2024-2025学年北京市昌平一中教育集团八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年北京市昌平一中教育集团八年级（上）期中数学试卷一.选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）9的算术平方根是（）A．3 B．81 C．±3 D．±812．（2分）若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥23．（2分）下列计算错误的是（）A． B． C． D．4．（2分）若将分式中的x，y都扩大10倍（）A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍5．（2分）下列各式从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．6．（2分）成立的条件是（）A．0≤x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x＞6且x≠07．（2分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（）A．a＝2 B．a＝±2 C． D．8．（2分）对于分式（m，n为常数），若当x≥0时，该分式总有意义，该分式的值为负数．则m，n与0的大小关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m二.填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）若有意义，则实数a的取值范围是．10．（2分）分式的值为0，则x的值为．11．（2分）比较大小：25（选填“＞”、“＝”、“＜”）．12．（2分）已知a，b是有理数，且满足b＝．13．（2分）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝．14．（2分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为．15．（2分）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，OD＝2，DE＝DF．则小正方形的边长DE＝，点F表示的数是．16．（2分）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为：在行军过程中（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵），则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为天；若每个士兵雇佣n个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下（用含有n的代数式表示）．三.解答题（本题共13道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17．（5分）计算：．18．（5分）计算：．19．（5分）计算：（1）．（2）（）2•÷y．20．（5分）计算：．21．（6分）解方程：．22．（6分）解方程：．23．（6分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：甲同学：＝＝﹣②＝③＝④；乙同学：＝＝﹣②＝2﹣（x+1）③＝1﹣x④；老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因（1）我选择同学的解答过程进行分析；（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第步开始出现错误；（填序号）（3）请写出正确解答过程．24．（6分）已知，求代数式x2﹣3xy+y2的值．25．（6分）已知m2+3m﹣4＝0，求代数式（m+2﹣）÷的值．26．（6分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．27．（6分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：＝；②若（a，b均为正整数），则a+b的值为．28．（6分）我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．我们称这样的方程为“十字方程”．例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝31＝1，x2＝2．再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣51＝﹣2，x2＝﹣3．应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝，x2＝；（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．四、附加题（10分）29．（10分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时，∵（﹣）2＝a﹣2+b≥0，∴a+b≥2（1）当x＞0时，x+的最小值为；当x＜0时，x+的最大值为；（2）当x＞0时，求当x取何值，y＝，最小值是多少？ （3）如图，四边形ABCD的对角线AC，△AOB、△COD的面积分别为4和9，则四边形ABCD的面积的最小值为．

2024-2025学年北京市昌平一中教育集团八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）1．（2分）9的算术平方根是（）A．3 B．81 C．±3 D．±81【解答】解：∵32＝6，∴9算术平方根为3．故选：A．2．（2分）若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a≠2 B．a≠0 C．a＜2 D．a≥2【解答】解：∵分式有意义，∴a﹣3≠0，解得：a≠2．故选：A．3．（2分）下列计算错误的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、，原式计算正确；B、，原式计算正确；C、与不能合并，故此选项符合题意；D、，原式计算正确；故选：C．4．（2分）若将分式中的x，y都扩大10倍（）A．不改变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的10倍【解答】解：由题意，＝＝＝，∴分式的值不改变，故选A．5．（2分）下列各式从左到右变形正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A选项，∵6x≠0，∴x≠4，分式的分子和分母同时除以3x，分式的值不变；B选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，故该选项不符合题意；C选项，﹣＝﹣＝＝，故该选项不符合题意；D选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，分母乘m；故选：A．6．（2分）成立的条件是（）A．0≤x＜6 B．0≤x≤6 C．x≥6 D．x＞6且x≠0【解答】解：根据题意，得．解得x≥6．故选：C．7．（2分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（）A．a＝2 B．a＝±2 C． D．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴．∴．∴a的平方根是．故选：D．8．（2分）对于分式（m，n为常数），若当x≥0时，该分式总有意义，该分式的值为负数．则m，n与0的大小关系正确的是（）A．m＜0＜n B．0＜m＜n C．n＜0＜m D．