2025《初中数学》专题突破专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（含答案及解析）

模型介绍模型介绍在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．

例题精讲例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．4．如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）直接写出：b＝，c＝；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．5．已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求直线AP的表达式；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP与x轴交于点Q，当∠BQC＝∠BCO时，求此时P点坐标；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为点C，D，．（1）求b，c的值；（2）求直线CD的函数解析式；（3）求∠ADB的度数；（4）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；（3）将抛物线在0≤x≤3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y＝t上方部分沿直线y＝t翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤3，请直接写出t的取值范围．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，B、C两点的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），直线y＝kx+3k经过点A，与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E是抛物线上一动点（不与点C重合），连接AE，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，若△AEF是等腰直角三角形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若在直线y＝kx+3k上存在一点G使得△DFG与△AOC相似，求出k的值．11．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y＝﹣x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．12．抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）求出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．13．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90度．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？15．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y＝x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，①求点M的坐标；②在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．抛物线y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB，交AC于点E，若满足．求点D的坐标；（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△BQP与△ABF相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时△BQP的面积；若不存在，请说明理由．17．如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于6．18．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．19．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．（I）求抛物线的解析式；（Ⅱ）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M作直线MN垂直于x轴，与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）、B（1，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）将△ABC绕AB中点E旋转180°，得到△BAD．①求点D的坐标；②判断四边形ADBC的形状，并说明理由；（3）在该抛物线对称轴上是否存在点F，使△AEF与△BAD相似？若存在，求所有满足条件的F点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线y＝﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．（1）写出A，B，C三点的坐标；（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．22．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求点A的坐标与抛物线的表达式；（2）连接CD，AD，设四边形OADC的面积为S．①求S与m的关系式；②当S最大时，求D点的坐标．（3）若点P是对称轴上一点，当△DPF∽△BOC时，求m的值．

模型介绍模型介绍在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．【相似判定】判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．【题型分析】通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．【思路总结】根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找：思路1：两相等角的两边对应成比例；思路2：还存在另一组角相等．事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．一、如何得到相等角？二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？搞定这两个问题就可以了．

