《三角函数的图象与性质（第2课时）》教学设计

1/11.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)（赵中玲）一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，能够很好的掌握正弦函数、余弦函数的周期性、单调性及最值、对称性，在直观想象、数学抽象、逻辑推理过程中用这些性质能够对相关函数作出准确的分析进而解答相关问题.（二）学习目标1.能结合（）的单调性和单调区间，求相关复合函数的单调区间，以及会运用单调性求复合函数的值域．2．结合图象和诱导公式研究（）的奇偶性．3．能够利用周期性研究（）在R上的对称性，并结合整体思想求复合型三角函数的对称轴或对称中心4．在渗透数形结合的数学思想过程中，同时培养学生类比和转化的思维习惯．（三）学习重点正弦函数、余弦函数的性质：奇偶性、单调性、对称性和值域.（四）学习难点正弦函数、余弦函数的性质：对称性、奇偶性、单调性.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材37，39—40页，填空：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正弦函数的对称轴为，对称中心为，余弦函数的对称轴为，对称中心为.2.预习自测函数的单调递增区间为对称轴为，对称中心为(二)课堂设计1．知识回顾（1）（）的周期为，最小正周期为的周期为，最小正周期为的单调递增区间为，单调递减区间为；的单调递增区间为，单调递减区间为.复合函数单调性口诀：同增异减2．问题探究探究一探究正弦函数、余弦函数的单调性和最值.●活动①探究的单调区间求法研究函数，的单调递增区间.教师分析：这不是正弦函数、余弦函数，而是正弦函数与一次函数的复合函数，所以应该采用复合函数求单调区间的方法来研究它.为复合函数，内函数为为单增函数，外函数为，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即，但需注意我们的自变量为x，所以单增区间应是x的范围，所以需要反解出x.由，所以得，即单增区间为，又，当时，两者有交集为，因此函数，的单调递增区间为.针对这种定义域不为R的复合型三角函数，我们在求单调区间的时候也可以把范围一直带着走，方法如下：为复合函数，内函数为为单增函数，外函数为，求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单增区间，即，但需注意我们的自变量为x，所以单增区间应是x的范围，所以需要反解出x.由，所以得，因此函数，的单调递增区间为.【设计意图】解决复合型三角函数的单调性问题●活动②探究的单调区间求法研究函数，得单调递增区间.教师分析引导：该题仍然是复合函数的单调性问题，那么大家发现它与之前的有什么区别吗？区别在于内函数变为了减函数，请问这个变化会引起导致求单调区间方法的本质性变化吗？不会，我们仍然应该按照复合函数求单调区间的方法进行求解，请同学们尝试.请问在解题的过程中是否与上一题有区别？老师展示：为复合函数，内函数为为单减函数，外函数为，现要求复合函数的单增区间，根据同增异减，所以需要外函数的单减区间，即，由，所以得（此处解不等式有易错点）即单增区间为，又，当时，两者有交集为，因此函数，的单调递增区间为.我们发现区别就在于最后反解x的时候不等式方向会发生改变，而且容易发生错误，所以为了解决解题过程中解不等式的难点，我们可以先将式子变形后再求单增区间.根据的诱导公式，所以，因此求得单增区间即求得单调递减区间，步骤同上.请同学思考如果把题目换成求函数的单调递增区间应该怎样求解呢？当然我们可以按照复合函数单调性求解，也可以根据诱导公式先变形为再进行求解.【设计意图】对复合型三角函数的单调性问题再次深入研究体会.●活动③探究与其它函数复合后单调区间求法研究函数的单调递增区间.