90°，∴∠BCO∴△BCO∴PM=∴m=PM延长PB，使得BP'=同理可得，m=-4综上所述，直线l上存在一点