例题精讲例题精讲【例1】．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴OB＝4，当x＝0时，y＝2，∴OC＝2，∵点M是第一象限内抛物线上一点，∴设M（m，﹣m2+m+2），∵MN⊥x轴，∴ON＝m，MN＝﹣m2+m+2，∠ONM＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BOC＝∠ONM，∵△MON与△BOC相似，∴或，∴＝或＝，∴m＝或m＝﹣1+（负值舍去），∴点M的横坐标为或﹣1+．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y＝x2+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．解：（1）由x＝0得y＝0+4＝4，则点C的坐标为（0，4）；由y＝0得x+4＝0，解得x＝﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；把点C（0，4）代入y＝x2+kx+k﹣1，得k﹣1＝4，解得：k＝5，∴此抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，∴此抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣．令y＝0得x2+5x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4，∴点B的坐标为（﹣1，0）．（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4，∴∠OCA＝∠OAC．∵∠AOC＝90°，OB＝1，OC＝OA＝4，∴AC＝＝4，AB＝OA﹣OB＝4﹣1＝3．∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝，∴OD＝CD﹣CO＝﹣4＝，∴点D的坐标为（0，﹣）．【例2】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）过点B作x轴的垂线，在该垂线上取一点P，使得△PBC与△ABC相似，请求出点P的坐标．解：（1）把C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得c＝3，∴y＝x2+bx+3，把A（1，0）代入y＝x2+bx+3，得1+b+3＝0，解得b＝﹣4，∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．（2）当点P在点B上方时，如图1，PB＝AB，∵PB⊥x轴，∴∠ABP＝90°，抛物线y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，则x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，PB＝AB＝3﹣1＝2，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠PBC＝∠ABC＝45°，∵＝＝1，∴△PBC∽△ABC，此时点P的坐标为（3，2）；如图2，△PBC∽△CBA，且∠CBP＝∠ABC＝45°，∠BCP＝∠BAC，∴＝，∵BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，BA＝2，∴BP＝＝＝9，此时点P的坐标为（3，9）；当点P在点B下方时，∠PBC＝135°，∠BAC＝∠AOC+∠ACO＝90°+∠ACO＜135°，此时△PBC与△ABC不相似，综上所述，点P的坐标为（3，2）或（3，9）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将点D坐标代入上式并解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），①当点P在第三象限时，设直线PD与y轴交于点G，设点P（m，m2﹣2m﹣3），将点P、D的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：直线PD的表达式为：y＝mx﹣3﹣2m，则OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②当点P在第四象限时，设PD交y轴于点M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，综上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝或﹣，故点Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，﹣3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（，）或（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q的坐标为：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．1．抛物线y＝﹣x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（﹣1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D．（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且△CDP与△ABC相似，求点P的坐标．解：（1）∵将抛物线y＝﹣x2平移，平移后的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），∴平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）∠ACB与∠ABD相等，理由如下：如图，∵y＝﹣x2+2x+3，∴点x＝0时，y＝3，即C点坐标为（0，3），又∵B（3，0），∠BOC＝90°，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°．在△BCD中，∵BC2＝32+32＝18，CD2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∵在△AOC中，∠AOC＝90°，∴tan∠ACO＝＝，∴tan∠ACO＝tan∠CBD，∴∠ACO＝∠CBD，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACB＝∠ABD；（3）∵点P在平移后的抛物线的对称轴上，而y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，∴可设P点的坐标为（1，n）．∵△ABC是锐角三角形，∴当△CDP与△ABC相似时，△CDP也是锐角三角形，∴n＜4，即点P只能在点D的下方，又∵∠CDP＝∠ABC＝45°，∴D与B是对应点，分两种情况：①如果△CDP∽△ABC，那么＝，即＝，解得n＝，∴P点的坐标为（1，）；②如果△CDP∽△CBA，那么＝，即＝，解得n＝，∴P点的坐标为（1，）．综上可知P点的坐标为（1，）或（1，）．2．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过c点的直线为y轴建立平面直角坐标系．此时，A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx+c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝﹣x﹣1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC⊥AB，由射影定理，得：OC2＝OA•OB＝4，即OC＝2，∴C（0，2）；（2）∵抛物线经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0），则有：2＝a（0+1）（0﹣4），a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（3）存在符合条件的P点，且P（，0）或（﹣，0）．