教师分析：因为是复合函数，所以单调区间求法与之前一样，内函数，外函数为，外函数为单调递减函数，要求单调递增区间则需要内函数的单调递减区间，且内函数还有要求，可以先找一个周期内满足条件的x，再扩充到其它周期.在上满足条件的x为，所以单调递增区间为.【设计意图】对含有三角函数的复合函数进行更加全面的分析.探究二正弦函数、余弦函数的奇偶性、对称性.●活动=1\*GB3①探究奇偶性由正弦函数的图象可知为奇函数，根据诱导公式可以证明；由余弦函数的图象可知为偶函数，根据诱导公式可以证明.【设计意图】研究正余弦函数的奇偶性.●活动②探究正弦函数、余弦函数的对称中心和对称轴.由函数性质可知奇偶性即为特殊的对称性，所以有对称中心（0，0），有对称轴有对称轴x=0，又由、周期性的可知，应该还有更多的对称中心和对称轴，请同学们观察图象，写出你所知道的正弦函数的对称中心和对称轴.先分析对称轴，对称轴有……，，，，，，……由于，所以用列举法是没办法写完的，引导学生发现是否有统一的式子来描述这些对称轴.发现相邻对称轴相差个单位，所以可以选定一条对称轴作为参照对象，其它线由它来加减的倍数，选定，则，，，，用一个统一的式子来描述对称轴.请同学们参照对称轴的写法来写出正弦函数的对称中心.请同学们模仿正弦函数的方法寻找余弦函数的对称中心和对称轴.余弦函数对称轴为，对称中心为【设计意图】通过数形结合来掌握对称性，并锻炼学生对式子的观察归纳类比能力.●活动③反思过程，发现对称轴、对称中心的特征.问：请同学们再次观察正弦函数和余弦函数图象，试着发现对称轴、对称中心有没有什么重要的特征，比如可否与我们之前学习的性质等进行联系，请描述出来.特征：（1）发现相邻两个对称轴（或对称中心）的距离为正弦函数或者余弦函数的半个周期，相邻的一个对称轴与对称中心在x轴上的距离为个周期.（2）对称轴所对的x为最值点的横坐标.【设计意图】反思过程，更加深入理解对称性探究三及对称性研究.●活动=1\*GB3①探究的对称轴和对称中心.教师引导：例如同学们如何寻找的对称轴和对称中心.以我们此时的知识基础可以用五点画图法画出图象，然后写出对称轴和对称中心.这样每次都画图会非常耗费时间，所以我们必须要去寻找对称轴和对称中心的特征，通过画图我们发现是与图象形状是一样的，所以它的对称轴也和一样在最值点取，因此求的对称轴，令，则对称轴为；对称中心令，对称中心为.【设计意图】体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解.●活动②探究的对称轴和对称中心.请同学们类比活动1先得出结论教师分析：通过画图我们发现是与图象形状是一样的，所以它的对称轴也和一样在最值点取，因此求的对称轴，令，则对称轴为；对称中心令，对称中心为.【设计意图】再次体会对称性的应用，并学会采用整体法进行求解.●活动③例题巩固，检查反馈例：求的对称中心和对称轴.【知识点】对称性.【数学思想】整体代换【解题过程】令得对称轴为；令得对称中心为.【思路点拨】利用得对称性结合整体思想求解.【答案】对称轴为;对称中心为.同类训练求函数的对称轴和对称中心.【知识点】对称性.【数学思想】整体代换【解题过程】令得对称轴为；令得对称中心为.【思路点拨】利用的对称性结合整体思想求解.【答案】对称轴为;对称中心为.【设计意图】通过例题巩固复合函数对称性.3.课堂总结知识梳理（1）利用正余弦函数的单调性解决了一次与正余弦函数复合后的函数的单调性，所采用的方法有复合函数的单调性求法、整体思想的运用.（2）根据图象和周期性我们得出了正弦函数、余弦函数的对称性和奇偶性.（3）研究了及对称性.（4）关于正弦函数、余弦函数我们主要研究了以下性质：定义域R，值域[-1,1]，周期性、单调性、对称性、奇偶性.重难点归纳（1）正余弦函数的周期性、对称性、单调性均为重点（2）对于其中所涉及的数形结合思想、整体法的运用都属于重难点.（三）课后作业基础型自主突破1.函数是（）A.最小正周期为的奇函数.B.最小正周期为的奇函数.C.最小正周期为的偶函数.D.最小正周期为的偶函数.【知识点】周期、奇偶性【解题过程】，所以最小正周期为，又，所以为偶函数.