专题531相交线与平行线中的折叠问题（分层练习）（提升练）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.31相交线与平行线中的折叠问题（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022上·湖南常德·七年级统考期末）如图，把一张长方形纸片沿EF折叠，，则（

）

A． B． C． D．2．（2022下·山东滨州·七年级校考阶段练习）如图，把一张对边互相平行的纸条沿折叠，若∠EFB＝32°，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2022下·浙江杭州·七年级校考期中）一条两边沿互相平行的围巾按图所示折叠，已知∠DAB∠ABC=8°，且DFCG，则∠DAB+2∠ABC=（）度．A．130 B．131 C．132 D．1334．（2022下·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（

）A．42° B．36° C．54° D．18°5．（2021下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．设为度，用关于的代数式表示，则表示正确的是（

）A． B．C． D．6．（2019下·内蒙古呼和浩特·七年级校联考期中）把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为点，如图所示．若，则（

）

A． B． C． D．以上都不对7．（2023下·浙江温州·七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．8．（2023下·山东济南·六年级统考期末）如图，将一个长方形纸片沿着折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．9．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（

）

A． B．C． D．10．（2023下·湖南怀化·七年级统考期末）如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（）

A．58° B．59° C．60° D．61°填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023下·广西南宁·七年级统考期末）如图，将一张长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置．已知，，则°．12．（2023下·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则阴影部分的周长为．

13．（2023下·山东济南·七年级统考期中）如图，点是长方形纸片的边上一点，沿折叠纸片交于点，且，则的度数是．

14．（2021上·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是°．15．（2021下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点、分别落在、的位置，再沿折叠成图，若，则°．

16．（2023下·安徽黄山·七年级统考期末）折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中．

17．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知长方形纸片，点和点分别在边和上，且，点和点分别是边和上的动点，现将点，，，分别沿，折叠至点，，，，若，则的度数为．18．（2022下·福建福州·七年级校考期中）如图（1）纸片ABCD（ADBC），将CD按如图（2）所示沿着DE折叠至DC′，DC′与线段BC交于F，∠BFD=m，点E在线段BC上，若将AD按如图（3）所示沿着DO折叠至DA′，且A′在线段DC的延长线上，点O在线段BC上，则∠ODE=．（用含m的式子表示）三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2019下·浙江杭州·七年级校联考期中）如图：（1）如图1，将长方形纸片ABFE沿着线段DC折叠，CF交AD于点H，过点H作HG∥DC，交线段CB于点G．①判断∠FHG与∠EDC是否相等，并说明理由；②说明HG平分∠AHC的理由．（2）如图2，如果将（1）中的已知条件改为折叠三角形纸片ABE，其它条件不变．HG是否平分∠AHC？如果平分请说明理由；如果不平分，请找出∠CHG，∠AHG与∠E的数量关系并说明理由．20．（8分）（2023下·云南曲靖·七年级校考期中）如图所示，一个四边形纸片，，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕．如果，求的度数．21．（10分）（2020下·北京·七年级校考阶段练习）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为．解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数．（2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由．（3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推．①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）；②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）．22．（10分）（2023下·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置．

（1）观察发现：如图①所示：，，则______．（2）拓展探究：如图②，点落在四边形的内部，探究，，之间的数量关系，并证明；（3）迁移应用：如图③，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明．23．（10分）（2019上·北京西城·八年级统考期末）已知：如图①所示的三角形纸片内部有一点P．任务：借助折纸在纸片上画出过点P与BC边平行的线段FG．阅读操作步骤并填空：小谢按图①～图④所示步骤进行折纸操作完成了画图任务．