根据抛物线的解析式易知：D（1，3），联立直线AE和抛物线的解析式有：，解得，，∴E（6，﹣7），∴tan∠DBO＝＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝＝1，即∠EAB＝45°，∴∠DBA＝∠EAB，若以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似，则有两种情况：①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．易知BD＝3，EA＝7，AB＝5，由①得：，即，即PB＝，OP＝OB﹣PB＝，由②得：，即，即P′B＝，OP′＝OB﹣BP′＝﹣，∴P（，0）或（﹣，0）．3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）设P（n，n2﹣n﹣），则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，∴P（，﹣），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面积＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AD＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN与△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，设N（t，t2﹣t﹣）①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点M作MR∥x轴，与过Q点的垂线分别交于点S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．4．如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．（1）直接写出：b＝2，c＝1；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将点A（0，1），B（﹣9，10）代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为，∴b＝2，c＝1，故答案为：2，1；（2）∵AC∥x轴，A（0，1），∴，∴x1＝﹣6，x2＝0，∴C（﹣6，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，设点，则E（m，﹣m+1），∴，∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四边形AECP＝S△AEC+S△APC＝×AC×EF+＝×AC×（EF+PF）＝×AC×PE＝×6×（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣9m＝﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0，当时，四边形AECP的面积的最大值是，此时点；（3）存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：∵，∴P（﹣3，﹣2），∴PF＝yF﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°．同理可得：∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q（t，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），C（﹣6，1），∴，AC＝6，，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴，∴，∴t＝﹣4，∴Q（﹣4，1）；②当△CQP∽△ABC时，∴，∴，∴t＝3，∴Q（3，1）；综上所述：Q点坐标为（﹣4，1）或（3，1）．5．已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（0，﹣4），与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求直线AP的表达式；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）当y＝0时，x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO＝S△PBC，∴，∴OE＝CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG＝CG＝2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM＝＝＝，∴BM＝2PM，∴4+x2﹣x﹣4＝2x，x2﹣6x＝0，x1＝0（舍），x2＝6，∴P（6，8），∴AP的解析式为：y＝x+2，BC的解析式为：y＝x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，OE＝﹣2＝∴E（，0），∵B（0，﹣4），∴BE：y＝3x﹣4，则x2﹣x﹣4＝3x﹣4，x1＝0（舍），x2＝8，∴D（8，20）；②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴＝＝，设BE＝2m，CE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8＝0，（m﹣2）（3m﹣2）＝0，m1＝2，m2＝，∴OE＝4m﹣4＝12或，∵OE＝＜2，∠AEB或∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y＝﹣x﹣4，﹣x﹣4＝x2﹣x﹣4，x＝或0（舍）∴D（，﹣）；同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，∴＝，设AE＝2m，BE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2+2m﹣5＝0，（m+）（3m﹣）＝0，m1＝﹣，m2＝，∴OE＝﹣12（舍）或，∵OE＝＜4，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，综上，点D的坐标为（8，20）或（，﹣6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，直线CP与x轴交于点Q，当∠BQC＝∠BCO时，求此时P点坐标；（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CNM＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）由y＝﹣2x2+4x+6得C（0，6），∴OC＝6，当Q在x轴正半轴，如图：∵∠BQC＝∠BCO，且∠COB＝∠QOC，∴△COB∽△QOC，∴＝，即＝，∴OQ＝12，∴Q（12，0），设直线CQ解析式为y＝kx+6，则0＝12k+6，∴k＝﹣，即直线CQ为y＝﹣x+6，由得（与C重合，舍去）或，∴P（，），当Q在x轴负半轴，如图：同理可得：△BOC∽△BCQ，∴＝，即BC2＝OB•BQ，而OC＝6，OB＝3，∴BC＝3，∴（3）2＝3×BQ，∴BQ＝15，∴Q（﹣12，0），设直线CQ为y＝mx+6，则0＝﹣12m+6，解得m＝，∴直线CQ为y＝x+6，由得（舍去）或，∴P（，），综上所述，P点坐标为（，）或（，），（3）设M（t，﹣2t2+4t+6），则N（0，﹣2t2+4t+6），∴MN＝|t|，CN＝|2t2﹣4t|，∵OC＝6，OB＝3，∴OC＝2OB，∵△CMN与△OBC相似，∴MN＝2CN或CN＝2MN，①MN＝2CN时，如图：∴|t|＝2|2t2﹣4t|，解得t＝或t＝或t＝0（舍去），∴M（，），N（0，）或M（，），N（0，）；②CN＝2MN时，如图：∴|2t2﹣4t|＝2|t|，解得t＝0（舍去）或t＝3（M与B重合，舍去）或t＝1，∴M（1，8），N（0，8），综上所述，M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（1，8），N（0，8）．