河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期10月份期中联考数学试题 含解析

高三年级10月份联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、一元二次函数、方程和不等式、平面向量与复数、数列、函数与基本初等函数、一元函数的导数及其应用、三角函数与解三角形、立体几何．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式确定集合，并确定集合中元素，然后由交集定义计算．【详解】依题意得，，则．故选：C．2.若复数z满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法法则可求，从而可求.【详解】由题意得，．故选：B.3.已知，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得正确的选项.【详解】，，，所以．故选：A.4.设数列的前n项和为，若，，则（）A.100 B.110 C.210 D.190【答案】D【解析】【分析】先由题意求出，进而求出并判断数列是等差数列，再由等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】由，得，解得，所以，则，，所以是以10为首项，2为公差的等差数列，则.故选：D.5.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，则该圆台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用圆台体积公式计算即得.【详解】根据题意，可得该圆台的体积为:.故选：B.6.已知平面向量均为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及共线向量的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】，则，整理得，而向量均为非零向量，则反向共线且，有；反之，若，可能同向共线，也可能反向共线，即，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B7.已知函数的图象关于直线对称，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数对称性可得，再画出与图象在同一坐标系中即可得解.【详解】，其中，且，则有，解得，即，则，即，画出与图象如图所示：由图可知，曲线y=fx与的交点个数为.故选：B.8.如图，已知为某建筑物高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（）A.268米 B.265米 C.266米 D.267米【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高.【详解】如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．根据题意易得，．在中，由正弦定理得，在中，,则，在中，,则，所以米．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】A选项，由诱导公式可判断选项正误；B选项，由两角差的正切公式可判断选项正误；C选项，由正切倍角公式可判断选项正误；D选项，由正弦倍角公式结合可判断选项正误.【详解】A选项，由诱导公式，，得，故A错误；B选项，由A，，故B正确；C选项，由A，，故C错误；D选项，由A，，故D正确.故选：BD10.如图，在等腰梯形中，E为腰的中点，，，N是梯形内（包含边界）任意一点，与交于点O，则（）A. B.C.的最小值为0 D.的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据向量线性运算、三点共线推论、数量积运算及几何意义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，A正确；设，则，因为A，O，C三点共线，所以，解得，B正确；由，，可得，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，易知当点N位于点B时，取得最小值，最小值为，C错误；当点N为位于点C时，取得最大值，最大值为，D正确．故选：ABD11.已知数列是常数列，且，则（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据是常数列，得.将代入公式即可判断A项；因为，再根据裂项相消法求和可判断B项；根据放缩法，知，当且仅当时等号成立，再代入选项运算即可判断C项；根据放缩法得，再结合裂项相消法求和即可判断D项.【详解】依题意得，所以.对于A，，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因，当且仅当时等号成立，所以，即，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知命题“，”是假命题，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先写出命题“，”的否定，由题可知其为真命题，然后利用的范围求得的范围即可.【详解】由题意得“，”是真命题，故，因为，所以m的取值范围是．故答案为：13.已知，函数在上单调递增，则的最大值为________.【答案】##0.5【解析】【分析】由题意得，问题转化成函数在上单调递增，接着由正弦函数性质可得，解该不等式组即可得解.【详解】因为，所以，又在上单调递增，所以函数在上单调递增，而，，所以由正弦函数性质得，解得，则的最大值为.故答案为：.14.曲线与曲线的公切线方程为________．【答案】（或）【解析】【分析】设公切线为，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的几何意义得到，，结合，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到，即可求解.【详解】设，的公切线为，且与曲线相切于点，与曲线相切于点，由，得，则，即①．由，得，则，即②．易得，即③，将②③代入①，可得，令，则，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以，当且仅当时，等号成立，则，所以，，故曲线与曲线的公切线方程为，即，故答案为：（或）【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出公切线，与曲线相切于点，与曲线相切于点，利用导数的何意义得到，，进则得到，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，得到，进而可求出，即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若.（1）求角A的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由正弦定理角化边整理得，再由余弦定理即可得解.（2）先由余弦定理求出，再由正弦定理求出即可求解.小问1详解】由以及正弦定理得，即，，所以，因为，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理有，解得或一（舍去），根据正弦定理可得，解得，所以.16.如图，在五棱锥中，，，，，，．（1）证明：平面．（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求平面夹角．【小问1详解】因为，，，，所以，，则，，因为，平面，平面，所以平面．【小问2详解】根据题意可建立如图所示的空间直角坐标系．，，，则，．易得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，取得．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为．17.已知函数（）．（1）当时，讨论的单调性；（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）对求导，得到，令，得到或，再利用导数与函数单调性单间的关系，即可求解；（2）根据条件，将问题转化成，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解.【小问1详解】由题意得，因为时，令，得或，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，故当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】由，得到，因为，所以，则，令，则，当时，，即在区间上单调递增，当时，，即在区间上单调递减，所以，得到，所以，故的取值范围为．18.已知数列，满足，，．（1）求，的值；（2）求，的通项公式；（3）求数列的前项和．【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）根据递推关系直接求得.（2）根据递推关系，利用构造等比数列的方法，对分成奇数、偶数两种情况来求得.（3）利用错位相减求和法、分组求和法来求得.【小问1详解】根据题意可得，．【小问2详解】依题意得，则，所以．当n为奇数时，，即，当n为偶数时，，当n为偶数时，，即，当n为奇数时，．综上，【小问3详解】由（2）得设，则，两式相减得，则．设，则两式相减得，则．故．19.定义：对于函数，若，则称“”为三角形函数.（1）已知函数，若为二次函数，且，写出一个，使得“”为三角形函数；（2）已知函数，若“”为三角形函数，求实数的取值范围；（3）若函数，证明：“”为三角形函数.（参考数据：）【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由定义中任意性，将条件不等式转化为.求，构造二次函数，使即可；（2）按与的大小分类讨论，求解函数的值域，再结合定义建立关于的不等式求解可得；（3）利用（1）结论得，转化命题证明，构造函数，设出隐零点探求零点范围，证明即，将零点满足关系式代回化简换元，再构造新函数，证明即可.【小问1详解】由，，得，令，解得.当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.因为为二次函数，且，所以的对称轴为，设，要使“”为三角形函数，只要，取，则，，满足，则，即成立.故若，取，可使得“”为三角形函数.（答案不唯一，参考函数，写出任意一个满足题意的都可以）【小问2详解】，①当时，，则任意，故“”为三角形函数.②当时，由，则，；要使“”为三角形函数，由，解得，则有，所以；③当时，则，要使“”为三角形函数，由，解得，则有，所以；综上所述，实数的取值范围为.【小问3详解】，.由（1）知，，则任意，；下面证明.由，，则，令，则，所以在上单调递减.又，由参考数据可知，，则存在唯一的实数，使，即().所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；故，由()式可知，则，令，则，所以在单调递增