0＜n＜m【解答】解：∵当x≥0时，该分式总有意义，∴说明当x＜0时，分母x﹣m有可能为6，∴﹣m为正数，即m＜0，又∵x＝0时，该分式的值为负数，∴＜3，即，∴n、m异号，∴m＜0＜n，只有A选项正确，故选：A．二.填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9．（2分）若有意义，则实数a的取值范围是a≥2．【解答】解：有意义，故a﹣2≥6，解得a≥2，故答案为：a≥2．10．（2分）分式的值为0，则x的值为1．【解答】解：∵分式的值为0，∴1﹣x＝6且2x+1≠2，解得：x＝1．故答案为：1．11．（2分）比较大小：2＜5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．【解答】解：∵2＝，4＝，而24＜25，∴2＜3．故填空答案：＜．12．（2分）已知a，b是有理数，且满足b＝﹣1．【解答】解：∵，又∵（a+1）2≥0，，∴a+1＝0，b﹣7＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴ab＝（﹣1）3＝﹣5，故答案为：﹣1．13．（2分）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝2．【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，移项、合并同类项，x＝7是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，解得a＝7，∴当a＝2时，原分式方程无解．故答案为：2．14．（2分）实数m在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为3．【解答】解：由题意可得，0＜m＜1，∴m﹣3＜﹣2＜0．∴＝|m﹣3|＝4﹣m，．∴＝3﹣m+m＝7．故答案为：3．15．（2分）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，OD＝2，DE＝DF．则小正方形的边长DE＝，点F表示的数是2+．【解答】解：由题意得：AD＝1，∠AOC＝90°，∴DE＝DF＝＝，∴OF＝OD+DF＝2+，故答案为：；2+．16．（2分）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，人食日二升．其大意为：在行军过程中（60升）米，士兵可以自己背一斗（10升）米，民夫（士兵），则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为25天；若每个士兵雇佣n个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下（用含有n的代数式表示）．【解答】解：∵每个士兵雇佣4个民夫随其一同行军，∴士兵和民夫共携带了60×4+10＝250升米，∵250÷（4×4+2）＝250÷10＝25（天），∴最多可以支持25天的行军，∵每个士兵雇佣n个民夫随其一同行军，∴士兵和民夫共携带了（60n+10）升米，∵民夫和士兵每人每天消耗7升米，∴共消耗2（n+1）升米，∴在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为：．故答案为：25；．三.解答题（本题共13道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分，共68分）17．（5分）计算：．【解答】解：原式＝＝．18．（5分）计算：．【解答】解：原式＝4+××﹣3×＝4+7﹣＝5+．19．（5分）计算：（1）．（2）（）2•÷y．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）（）2•÷y＝••＝．20．（5分）计算：．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝．21．（6分）解方程：．【解答】解：去分母得：x+3＝2x，解得：x＝4，检验：把x＝3代入得：x（x+3）＝18≠8，则分式方程的解为x＝3．22．（6分）解方程：．【解答】解：去分母，得x（x+1）+3（x﹣2）＝（x﹣1）（x+1），去括号，得x7+x+3x﹣3＝x7﹣1，移项、合并同类项，未知数的系数化1，得x＝，经检验，x＝．23．（6分）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：甲同学：＝＝﹣②＝③＝④；乙同学：＝＝﹣②＝2﹣（x+1）③＝1﹣x④；老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因（1）我选择甲（答案不唯一）同学的解答过程进行分析；（填“甲”或“乙”）（2）该同学的解答从第②步开始出现错误；（填序号）（3）请写出正确解答过程．【解答】解：（1）选择甲同学或乙同学均可；故答案为：甲（答案不唯一）；（2）甲同学从第②步开始出现错误，其错误原因是：通分时，第二个分式，分式的分子也应该乘以（x+1）；故答案为：②；乙同学从第③步开始出现错误，其错误原因是：同分母分式相减，分母不变；故答案为：③；（3）原式＝＝＝＝﹣．24．（6分）已知，求代数式x2﹣3xy+y2的值．【解答】解：∵x＝+，y＝﹣，∴x+y＝2，xy＝3﹣2＝4，∴x2﹣3xy+y2＝（x+y）2﹣5xy＝（4）2﹣5×1＝12﹣5＝8．25．（6分）已知m2+3m﹣4＝0，求代数式（m+2﹣）÷的值．【解答】解：原式＝•＝•＝m（m+3）＝m2+3m，∵m2+3m﹣4＝4，∴m2+3m＝4，∴原式＝4．26．（6分）随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传：根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量．【解答】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为（x﹣20）吨，由题意得：＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨．27．（6分）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝5（填写运算结果）．（2）观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：（n为正整数）．（3）证明你的猜想．（4）应用运算规律．①化简：＝20；②若（a，b均为正整数），则a+b的值为57．【解答】解：（1）特例5，＝，故答案为：7；（2）由题意可得：（n为正整数），故答案为：（n为正整数）；（3）左边＝，∵n为正整数，∴左边＝．又∵右边＝，∴左边＝右边．即（n为正整数）；（4）①原式＝10×＝10＝10×220，故答案为：20；②由题意，当n＝7时，，∴a＝2，b＝50，∴a+b＝7+50＝57，故答案为：57．28．（6分）我们已经学过（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，如果关于x的分式方程满足x+（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为x1＝a，x2＝b．我们称这样的方程为“十字方程”．例如：x+＝3可化为x+＝1+2＝31＝1，x2＝2．再如：x+＝﹣5可化为x+＝﹣2﹣3＝﹣51＝﹣2，x2＝﹣3．应用上面的结论解答下列问题：（1）“十字方程”x+＝﹣6，则x1＝﹣2或﹣4，x2＝﹣4或﹣2；（2）“十字方程”x﹣＝﹣1的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求的值；（3）关于x的“十字方程”x+＝2n+4的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．【解答】解：（1）由已知可得，﹣2×（﹣4）＝7，∴x1＝﹣2或﹣8，x2＝﹣4或﹣6，故答案为：