7．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为点C，D，．（1）求b，c的值；（2）求直线CD的函数解析式；（3）求∠ADB的度数；（4）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．解：（1）∵点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，则∠DEB＝∠COB＝90°，∴DE∥OC，∴＝，∵BC＝CD，OB＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，当x＝﹣时，y＝×（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝+1，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为y＝kx+n，把B（3，0），D（﹣，+1）代入，得，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）如图2，连接AC，∵直线BD的函数解析式为y＝﹣x+，∴C（0，），∵A（﹣1，0），D（﹣，+1），∴AC2＝OA2+OC2＝12+（）2＝4，则AC＝2，BC2＝OB2+OC2＝32+（）2＝12，则BC＝2，∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∵BC＝CD，∴CD＝2，∴tan∠ADB＝＝＝1，∴∠ADB＝45°；（4）在△ABD中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°，∵∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，∵CD＝2，BC＝CD＝2，∴BD＝BC+CD＝2+2，由（3）知：AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，AB＝4，∴AD＝2，∵y＝x2﹣x﹣，∴对称轴为直线x＝1．∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上，∴∠PBQ＜90°，∴分两种情况：①当∠PBQ＝∠ABD＝30°时，如图3，设对称轴与x轴交于点M，则M（1，0），∴BM＝3﹣1＝2，∴PM＝BM•tan∠PBQ＝2×tan30°＝，∵点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，∴P（1，﹣），BP＝＝＝，∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ABD，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝或BQ＝，∴Q（，0）或（，0）；②当∠PBQ＝∠ADB＝45°时，如图4，∵PM＝BM•tan∠PBQ＝2tan45°＝2，∴P（1，﹣2），∴BP＝2，∵△ABD与△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ADB，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝2﹣2或2+2，∴Q（5﹣2，0）或（1﹣2，0）；综上所述，点Q的坐标为Q（，0）或Q（，0）或Q（5﹣2，0）或Q（1﹣2，0）．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．将C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．设直线BC的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，设D（m，m2﹣m﹣2），则F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴当m＝2时，有最大值，最大值是．（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．∵l∥BC，∴直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，ON﹣QM＝a1﹣＝a1，∴Q（a1，a1﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式得×（a1）2﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（a1，2）．此时点P的坐标为（，）．综上所述，符合条件的点P的坐标是（，）或（，）．9．如图，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）M为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；（3）将抛物线在0≤x≤3之间的部分记为图象L，将图象L在直线y＝t上方部分沿直线y＝t翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若a﹣b≤3，请直接写出t的取值范围．解：（1）将（3，0）代入y＝﹣x+c得0＝﹣2+c，解得c＝2，∴y＝﹣x+2．将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，∴点B坐标为（0，2）．将（3，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+x+2．（2）如图，当BM∥AM时满足题意，点B，N关于抛物线对称轴对称，∵y＝﹣x2+x+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，∴点N坐标为（，2），∴点M坐标为（，0）．如图，当∠NBP＝90°时符合题意，作NC⊥y轴于点C，则N（m，﹣m2+m+2），∵∠NBC+∠ABO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠NBC＝∠BAO，∴△BCN∽△AOB，∴＝，即，解得m＝，∴点M坐标为（，0）．综上所述，点M坐标为（，0）或（，0）．（3）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线顶点坐标为（，），∴翻折后顶点坐标为（，2t﹣），当点A为最低点时，t﹣0≤3，解得t≤3，令t﹣（2t﹣）＝3，解得t＝，∴≤t≤3．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，B、C两点的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3），直线y＝kx+3k经过点A，与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E是抛物线上一动点（不与点C重合），连接AE，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，若△AEF是等腰直角三角形，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，若在直线y＝kx+3k上存在一点G使得△DFG与△AOC相似，求出k的值．