12空间向量基本定理（四大题型）（讲义）

1．2空间向量基本定理目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 3题型一：基底的判断 3题型二：基底的运用 6题型三：正交分解 10题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 13

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典型例题】题型一：基底的判断【典例11】（2024·高一·陕西西安·阶段练习）已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于A，设，则，所以共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；对于B，设，则，无解，则不共面，能构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故C错误；对于D，设，则，则共面，不能构成空间的一个基底，故D错误；故选：B【典例12】（2024·高三·江苏南通·开学考试）若和都为基底，则不可以为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若不是一组基底，则可设，对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；对于C，若，则，解得：，不是一组基底，C正确；对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.故选：C.【方法技巧与总结】空间向量基底．不共面的三个向量构成空间向量的基底．【变式11】（2024·高二·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（

）．A． B．0 C．5 D．【答案】C【解析】因为不能构成空间的一个基底，所以共面，故存在使得，即，故，解得.故选：C【变式12】（2024·高二·江苏无锡·阶段练习）若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】对于A,假设共面,则可设方程组无解,不共面,可以作为空间一组基底,A正确;对于B,共面,不能作为空间一组基底,B错误;对于共面,不能作为空间一组基底,C错误;对于共面,不能作为空间一组基底,D错误.故选：A【变式13】（2024·高二·全国·课后作业）设向量，，不共面，则下列向量组可作为空间的一组基的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】A选项，由于与任意两个向量共面，不能作为基底；B选项，，故三个向量共面，不能作为基底；C选项，设，向量，，不共面，上式显然不成立，即与不共面，符合题意；D选项，，故三个向量共面，不能作为基底；故选：C.【变式14】（2024·高二·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；D选项，因为，，设，即，，无解，故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.故选：A题型二：基底的运用【典例21】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）如图，空间四边形中，，，，点M在上，且，点N为中点，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】.故选：B.【典例22】（2024·高二·安徽马鞍山·阶段练习）在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】延长交于点，则点为的中点，因为，所以，所以，所以，所以，因为，，，所以，故选：C.【方法技巧与总结】1、空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的．2、用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示．3、在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底．【变式21】（2024·高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】连接AE，如图所示，∵E是CD的中点，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故选：A.【变式22】（2024·高二·江苏扬州·期中）如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，则．故选：A．【变式23】（2024·高二·河南郑州·期中）空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，连结，因，点为的中点，则，于是，.故选：B.【变式24】（2024·高二·湖北·阶段练习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，分别是，的中点，所以，，所以.故选：C题型三：正交分解【典例31】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，所以，解得，所以向量在基底下的坐标为.故选：A.【典例32】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为.故选：C.【方法技巧与总结】正交基底的三个向量共起点【变式31】（2024·高二·河北保定·期中）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的模长为（

）A．3 B． C．9 D．6【答案】A【解析】由题意得向量在基底下的坐标为：，则，所以向量在下的坐标为：，所以模长为，故A项正确.故选：A.【变式32】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为，则在基底的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设；由题意可知，，解得；在基底下的坐标为．故选：A．【变式33】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为向量在基底下用有序实数组表示为，所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，所以，又因为，所以，解得，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为.故选：C.【变式34】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{}为单位正交基底,则的坐标为()A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故.故选：C题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【典例41】（2024·高二·江苏宿迁·期中）如图所示，在空间四边形中，与成角，与成角，与成角，且，为的中点，为的中点，试求，间的距离．

【解析】以，，为基底，则，.又，所以，所以，即，间的距离为3.【典例42】（2024·高二·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．(1)设向量，，，用、、表示向量、；(2)求证：、、三点共线．【解析】（1）因为，则，所以，又因为，则，所以；（2）因为，且，所以，即、、三点共线．【方法技巧与总结】应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．（1）若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0；（2）若证明线线平行，只需证明两向量共线；（3）若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角（或其补角）．【变式41】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，．(1)用向量表示向量，并求；(2)求．【解析】（1），则，所以.（2）由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以，，则.【变式42】（2024·高二·安徽·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点．(1)若，求的值；(2)求的值．【解析】（1），又，∴，，；（2）由余弦定理得，易知；故，∴．【变式43】（2024·高二·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.

(1)求证：共面；(2)当为何值时，；(3)若，且，求的长.【解析】（1）在平行六面体中，连接，因为，所以，，所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面.（2）当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以，，，

若，则，即，即，解得或舍去，所以时，（3），，，所以，所以的长为【变式44】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面.(1)设，，，试用基底表示向量；(2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由.【解析】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以，故；（2）由（1）知，，又，所以，则，，，设，又，则，因为平面，则存在实