2025届高考数学统考二轮复习增分强化练二十八直线与圆理含解析

PAGE增分强化练(二十八)一、选择题1．直线(1－2a)x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2a＝0垂直，则实数A．－eq\f(5,2) B.eq\f(7,2)C.eq\f(5,6) D.eq\f(1,6)解析：∵直线(1－2a)x－2y＋3＝0与直线3x＋y＋2a＝0垂直，∴3(1－2a)－2＝0，∴a＝eq\f(1,6)，故选D.答案：D2．过点(1，－1)且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程为()A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．x－2y－3＝0 D．2x＋y－1＝0解析：由题意得所求直线的斜率为eq\f(1,2)，又直线过点(1，－1)，故所求直线的方程为y＋1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y－3＝0.故选C.答案：C3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数mA．－7 B．－1C．－1或－7 D.eq\f(13,3)解析：当m＝－3时，两条直线分别化为：2y＝7，x＋y＝4，此时两条直线不平行；当m＝－5时，两条直线分别化为：x－2y＝10，x＝4，此时两条直线不平行；当m≠－3，－5时，两条直线分别化为：y＝－eq\f(3＋m,4)x＋eq\f(5－3m,4)，y＝－eq\f(2,5＋m)x＋eq\f(8,5＋m)，∵两条直线平行，∴－eq\f(3＋m,4)＝－eq\f(2,5＋m)，eq\f(5－3m,4)≠eq\f(8,5＋m)，解得m＝－7.综上可得：m＝－7.故选A.答案：A4．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是()A．(5，－3) B．(9,0)C．(－3,5) D．(－5,3)解析：依据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x－4y－27＝0的斜率为eq\f(3,4)，所以过P点垂直于已知直线的斜率为－eq\f(4,3)，又P(2,1)，则该直线的方程为：y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)即4x＋3y－11＝0，与已知直线联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－11＝0①,3x－4y－27＝0②))①×4＋②×3得25x＝125，解得x＝5，把x＝5代入①解得y＝－3，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5,y＝－3))，所以直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是(5，－3)．故选A.答案：A5．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为()A．8 B．4C．2 D．1解析：两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A(2,2)，B(2，－2)，则|AB|＝2－(－2)＝4，故选B.答案：B6．过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0解析：∵过点(2,1)的直线中被圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程经过圆心，∴其直线方程为过点(2,1)和圆心(1，－2)的直线，∴其方程为：eq\f(y＋2,x－1)＝eq\f(1＋2,2－1)，整理，得3x－y－5＝0.故选A.答案：A7．圆C：x2＋y2－2x＝0被直线y＝eq\r(3)x截得的线段长为()A．2 B.eq\r(3)C．1 D.eq\r(2)解析：圆C：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线y＝eq\r(3)x的距离为d＝eq\f(|\r(3)|,\r(\r(3)2＋1))＝eq\f(\r(3),2)，弦长为2·eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1，故选C.答案：C8．已知直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点，则“k＝1”是“∠AOB＝120°”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得圆心(0,0)到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，若∠AOB＝120°，则有eq\f(1,\r(1＋k2))＝eq\r(2)·eq\f(1,2)，该方程等价于k2＝1即k＝±1，若k＝1时，则∠AOB＝120°，但∠AOB＝120°时，k＝－1或k＝1，故选A.答案：A9．(2024·青岛模拟)已知圆C：x2＋y2＝1和直线l：y＝k(x＋2)，在(－eq\r(3)，eq\r(3))上随机选取一个数k，则事务“直线l与圆C相交”发生的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：直线l方程为kx－y＋2k＝0，当直线l与圆C相切时可得eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3)，∴直线l与圆C相交时，k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))，∴所求的概率P＝eq\f(\f(2\r(3),3),2\r(3))＝eq\f(1,3).故选C.答案：C10．(2024·威海模拟)已知圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq\r(3)x＋b的最短距离为eq\r(3)，则b的值为()A．－2或2 B．2或4eq\r(3)＋2C．－2或4eq\r(3)＋2 D．－4eq\r(3)－2或2解析：由圆(x－2)2＋y2＝1，可得圆心坐标为(2,0)，半径r＝1，设圆心(2,0)到直线y＝eq\r(3)x＋b的距离为d，则d＝eq\f(|2\r(3)＋b|,\r(3＋1))，因为圆(x－2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq\r(3)x＋b的最短距离为eq\r(3)，所以d－r＝eq\r(3)，即eq\f(|2\r(3)＋b|,\r(3＋1))－1＝eq\r(3)，解得b＝2或b＝－4eq\r(3)－2，故选D.答案：D11．圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝9和C2：x2＋(y－2)2＝1，M，N分别是圆C1，C2上的点，P是直线y＝－1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值是()A．5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C．6－2eq\r(2) D.eq\r(17)解析：圆C1关于y＝－1的对称圆的圆心坐标A(1，－5)，半径为3，圆C2的圆心坐标(0,2)，半径为1，由图象(图略)可知当P，C2，A，三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，|PM|＋|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即|AC2|－3－1＝eq\r(1＋49)－4＝5eq\r(2)－4.故选A.答案：A12．设过点P(－2,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8eq\o(PA,\s\up8(→))＝5eq\o(AB,\s\up8(→))，则|AB|＝()A.eq\f(8\r(5),5) B.eq\f(4\r(6),3)C.eq\f(6\r(6),5) D.eq\f(4\r(5),3)解析：由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4x－2y＋1＝0,x＝my－2))，得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，则y1＋y2＝eq\f(8m＋2,m2＋1)，y1y2＝eq\f(13,m2＋1)，又8eq\o(PA,\s\up8(→))＝5eq\o(AB,\s\up8(→))，所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝eq\f(13,5)y1，代入y1y2＝eq\f(13,m2＋1)得：yeq\o\al(2,1)＝eq\f(5,m2＋1)，故yeq\o\al(2,2)＝eq\f(169,25)×eq\f(5,m2＋1)，又(y1＋y2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8m＋2,m2＋1)))2，即yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＋2y1y2＝eq\f(194,25)×eq\f(5,m2＋1)＋eq\f(26,m2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8m＋2,m2＋1)))2，整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38，又|AB|＝eq\r(1＋m2)·eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(\f(3m2＋8m－12,m2＋1))，当m＝2时，|AB|＝eq\f(8\r(5),5)；当m＝38时，|AB|＝eq\f(8\r(5),5).综上，|AB|＝eq\f(8\r(5),5).故选A.答案：A二、填空题13．若直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直，则a解析：∵直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0相互垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，∴(a－1)(a＋2－2a－3)＝0，∴(a－1)(a＋1)＝0，∴a＝1或a＝－1.答案：±114．已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是________．解析：设圆心为(t,0)，且t>0,∴半径为r＝|t|＝t，∵圆C截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2,∴圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|t－0＋1|,\r(2))＝eq\r(t2－1)，∴t2－2t－3＝0，∴t＝3或t＝－1(舍)，故t＝3，∴(x－3)2＋y2＝9.答案：(x－3)2＋y2＝915．已知圆x2＋y2＝9被直线mx＋y－2m－1＝0所截得弦长为3eq\r(2)，则实数m的值为________．解析：因为圆x2＋y2＝9的圆心是(0,0)，半径为3，依据弦长为3eq\r(2)，所以圆心到直线的距离为d＝eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，所以d＝eq\f(|－2m－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(3\r(2),2)，解得m＝1或m＝7.答案：1或716．已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从