解：（1）∵直线y＝kx+3k经过点A，则点A的坐标为（﹣3，0），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）设点E的坐标为（x，x2+2x﹣3），则AF＝|x+3|，EF＝|x2+2x﹣3|，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴|x2+2x﹣3|＝|x+3|，∴x＝﹣3（舍去）或x＝0（舍去）或x＝2，故点E的坐标为（2，5）；（3）∵CO＝BO＝3，故△AOC为等腰直角三角形，当△DFG与△AOC相似时，则△DFG为等腰直角三角形，显然∠DFG不可能为直角，∵直线y＝kx+3k与y轴交于点D，则点D（0，3k），由（2）知，点F（2，0），①当∠FDG为直角时，∵点G在直线AD上，故在∠FDG的前提下，总能找到GD＝DF，故只需要DF⊥AD即可，在等腰Rt△FDG中，由直线AD的表达式为：y＝kx+3k，则tan∠DOA＝k，而tan∠DFO＝＝＝＝，解得k＝±；②当∠FGD为直角时，如下图，过点G作MN∥y轴，交x轴于点N，交过点D与x轴的平行线于点M，则DG＝GF，设点G的坐标为（t，kt+3k），则MD＝﹣t，MG＝3k﹣tk﹣3k＝﹣kt；GN＝kt+3k，FN＝2﹣t，∵∠MGD+∠FGN＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，∴∠MGD＝∠GFN，∵∠GMD＝∠FNG＝90°，GD＝FG，∴△GMD≌△FNG（AAS），∴MD＝GN，MG＝NF，即﹣t＝kt+3k且﹣kt＝2﹣t，解得k＝2或﹣；当∠DFG＝90°时，过点G作GH⊥x轴于H，则△ODF≌△HFG，∴GH＝OF＝2，HF＝OD＝3k，∵y＝﹣2时，﹣2＝kx+3k，∴x＝，∴2+＝3k，解得k＝2或﹣综上，k＝±或2或﹣．11．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y＝ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y＝﹣x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣1，得解得∴抛物线解析式为：y＝∴抛物线对称轴为直线x＝﹣（2）存在使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小∴取点C（0，﹣1）关于直线x＝1的对称点C′（2，﹣1），连C′O与直线x＝1的交点即为P点．设过点C′、O直线解析式为：y＝kx∴k＝﹣∴y＝﹣则P点坐标为（1，﹣）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO＝∠NCD，∠AOC＝∠CND＝90°∴∠CDN＝∠CAO由相似，∠CAO＝∠CMN∴∠CDN＝∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，﹣a﹣1）由△EDN∽△OAC∴ED＝2a∴点D坐标为（0，﹣）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，）把M代入y＝，解得a＝0（舍去）或a＝4∴a＝4则N点坐标为（4，﹣3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO＝∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x＝1的对称点C′即为点M由（2）M为（2，﹣1）∴由相似CN＝，MN＝由面积法求N到MC距离为则N点坐标为（，﹣）∴N点坐标为（4，﹣3）或（，﹣）12．抛物线L：y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x＝1交于点B．（1）求出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y＝kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D，F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点，若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．解：（1）由题意知，解得：，∴抛物线L的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）如图1，∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，∴当x＝1时，y＝4，即该直线所过定点G坐标为（1，4），∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴点B（1，2），则BG＝2，∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG•（xN﹣1）﹣BG•（xM﹣1）＝1，∴xN﹣xM＝1，由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，解得：x＝＝，则xN＝、xM＝，由xN﹣xM＝1得＝1，∴k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；（3）如图2，设抛物线L1的解析式为y＝﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），①当△PCD∽△FOP时，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；②当△PCD∽△POF时，，∴，∴t＝（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，Δ＝（1+m）2﹣8＝0，解得：m＝2﹣1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1＝t2＝，方程②有一个实数根t＝，∴m＝2﹣1，此时点P的坐标为（0，）和（0，）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）2+2＝0，解得：m＝2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t1＝1、t2＝2，方程②有一个实数根t＝1，∴m＝2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当m＝2﹣1时，点P的坐标为（0，）和（0，）；当m＝2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．13．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90度．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于或．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA•OB＝OC2∴OB＝，∴m＝4，将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）D（1，n）代入y＝x2﹣x﹣2，得n＝﹣3，由，得，，∴E（6，7），过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）∴AH＝EH＝7∴∠EAH＝45°过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）∴BF＝DF＝3∴∠DBF＝45°∴∠EAH＝∠DBF＝45°∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：①若△DBP1∽△EAB，则∴BP1＝＝＝∴OP1＝4﹣＝，∴P1（，0）．