3.1.2 椭圆的简单几何性质(分层练习)（解析版）

第三章圆锥曲线的方程3.1.2椭圆的简单几何性质精选练习基础篇基础篇若直线y=kx+1与椭圆x25+y2A．(1,+∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5,+【答案】D【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.【详解】直线y=kx+1恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即025+12故选：D已知直线l：y=x+m与椭圆C：x25+y2A．−2,2 B．−3,3 C．−∞,−2∪【答案】B【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可.【详解】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得y=x+mx25+y因为直线l与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根，则Δ=10m2−36故选：B．已知椭圆C：x2b2+y2a2=1a>b>0的离心率A．x22+C．x28+【答案】B【分析】由点的坐标求得b，通过离心率求得a，即可求解椭圆方程.【详解】因为M1，0为线段OB的中点，且Bb,0，所以又椭圆C的离心率e=22，所以ca所以椭圆C的标准方程为x2已知点Px0,y0是椭圆C:x2a2+yA．0,22 B．0,22 C．【答案】D【分析】由题意可得以F1F2【详解】解：由已知，以F1F2所以22设椭圆C1:x25+y2=1，C2:A．1 B．2 C．2 D．3【答案】B【分析】根据离心率的关系列方程，从而求得b.【详解】对于椭圆x2a2因为e2=56e故选：B已知F是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦点，若过F的直线A．255 B．33 C．1【答案】A【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造b,c的齐次方程，结合椭圆a,b,c关系可求得离心率e.【详解】由题意知：F−c,0c>0，则直线l:y=−3∵l与圆x2+y2=∴c2=4b2=4a故选：A.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2的直线交CA．3 B．6 C．62 D．【答案】A【分析】由PM⊥F1Q且PF1=PQ=2，得到M为【详解】如图所示，因为PM⊥F1Q且PF1又因为O为F1F2的中点，OM⊥x所以△PF1Q为等边三角形，所以∠PF1所以椭圆C的焦距为2c=3故选：A.

已知椭圆C:x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，FA．3 B．2 C．53​ D．4【答案】D【分析】当△MF1F2​的面积最大时，【详解】由椭圆C:x225+y29=1，得a=5，当△MF1F2​的面积最大时，M为椭圆点O为坐标原点，△MF1F则MF1=MF则S△MF1F2=1故选：D​.“加上一个参数给椭圆，它的形状会有美妙的变化”欧几里得如是说，而这个参数就是椭圆的离心率.若椭圆x2m+y2A．8 B．2或4 C．1或4 D．4或8【答案】D【分析】根据题意，分类讨论m>4和0<m<4两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.【详解】因为椭圆x2m+y2当m>4时，椭圆焦点在x轴上，a2=m，所以c2a2=m−4m=当0<m<4时，椭圆焦点在y轴上，a2=4，所以c2a2=4−m4=综上，该椭圆的长轴长为4或8.故选：D.已知椭圆x22+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点，且A．−1 B．−C．12 D．【答案】AD【分析】联立椭圆方程与直线方程，用韦达定理即可表示出弦长并结合AB=【详解】由x22+y设Ax1y由题意得AB=1+k2x故选：AD.提升篇提升篇若椭圆x29+y24=1的弦ABA．9x+4y−13=0 B．4x+9y−13=0C．x+2y−3=0 D．x+3y−3=0【答案】B【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式可得出直线AB的方程.【详解】若直线AB⊥x轴，则点A、B关于x轴对称，则直线AB的中点在x轴，不合乎题意，所以，直线AB的斜率存在，设点Ax1,y1所以，x129即x1−x可得直线AB的斜率为kAB所以，直线AB的方程为y−1=−49x−1故选：B.椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点为A，点P，Q是C上的任意两点，且关于y轴对称．若直线A．32 B．23 C．22【答案】C【分析】设P(x0,y0)，则Q(−【详解】由题意得A(−a,0)，设P(x因为点P，Q是C上的任意两点，且关于y轴对称，所以Q(−x0,所以kAP=y因为x02a2+所以离心率e=c在椭圆x29+y24=1上求一点M，使点MA．−95,−C．(−2,−253【答案】A【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.【详解】设直线x+2y+b=0与椭圆x2联立方程x+2y+b=0x29因为直线与椭圆相切，所以Δ=(16b)2−4×25(4当b=5时，x+2y+5=0与x+2y−10=0的距离最大，最大距离为35把b=5代入①得，25y2+80y+64=代入x+2y+5=0，得x=−95，所以点M的坐标为已知椭圆E:x2aA．22 B．3−12 C．5【答案】B【分析】设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A,B,F，依题意可得AB=BF，结合【详解】设椭圆E的上顶点、右顶点、左焦点分别为A,B,F，则A(0,b),B(a,0),F(−c,0)，且b2所以AB=a2+b依题意△ABF为等腰三角形，AB=所以a2+b2=a+c所以2c2+2ac−解得e=−1±32，又0<e<1，所以e=已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1⋅A．(0，12) B．(0，2【答案】B【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合点在椭圆内部的特点、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】根据椭圆的对称性，不妨设焦点在横轴上的椭圆标准方程为：x2设F1−c,0,MF点Mx0,要想该不等式恒成立，只需2a而e>0⇒0<e<2故选：B已知F1，F2为椭圆C：x224+y29=1的两个焦点，P，Q【答案】18【分析】判断满足条件的点P,Q存在，再借助对称的性质确定四边形形状，利用椭圆定义求解作答.【详解】椭圆C：x224+y2于是椭圆C上存在点到原点距离等于椭圆半焦距c，由P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，得四边形PF

