北师大版必修一课后作业第三章指数函数对数函数1

学习目标1.了解正整数指数函数模型的实际背景.2.了解正整数指数函数的概念.3.理解具体的正整数指数函数的图像特征及其单调性．知识点一正整数指数函数的概念思考定义在N＋上的函数对应关系如下，试写出其解析式，并指出自变量位置.x12345678…y248163264128256…答案y＝2x，x∈N＋，自变量在指数上．梳理正整数指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)叫作正整数指数函数，其中x是自变量，定义域是正整数集N＋.知识点二正整数指数函数的图像特征及其单调性思考比较eq\f(1,2)，(eq\f(1,2))2，(eq\f(1,2))3的大小，你有什么发现？答案eq\f(1,2)>(eq\f(1,2))2>(eq\f(1,2))3，对于y＝(eq\f(1,2))x，x∈N＋，x越大，y越小．梳理函数y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)图像是散点图，当a>1时，在定义域上递增；当0<a<1时，在定义域上递减．知识点三指数型函数思考y＝3·2x，x∈N＋是正整数指数函数吗？答案不是，正整数指数函数的系数为1.梳理形如y＝kax(k∈R，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型．类型一正整数指数函数的概念eq\x(命题角度1判断是否为正整数指数函数)例1下列表达式是否为正整数指数函数？(1)y＝1x；(2)y＝(－2)x；(3)y＝3－x(x∈R)；(4)y＝ex(x∈N＋)．解(1)(2)底数不符合，要大于0且不等于1，(3)中y＝3－x＝(eq\f(1,3))x，但定义域不符合，所以只有(4)为正整数指数函数．反思与感悟判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式是否符合，特别还应看定义域是否为正整数集．跟踪训练1下列函数中是正整数指数函数的是()A．y＝－2x，x∈N＋B．y＝2x，x∈RC．y＝x2，x∈N＋D．y＝(eq\f(1,2))x，x∈N＋答案D解析结合正整数指数函数的定义可知选D.eq\x(命题角度2根据正整数指数函数概念求参数)例2已知正整数指数函数f(x)＝(a－2)·ax，则f(2)等于()A．2B．3C．9D．16答案C解析∵f(x)是正整数指数函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＝1，,a>0且a≠1，))∴a＝3，f(x)＝3x.∴f(2)＝32＝9.反思与感悟解此类题的关键是找到参数应满足的条件．跟踪训练2函数y＝(1－3a)x是正整数指数函数，则a应满足________．答案a<eq\f(1,3)，且a≠0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a>0，,1－3a≠1，))解得a<eq\f(1,3)，且a≠0.类型二正整数指数函数的图像与性质例3比较下面两个正整数指数函数的图像与性质．(1)y＝2x(x∈N＋)；(2)y＝0.95x(x∈N＋)．解列表比较如下：函数y＝2x(x∈N＋)y＝0.95x(x∈N＋)图像定义域正整数集N＋单调性增函数减函数图像特征由一群孤立的点组成反思与感悟通过列表、描点画图，即可得到正整数指数函数的图像，由于定义域为正整数集，所以不需要连成光滑曲线，图像就是由一群孤立的点组成．跟踪训练3作出下列函数(x∈N＋)的图像．(1)y＝3x；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.解(1)(2)类型三正整数指数函数的应用例4某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设存期是x，本利和(本金加上利息)为y元．(1)写出本利和y随存期x变化的函数关系式；(2)如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．解(1)已知本金为a元，利率为r，则1期后的本利和为y＝a＋a×r＝a(1＋r)，2期后的本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后的本利和为y＝a(1＋r)3，x期后的本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋，即本利和y随存期x变化的函数关系式为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.(2)将a＝1000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式，得y＝1000×(1＋2.25%)5＝1000×1.02255≈1117.68(元)，即5期后本利和约为1117.68元．反思与感悟建立实际问题的函数模型关键是获得数据，并根据数据归纳规律．跟踪训练4一个人喝了少量酒后血液中酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.08mg/mL.问喝了少量酒的驾驶员，至少过几小时才能驾驶？(精确到1小时)解1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL，x小时后其酒精含量为0.3(1－50%)xmg/mL.由题意知：0.3(1－50%)x≤0.08，(eq\f(1,2))x≤eq\f(4,15).采用估算法，当x＝1时，(eq\f(1,2))1＝eq\f(1,2)>eq\f(4,15)；当x＝2时，(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4)＝eq\f(4,16)<eq\f(4,15).由于y＝(eq\f(1,2))x是减函数，所以满足要求的x的最小整数为2，故至少过2小时驾驶员才能驾驶．1．下列函数：①y＝3x3(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝(a－3)x(a>3，x∈N＋)．其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3答案B2．当x∈N＋时，函数y＝(a－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．1<a<2 B．a<1C．a>1 D．a>2答案D解析在y＝(a－1)x中，当x＝0时，y＝1.而x∈N＋时，y>1，则必有a－1>1，∴a>2，故选D.3．