②若△DBP2∽△BAE，则∴BP2＝＝＝∴OP2＝﹣4＝∴P2（﹣，0）．综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．（3）或．如图所示：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，作DF⊥x轴于F．∵∠PMD＝∠PBD，∠DFP＝∠PDM，∴△PMD和△FBD相似，∴，∴PD＝＝＝，DF＝3，BD＝＝3，∴PM＝＝，∴△BPD的外接圆的半径＝；同理可求出当P点在x轴的负半轴上时，△BPD的外接圆的半径＝．14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？解：（1）令x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴＝，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴＝，∴OC＝，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC＝＝6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，x2+x﹣），①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2＝﹣；当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣；综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣或﹣；②由①得，这样的点P共有3个．15．如图1，经过原点O的抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y＝x交于点B（2，t）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO＝∠ABO，①求点M的坐标；②在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵B（2，t）在直线y＝x上，∴t＝2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y＝2x2﹣3x；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE＝t，BF＝2﹣t，CD＝t﹣（2t2﹣3t）＝﹣2t2+4t，∴S△OBC＝S△CDO+S△CDB＝CD•OE+CD•BF＝（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）＝﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t＝2，解得t1＝t2＝1，∴C（1，﹣1）；（3）①设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB＝∠NOB＝45°，在△AOB和△NOB中，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON＝OA＝，∴N（0，），∴可设直线BN解析式为y＝kx+，把B点坐标代入可得2＝2k+，解得k＝，∴直线BN的解析式为y＝x+，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得（舍去）或，∴M（﹣，），②∵C（1，﹣1），∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B（2，2），∴OB＝2，OC＝，∵△POC∽△MOB，∴＝＝2，∠POC＝∠BOM，当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，∵∠COA＝∠BOG＝45°，∴∠MOG＝∠POH，且∠PHO＝∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴＝＝＝2，∵M（﹣，），∴MG＝，OG＝，∴PH＝MG＝，OH＝OG＝，∴P（，）；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可求得PH＝MG＝，OH＝OG＝，∴P（﹣，﹣）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，﹣）．16．抛物线y＝ax2+6x+c过A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB，交AC于点E，若满足．求点D的坐标；（3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线l⊥AB，若点P在直线l上运动，点Q在x轴上运动，是否存在这样的点P、Q，使得△BQP与△ABF相似（P与F为对应点），若存在，直接写出P、Q的坐标及此时△BQP的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，设抛物线表达式为y＝a（x﹣3）2+h．把B（4，3），C（6，﹣5）代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5；（2）设直线AC的表达式为y＝kx+n，则，解得：，∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+7，设点D（m，﹣m2+6m﹣5）（2＜m＜6），则点E（m，﹣2m+7），∴DE＝（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）＝﹣m2+8m﹣12，如图①，设直线DE与直线AB交于点G，∵AG⊥EG，∴AG＝m﹣2，EG＝3﹣（﹣2m+7）＝2（m﹣2），m﹣2＞0，在Rt△AEG中，∴AE＝（m﹣2），由，则，解得：m＝3.5或2（舍去），则D（，）；（3）存在，理由：根据题意得：△ABF为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点P、Q，则△BPQ为等腰直角三角形，分三种情况：①若∠BPQ＝90°，BP＝PQ，如图②，过P作MN∥x轴，过Q作QM⊥MN于M，连接AB，∵∠APB+∠QPA＝90°，∠QPA+∠APM＝90°，∴∠APB＝∠APM，∵∠PAB＝∠QMP＝90°，PB＝PQ，∴△BAP≌△QMP（AAS），∴AB＝QM＝2，PM＝AP＝3+2＝5，∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0）；如图③，同理可得：△BAP≌△PMQ（AAS），∴AB＝PM＝2，AP＝MQ＝3﹣2＝1，∴P（2，2），Q（3，0）；②若∠BQP＝90°，BQ＝PQ，如图④，过点Q作y轴的平行线交BA的延长线于点N，交过点P与x轴的平行线于点M，同理可得：△BNQ≌△QMP（AAS），∴NQ＝PM＝3，NG＝PM﹣AG＝3﹣2＝1，∴BN＝MQ＝4+1＝5，∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0）；如图⑤，过点Q作y轴的平行线交AB的延长线于点N，交过点P与x轴的平行线于点M，同理可得：△QNB≌△PMQ（AAS），∴NQ＝PM＝3，∴P（2，﹣1），Q（5，0），③若∠PBQ＝90°，BQ＝BP，如图6，过Q作QN⊥AB，交AB的延长线于N，同理可得：△PAB≌△BNQ（AAS），∵AB＝2，NQ＝3，AB≠NQ∴此时不存在符合条件的P、Q．