【思路点拨】化简利用定义解题.【答案】C2．求函数的单调递减区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性.【数学思想】整体思想【解题过程】由复合函数单调性有：内函数为单调递增，外函数为，y=3sint.根据复合函数同增异减，所以外函数需要单调递减区间，即，则，因此所求函数的单调递减区间为【思路点拨】利用复合函数单调性的求法进行求解．【答案】3.求函数的单调递增区间.【知识点】复合函数单调性、正弦函数单调性.【数学思想】整体思想【解题过程】，由复合函数单调性即求的单调递减区间，内函数为为单增函数，外函数为，由同增异减得需要的单调递减区间，所以，所以，所以所求函数的单调递增区间为【思路点拨】现利用奇函数的特征将式子变为x系数为正，然后结合复合函数求单调性的方法求解．【答案】．4．若函数的图象关于直线对称，则=【知识点】对称性.【数学思想】数形结合【解题过程】，所以，所以【思路点拨】根据对称轴特征得出答案【答案】3．5.已知函数的最小正周期为，则（）A.函数的图象关于点对称.B.函数的图象关于点对称.C.函数在单调递减.D.函数在单调递增.【知识点】周期性、对称性、单调性.【数学思想】数形结合【解题过程】，所以，所以；当时，，因此不为对称轴，也不为对称中心横坐标，所以排除A,B；当时，，因此单调递增；选D【思路点拨】先求出解析式，再根据整体法挨个选项验证.【答案】D6．若函数对任意x都有，则（）.A.2或0B.0C.-2或0D.-2或2【知识点】对称性.【数学思想】数形结合【解题过程】由可知函数关于对称，由对称轴特征则【思路点拨】由对称的式子得出对称轴，再根据对称轴特征得出答案【答案】D7．若函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值为.【知识点】对称中心，单调性求最值.【数学思想】数形结合【解题过程】由对称中心的特征有，得，由得，所以，又在单调递减，所以的最小值为【思路点拨】先根据对称中心求出的解析式，再根据单调性求出最值【答案】能力型师生共研8.设函数的最小正周期为，且，则（）A．在上单调递减.B．在上单调递减.C．在上单调递增.D．在上单调递增.【知识点】单调性、周期、奇偶性.【数学思想】数形结合【解题过程】由最小正周期为可得，由可知为偶函数，所以，所以，又，所以，，所以在上单调递增.【思路点拨】先根据周期，奇偶性求出，然后再根据复合函数单调性和整体思想求出单调区间.【答案】C自助餐1.函数的一个单调递增区间为（）A.B.C.D.【知识点】复合函数单调性【数学思想】整体思想【解题过程】A.内函数为增,外函数为单调递增,所以在为增;所以选A.选项B,内函数为增,外函数有增区间也有减区间,所以不选;其它选项同理分析.【思路点拨】将选项带入检验．【答案】A2．下列函数中，最小正周期为且在区间为增函数的是（）A.B.C.D.【知识点】单调性【数学思想】整体思想【解题过程】最小正周期为只有A，D，当时，，此时只有D选项符合要求.【思路点拨】由最小正周期和单增区间进行验证.【答案】D3．已知函数在区间上为增函数，则的最大值为．【知识点】正弦函数单调性.【数学思想】【解题过程】先求出的单增区间，令，由解得单增区间为，则对某个整数K成立，所以，解得.【思路点拨】根据包含于单调区间解题.【答案】4．已知函数的最小正周期为，（1）求函数图象的对称轴方程;（2）讨论函数在上的单调性.【知识点】周期、对称性、单调性.【数学思想】整体代换【解题过程】因为最小正周期为，所以，则；（1）令，则对称轴为；（2），则，根据复合函数单调性，当单调递增时，，所以单增区间为；当单调递减时，，所以单减区间为；【思路点拨】根据周期求出解析式，利用余弦函数的对称轴结合整体思想求出对称轴，利用复合函数研究单调性的方法求单调区间．【答案】（1）对称轴为；（2）单增区间为，单减区间为.5．已知函数的图象上的相邻最高点与最低点的距离为（1）求的值；（2