某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化情况是()A．增加7.84% B．减少7.84%C．减少9.5% D．不增不减答案B解析设商品原价为a，两年后价格为a(1＋20%)2，四年后价格为a(1＋20%)2(1－20%)2＝a(1－0.04)2＝0.9216a，∴eq\f(a－0.9216a,a)×100%＝7.84%，故选B.4．函数y＝(eq\f(1,3))x(x∈N＋)的值域是()A．R B．正实数C．N D．{eq\f(1,3)，eq\f(1,32)，eq\f(1,33)，…}答案D5．正整数指数函数f(x)＝(a－2)(2a)x(x∈N＋)在定义域N＋上是________的．(填“增加”或“减少”)答案增加解析∵f(x)＝(a－2)(2a)x是正整数指数函数，∴a－2＝1，且2a>0,2a≠1，∴a＝3，∴f(x)＝6x，x∈N＋.∵6>1，∴f(x)在N＋上是增加的．1．判断函数是否为正整数指数函数，应注意函数形式和定义域是否为正整数集．2．当a>1时是增函数．3．当0<a<1时是减函数．4．正整数指数函数的图像是一些孤立的点．课时作业一、选择题1．下列函数：①y＝4x2，②y＝6x，③y＝32x，④y＝32x，⑤y＝2x＋1.(以上各函数定义域为x∈N＋)其中正整数指数函数的个数为()A．0B．1C．2D．3答案C解析只有②③符合题意．2．函数f(x)＝(eq\f(1,4))x，x∈N＋，则f(2)等于()A．2 B．8C．16 D.eq\f(1,16)答案D解析∵f(x)＝(eq\f(1,4))x，x∈N＋，∴f(2)＝(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,16).3．函数y＝(eq\f(3,8))x，x∈N＋是()A．奇函数 B．偶函数C．增函数 D．减函数答案D解析因为正整数指数函数y＝(eq\f(3,8))x，x∈N＋的底数eq\f(3,8)小于1，所以此函数是减函数．4．中心城区现有绿化面积为1000hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为yhm2，则x，y间的函数关系为()A．y＝1000(1＋4%)x(x∈N＋)B．y＝(1000×4%)x(x∈N＋)C．y＝1000(1－4%)x(x∈N＋)D．y＝1000(4%)x(x∈N＋)答案A5．正整数指数函数f(x)＝(a＋1)x是N＋上的减函数，则a的取值范围是()A．a<0 B．－1<a<0C．0<a<1 D．a<－1答案B解析∵函数f(x)＝(a＋1)x是正整数指数函数，且f(x)为减函数，∴0<a＋1<1，∴－1<a<0.6．函数y＝3×2x－3，x∈N＋，且x∈[0,4]，则y的值域是()A．{－3,3,9,21,45} B．{3,9,21,45}C．{0,3,9,21,45} D．{－3,0,3,9,21,45}答案B解析∵x∈N＋且x∈[0,4]，∴x＝1,2,3,4，故值域为{3,9,21,45}．7．预测人口的变化趋势有多种方法，最常用的是“直接推算法”，使用的公式是Pn＝P0(1＋K)n(K为常数)，其中Pn为预测期内n年后的人口数，P0为初期人口数，K为预测期内的年增长率，若－1<K<0，则在这期间人口数()A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．呈先上升再下降的趋势D．呈先下降再上升的趋势答案B解析P0>0,0<1＋K<1，∴Pn＝P0(1＋K)n是减少的．二、填空题8．当x∈N＋时，用“>”“<”或“＝”填空．(eq\f(1,2))x________1,2x________1，(eq\f(1,2))x________2x，(eq\f(1,2))x________(eq\f(1,3))x,2x________3x.答案<><><解析∵x∈N＋，∴(eq\f(1,2))x<1,2x>1.∴2x>(eq\f(1,2))x.又根据对其图像的研究，知2x<3x，(eq\f(1,2))x>(eq\f(1,3))x.也可以代入特殊值比较大小．9．已知不等式(a2＋a＋2)2x>(a2＋a＋2)x＋8，其中x∈N＋，使此不等式成立的x的最小整数值是________．答案9解析∵a2＋a＋2＝(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(7,4)>1，且x∈N＋，∴可以利用正整数指数函数在底数大于1时递增的性质，得2x>x＋8，即x>8，∴使此不等式成立的x的最小整数值为9.10．有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．答案(1－eq\f(n,m))10a%解析第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－eq\f(n,m))·a%，第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－eq\f(n,m))(1－eq\f(n,m))a%＝(1－eq\f(n,m))2a%，依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为(1－eq\f(n,m))x·a%(x∈N＋)．三、解答题11．有关部门计划于2017年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问，该市在2023年应投入多少辆电力型公交车？解由题意知，在2018年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)；在2019年应投入的数量为128×(1＋50%)(1＋50%)＝128×(1＋50%)2；…故在2023年应投入电力型公交车的数量为128×(1＋50%)6，即128×(eq\f(3,2))6＝1458(辆)．答该市在2023年应投入1458辆电力型公交车．12．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，既可以出售重栽也可以让其继续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)解设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，则eq\f(M,N)＝eq\f(2,1＋10%5)，因为(1＋10%)5≈1.61<2，所以eq\f(M,N)>1，即M>N.因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．