综上，点P、Q的坐标分别为：（2，﹣2）、（﹣3，0）；（2，2）、（3，0）；（2，﹣5）、（﹣1，0）；（2，﹣1）、（5，0）．17．如图，二次函数y＝x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①求点Q的坐标（横、纵坐标均用含m的代数式表示）②连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；③当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y＝x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于6．解：（1）由以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得＝＝2∵A（4，4），B（3，0）∴A′（8，8），B′（6，0）将O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y＝ax2+bx+c得解得∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x；（2）①∵点P在y＝x2﹣3x的图象上，∴n＝m2﹣3m，∴P（m，m2﹣3m），设直线OP的解析式为y＝kx将点P代入，得mk＝m2﹣3m，解得k＝m﹣3，∴OP：y＝（m﹣3）x∵直线OP与y＝x2﹣3x交于点Q∴x2﹣3x＝（m﹣3）x，解得x1＝0（舍），x2＝2m，∴Q（2m，2m2﹣6m）②∵P（m，n）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上∴n＝m2﹣3m∴P（m，m2﹣3m）设直线OP的解析式为y＝kx，将点P（m，m2﹣3m）代入函数解析式，得mk＝m2﹣3m∴k＝m﹣3∴OP的解析是为y＝（m﹣3）x∵OP与y＝x2﹣3x交于Q点∴解得（不符合题意舍去）∴Q（2m，2m2﹣6m）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D则OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|2m|，QD＝|2m2﹣6m|∵＝＝2∴△OCP∽△ODQ∴OQ＝2OP∵2AP＞OQ∴2AP＞2OP，即AP＞OP∴＞化简，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）∵点Q在第一象限，∴，解得m＞3由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表达式是y＝2m2﹣6m∵QQ′交y＝x2﹣3x交于点Q′解得（不符合题意，舍）∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）设OQ′的解析式为y＝kx，（6﹣2m）k＝2m2﹣6m解得k＝﹣m，OQ′的解析式为y＝﹣mx，∵OQ′与y＝x2﹣3x交于点P′∴﹣mx＝x2﹣3x解得x1＝0（舍），x2＝3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点P′∴﹣mx＝x2﹣3x解得x1＝0（舍去），x2＝3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′与y＝x2﹣3x交于点M、N∴x2﹣3x＝2m2﹣6m解得x1＝，x2＝∵M在N左侧∴M（，2m2﹣6m）N（，2m2﹣6m）∵△Q′P′M∽△QB′N∴∵，化简得m2﹣12m+27＝0解得：m1＝3（舍），m2＝9∴N（12，108），Q（18，108）∴QN＝6．故答案为：6．18．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1＝kx2+m（k＜0）与y2＝ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标．解：（1）∵点A（1，0），B（0，1）在二次函数y1＝kx2+m（k＜0）的图象上，∴，∴，∴二次函数解析式为y1＝﹣x2+1，∵点A（1，0），D（0，﹣3）在二次函数y2＝ax2+b（a＞0）的图象上，∴，∴，∴二次函数y2＝3x2﹣3；（2）设M（m，﹣m2+1）为第一象限内的图形ABCD上一点，M'（m，3m2﹣3）为第四象限的图形上一点，∴MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）＝4﹣4m2，由抛物线的对称性知，若有内接正方形，∴2m＝4﹣4m2，∴m＝或m＝（舍），∵0＜＜1，∴MM'＝∴存在内接正方形，此时其边长为；（3）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，∴AD＝＝，同理：CD＝，在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，∴BC＝＝，①如图1，当△DBC∽△DAE时，∵∠CDB＝∠ADO，∴在y轴上存在E，由，∴，∴DE＝，∵D（0，﹣3），∴E（0，﹣），由对称性知，在直线DA右侧还存在一点E'使得△DBC∽△DAE'，连接EE'交DA于F点，作E'M⊥OD于M，连接E'D，∵E，E'关于DA对称，∴DF垂直平分EE'，∴△DEF∽△DAO，∴，∴，∴DF＝，EF＝，∵S△DEE'＝DE•E'M＝EF×DF＝，∴E'M＝，∵DE'＝DE＝，在Rt△DE'M中，DM＝＝2，∴OM＝1，∴E'（，﹣1），②如图2，当△DBC∽△ADE时，有∠BDC＝∠DAE，，∴，∴AE＝，当E在直线AD左侧时，设AE交y轴于P，作EQ⊥AC于Q，∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，∴PD＝PA，设PD＝n，∴PO＝3﹣n，PA＝n，在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n＝，∴PA＝，PO＝，∵AE＝，∴PE＝，在AEQ中，OP∥EQ，∴，∴OQ＝，∵，∴QE＝2，∴E（﹣，﹣2），当E'在直线DA右侧时，根据勾股定理得，AE＝＝，∴AE'＝∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠DAE'，∴AE'∥OD，∴E'（1，﹣），综上，使得△BDC与△ADE相似（其中点C与E是对应顶点）的点E的坐标有4个，即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．19．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B．（I）求抛物线的解析式；（Ⅱ）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M作直线MN垂直于x轴，与直线AB和抛物线分别交于点P、N．①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．解：（1）∵y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴当y＝0时，x＝3，即A（3，0）．∴当x＝0时，y＝2，即B（0，2）．∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直线解析式为y＝