北京鲁迅中学2025届高三上学期期中考试数学试卷 含解析

北京市鲁迅中学2024-2025学年第一学期期中测试高三数学2024.10本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间120分钟.第一部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D3.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.4.已知向量满足，则（）A. B.0 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.【详解】因为，所以，故.故选：C5.的展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.【详解】对于，由二项展开式的通项得，令解得，则所求系数为，故选：D6.设等差数列的前项和为，且，则的最大值为（）A. B.3 C.9 D.36【答案】C【解析】【分析】先求得的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】设等差数列的公差为，则，也即，所以，当且仅当时等号成立.故选：C7.已知函数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C8.函数是A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.9.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.10.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合向量分析运算，列出方程求解，即可得到结果.【详解】每次跳跃的路径对应的向量为，因为求跳跃次数的最小值，则只取，设对应的跳跃次数分别为，其中，可得则，两式相加可得，因为，则或，当时，则次数为；当，则次数为；综上所述：次数最小值为10.故选：B.第二部分（共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为___________________【答案】【解析】【分析】通过对数函数的定义域即可求得答案.【详解】根据题意，可知，解得，故定义域.【点睛】本题主要考查函数定义域的相关计算，比较基础.12.边长为1的正方形ABCD中，设，，，则______．【答案】2【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标表示向量，求出模长即可．【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；在正方形ABCD中，，，，则，∴．故答案为：2．13.设等比数列的公比为,其前n和为,且,则_________;_________．【答案】①.②.##15.5【解析】【分析】由等比数列通项公式可求出从而求出,再代入等比数列前项和公式即可求出.【详解】由,又因为,所以;所以；故答案为:8；.14.如图，某地一天从时至时的温度变化曲线近似满足函数，其中，且函数在与时分别取得最小值和最大值.这段时间的最大温差为___；的一个取值为___________.【答案】①.②.（答案不唯一）【解析】【分析】根据图像直接可得最大温差，再根据函数的最值情况与周期情况可得，，，代入点，可得.【详解】由图像可知最大值为，最小值为，所以最大温差为，即，解得，又由已知可得，即，且，所以，所以函数解析式为，又函数图像经过点，代入得，所以解得，，所以的一个可能取值为（答案不唯一），故答案为：，（答案不唯一）.15.已知函数给出下列四个结论：①当时，的最小值为；②当时，存在最小值；③的零点个数为，则函数的值域为；④当时，对任意．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】【分析】利用函数的单调性及最值可判断①②，根据零点定义结合条件分类讨论可判断③，利用特值可判断④.【详解】对①，当时，，当时，，当时，，综上，的最小值为，①正确；对②，，，当时，，当时，若，；若，，如时，，函数不存在最小值，②错误；对③，当时，最多一个解，得或，如时，，由可得(舍去)，由得或，故此时两个零点，即；如时，，由可得，由得或，故此时三个零点，即；当时，，由可得，由得，故此时一个零点，即；当时，，时，，无解，时，，无解，此时没有零点，即.综上，的值域为，故③正确；对④，当时，如时，，，，，此时，故④错误.故答案为：①③【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在中，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果；（2）根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，，因，所以，且，所以或.【小问2详解】由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，当时，，当时，，所以的面积为或.17.已知函数（）在处取得极小值.（1）求a的值，并求函数的单调区间；（2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）最大值为，最小值为1.【解析】【分析】（1）求导，根据得到，由f′x>0求出单调递增区间，由f（2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值.小问1详解】，由题意得，解得，，定义域为R，，令f′x>0得或，令f′x故单调递增区间为，单调递减区间为，此时函数fx在x=2处取得极小值，满足题意【小问2详解】由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，又，其中，故在区间上的最小值为1，综上，在区间上的最大值为，最小值为1.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）若，求函数的值域.（3）若函数在上有且仅有两个零点，则求m的取值范围.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为，；（2）（3）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得到，求出最小正周期，整体法得到函数单调递增区间；（2）在（1）基础上，得到，求出；（3）转化为在上有且仅有两个解，求出，数形结合得到，求出答案.【小问1详解】，的最小正周期，令，，解得，故单调递增区为，；【小问2详解】，，故，，故函数值域为；【小问3详解】函数，即，，故在上有且仅有两个零点，等价于在上有且仅有两个解，，，要想在上有且仅有两个解，则，解得，故m的取值范围为.19.某景区有一人工湖，湖面有两点，湖边架有直线型栈道，长为，如图所示．现要测是两点之间的距离，工作人员分别在两点进行测量，在点测得，；在点测得．（在同一平面内）（1）求两点之间的距离；（2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由．【答案】（1）（2）直线与直线不垂直，理由详见解析.【解析】【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得.（2）先求得，然后根据向量法进行判断.【小问1详解】依题意，，，，所以，，所以，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由余弦定理得.【小问2详解】在三角形中，由余弦定理得，，在三角形中，由正弦定理得，，直线与直线不垂直，理由如下：,所以直线与直线不垂直.20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上恒成立，求的取值范围；（3）试比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将在区间上恒成立，转化为，令，问题转化为，利用导数求函数即可得解；（3）由（2）知，时，在区间上恒成立，取，可得解.【小问1详解】当时，，，所以曲线在点处切线的斜率，又，所以曲线在点处切线的方程为即.【小问2详解】在区间上恒成立，即，对，即，对，令，只需，，，当时，有，则，在上单调递减，符合题意，当时，令，其对应方程的判别式，若即时，有，即，在上单调递减，符合题意，若即时，，对称轴，又，方程的大于1的根为，，，即，，，即，所以函数在上单调递增，，不合题意.综上，在区间上恒成立，实数的取值范围为.【小问3详解】由（2）知，当时，，在区间上恒成立，即，对，取代入上式得，化简得.21.已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;（2）若具有性质,证明:;（3）给定正整数,对所有具有性质数列,求中元素个数的最小值．【答案】（1）不具有性质,具有性质,（2）证明见解析（3）【解析】【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;(2)“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.(3)设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.【小问1详解】解:由题知,即因为,所以不具有性质,由于,即因为故具有性质,因为故;【小问2详解】“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,假设两个元素均不在中,则有不妨设,若,则由,可得,