在小谢的折叠操作过程中，（1）第一步得到图②，方法是：过点P折叠纸片，使得点B落在BC边上，落点记为，折痕分别交原AB，BC边于点E，D，此时∠即∠=__________°；（2）第二步得到图③，参考第一步中横线上的叙述，第二步的操作指令可叙述为：_____________，并求∠EPF的度数；（3）第三步展平纸片并画出两次折痕所在的线段ED，FG得到图④．完成操作中的说理：请结合以上信息证明FG∥BC．24．（12分）（2017下·湖北宜昌·七年级校联考期中）已知，点E、F分别在直线AB，CD上，点P在AB、CD之间，连结EP、FP，如图1，过FP上的点G作GHEP，交CD于点H，且∠1=∠2．（1）求证：ABCD；（2）如图2，将射线FC沿FP折叠，交PE于点J，若JK平分∠EJF，且JKAB，则∠BEP与∠EPF之间有何数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将射线FC沿FP折叠，将射线EA沿EP折叠，折叠后的两射线交于点M，当EM⊥FM时，求∠EPF的度数．参考答案：1．D【分析】由平行线的性质可求得，由折叠的性质可知，根据平角的定义即可得出结论．解：，，，由折叠可得，．故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．2．D【分析】翻折会出现角平分线，通过平行线的性质直接求解即可．解：①∵，∴，故本小题正确；②∵，∴，又由题意得∴，故本小题正确；③∵，∴，∴，∵，∴，故本小题正确；④∵，∴，∵，∴，故本小题正确．故选：D．【点拨】此题考查平行线的性质，解题关键是两直线平行内错角相等，同旁内角互补．3．B【分析】将围巾展开，利用折叠的性质和平行线的性质推导即可．解：解：如图，将围巾展开，则∠ADM=∠ADF，∠KCB=∠BCN，设∠ABC=x，则∠DAB=x+8°，∵CDAB，∴∠ADM=∠DAB=∠ADF=x+8°，∵DFCG，∴∠FDC=∠KCG=2x，∵∠FDC+∠FDM=180°，即2x+2（x+8°）=180°，解得x=41°，∴∠DAB+2∠ABC=（x+8°）+2x=131°．故选：B．【点拨】本题考查折叠的性质与平行线的性质，根据∠FDC+∠FDM=180°列方程是解题的关键．4．B【分析】根据翻折的性质及平行线的性质求解即可．解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∵C′D∥AC，∴∠DAC＝∠C′DA，由折叠的性质得到，△CDF≌△C′DF，∴∠FDC＝∠FDC′＝∠ADF+∠C′DA＝∠ADF+∠ACB，∴∠CFD+∠FDC＝2∠ADF+∠ACB＝90°，∵∠ADF﹣∠ACB＝18°，∴∠ADF＝36°，故选：B．【点拨】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．5．B【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．解：解：如图，//，，将一条上下两边互相平行的纸带折叠，，故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质、翻折变换等知识，解题关键是熟练掌握基本知识．6．B【分析】先根据平行线的性质以及折叠的性质可得出∠DEF=∠EFG=∠MEF=55°，从而可得出∠DEG的度数，最后根据平行线的性质可得出结果．解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠EFG=∠DEF，又根据折叠可得∠DEF=∠MEF，∴∠DEF=∠MEF=∠EFG=55°，∴∠DEG=∠DEF+∠MEF=110°，∵AD∥BC，∴∠EGB=∠DEG=110°．故选：B．【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质等知识，解题的关键是利用翻折不变性找到相等的角，属于中考常考题型．7．B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数．解：由翻折的性质得：，，∵四边形为长方形，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，即：，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系．8．C【分析】过点A作，故，由长方形的性质可得，结合折叠的性质推证，故．解：过点A作，

∴，四边形是长方形，，，，由折叠得：，∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查折叠的性质，矩形的性质，平行的性质和判定；根据相关定理熟练的在“直线的平行关系”和“角之间的数量关系”间转换是解题的关键．9．D【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.，；B．由翻折可知：，，，，故B选项不符合题意；C．由翻折可知：，，，，，故C选项不符合题意；，，，不平行，故D选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．10．A【分析】根据平行线的性质得到，由折叠得：，，从而得到与的和．利用两个平角求出与的和，最后根据三角形内角和等于即可求出答案．解：长方形，，，，，由折叠得：，，，，在中，，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质．11．/33度【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质到，进而求解即可．解：∵长方形的纸片沿折叠，点B到达点的位置，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据折叠的性质得到是解决此题的关键．12．【分析】由折叠性质得，由平移的性质可得，，，再由，可得四边形的周长为：．解：∵沿折叠点落在点处，∴，∵沿向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，∴，∵，∴，，∴阴影部分的周长为：，故答案为：．【点拨】此题考查了翻折和平移变换的性质，解题的关键是要能够根据折叠和平移的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分周长．13．/38度【分析】由长方形的性质可得，根据两直线平行内错角相等可得，再根据折叠的性质可得平分，即可求解．解：由题意得：，，由折叠可得：平分，，故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．25【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出．解：∵折叠后得到，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案为：25．【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．15．【分析】先根据求出的度数，进可得出和的度数，根据和三角形的内角和可得的度数，再由折叠的性质可得．解：∵，∴，，即，，∴．∵，∴．由折叠可得：，∴．故大为：72．【点拨】此题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得到角相等是解题的关键．16．/105度【分析】根据平行线的性质及折叠的性质可得，再根据折叠的性质及四边形的内角和即可解答．解：∵如图，，∴由折叠的性质，∵如图，，∴，∴，∵如图，由折叠的性质可知∴，∴，∵，∴，∴，故答案为.