又PQ=F1F2而|PF1|+|PS=|PF故答案为：18（多选）已知椭圆C：x29+y2b2=1（b>0），F1，F2分别为其左、右焦点，椭圆A．离心率e的取值范围为0,B．不存在点M，使得MC．当e=12时，MD．1M【答案】ABC【分析】A：根据点N2,2在椭圆内部可得49+2b2<1，从而可得b2的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和F【详解】对于A，由已知可得，49+2则e=c对于B，由MF1+对于C，由已知e=ca=12，a=3又N2,2，则N根据椭圆的定义可得MF所以MF由图可知，−N所以MF1当且仅当M，N，F2故MF1+对于D，因为MF所以1M当且仅当MF2M所以，1MF1故选：ABC已知椭圆C：x24+y23=1，若椭圆C【答案】−【分析】设Mx,y，利用点差法得到3x4y=−kPQ，结合kPQ=−【详解】设Px1,Mx,y是线段PQ的中点，则3得3x∵x1≠x∴3x4y∵kPQ=−14，∴联立y=3xy=4x+m，解得x=−m∴M−m,−3m∵点M应在椭圆C的内部，∴m24+∴实数m的取值范围是−2已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的离心率；(2)已知椭圆C的左､右顶点分别为A,B，且AB=6，点M是C上任意一点（与A,B不重合），直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q,O为坐标原点，求OP【答案】(1)53；(2)【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得b2（2）设出点M坐标，写出直线MA和MB的方程求出交点P,Q坐标，利用y02=【详解】（1）根据题意可得椭圆C的上顶点的坐标为0,b，左､右焦点的坐标分别为−c,0,由题意可知bc⋅−又a2=b2+c2，所以a（2）由AB=6，得2a=6，即a=3,c=5,b=2，所以椭圆C如图所示：

设Mx0,y0又A−3,0,B3,0，则直线MA直线MB的方程为y=y因为直线MA,MB分别与直线l:x=5交于点P,Q，可得P5,所以OP⋅即OP⋅已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率e=12，且过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l与椭圆交于A,B两点，且直线PA,PB的倾斜角互补，判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)y216【分析】（1）利用离心率求得a,b,c之间的关系，结合点在椭圆上，解方程即可得答案；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系，利用直线PA,PB的倾斜角互补，可得kPA【详解】（1）设椭圆C的标准方程为y2由题意知e=c故椭圆的标准方程又为x23c又椭圆过点(3,2)，∴36+12=12c