【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．17．或【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长、交于点，证明，则；当在下方时，延长，交于点，证明，则．解：当在上方时，延长、交于点，由折叠可知，，，，，，，，，，，，；当在下方时，延长，交于点，由折叠可知，，，，，，，，，，，；综上所述：或，故答案为：或．【点拨】本题考查平行线的性质，分类讨论，掌握平行线的性质是解题的关键．18．【分析】设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，由平行线性质可得∠ADF=180°m，则∠ADC=180°m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，最后可得∠ODE的度数．解：设∠CDE=x，∠DCE=y，由图（1）折叠性质可得：∠C’DE=∠CDE=x，∵∠BFD=m，ADBC，∴∠BFD+∠ADF=180°，∴∠ADF=180°m，∴∠ADC=180°m+2x，由图（2）折叠性质可得：∠ADO=∠CDO=，∴∠ODE=∠CDO∠CDE=．故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质及角的有关计算，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．19．（1）①∠FHG=∠EDC，见分析；②见分析；（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E，见分析.【分析】（1）①根据平行线性质得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的计算即可得证.②HG平分∠AHC，理由如下：将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，由折叠性质知：∠FCD＝∠DCM，根据平行线性质得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代换得∠CHG＝∠AHG，根据角平分线定义即可得证.（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如图：延长线段AD和BC交于点F，根据平行线性质得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形内角和定理、等量代换即可得证.解：（1）①如图1，

∵DE∥CF，∴∠EDA＝∠FHA（两直线平行，同位角相等），∵HG∥DC，∠ADC＝∠AHG（两直线平行，同位角相等），∴∠EDA+∠ADC=∠FHA+∠AHG，∴∠FHG=∠EDC.②HG平分∠AHC，理由如下：将图形折回到其原始状态，E的对应点为N，F的对应点为M，由折叠知∠FCD＝∠DCM．∵HG∥DC，∴∠DCM＝∠HGC（两直线平行，同位角相等），∠DCH＝∠CHG（两直线平行，内错角相等），∵AD∥BC，∴∠CGH＝∠AHG（两直线平行，内错角相等），∴∠CHG＝∠AHG，即HG平分∠AHC．（2）HG不再平分∠AHC．∠AHG＝∠CHG＋∠E．

理由如下：如图2，延长线段AD和BC交于点F，得到∠ECD＝∠FCD．∵HG∥DC，∴∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，∵∠ADC＋∠FDC＝180º又∵∠F＋∠FCD＋∠FDC＝180º∴∠AHG＝∠CHG＋∠E【点拨】本题考查的是折叠问题，关键要掌握折叠后的对应角相等，对应线段相等，以及平行线的性质.20．【分析】根据折叠的性质可得，再由，可得，得，可得，再由折叠的性质可得，求出即可．解：由折叠的性质，得：，又，，，，由折叠的性质，得：，【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质，熟练掌握折叠的性质、平行线的判定和性质是解题的关键．21．（1）∠ABM，∠＝135°；（2）能，60°；（3）180°－，180°－【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得结论；（2）求证当α=60°时，使，由折叠对应角相等，再根据三角形的内角和得出结论；（3）①根据折叠和平行线的性质可求出，同理可求出；②由①可得到规律得出．解：（1）由折叠得，，∴平分∠ABM，∵∠ABM＝90°，∴，∵，∴，∴；故答案为：∠ABM；（2）α=60°；由折叠可得，，，，∴，∴，∴；（3）①如图，由折叠得，，∴，，∴，∴；同理可得，，∴，故答案为：；②由①可得，由此可以得出：，故答案为：．【点拨】本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化．还考查了平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．22．（1）；（2），证明见分析；（3）不成立，数量关系应为：，证明见分析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可；（2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系．（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，，，，（两直线平行，同旁内角互补），，，（四边形内角和为），故答案为：（2）解：如下图，过点作，交于点，交于点

则，，，，，由折叠的性质得，，（全等三角形对应角相等）（3）解：如下图，过点作，则，

，，，由折叠的性质得，，（全等三角形对应角相等），即【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键．23．（1）90；（2）过点P折叠纸片，使得点D落在PE上，落点记为，折痕交原AC边于点F；（3）见分析【分析】（1）根据折叠得到，利用邻补角的性质即可得结论；（2）根据（1）的操作指令即可写出第二步；（3）根据（1）（2）的操作过程即可证明结论．解：

（1）因为：所以：故答案为．