华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 6【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 14【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 24【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 31【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 38【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角中，，，动点从点出发运动到点停止，动点从点出发运动到点停止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒．

2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为．【变式训练】1．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为．2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为．3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为．4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为．【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【变式训练】1．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形中，，点E是边的中点，将沿翻折得，点F落在四边形内，点P是线段上的动点，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值为．2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，，E是上的一点，且，F，G是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为．

4．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为．

【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．1．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（

）A． B． C． D．2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

3．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（

）A．B．C． D．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（

）．

A．

B．

C．

D．

【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．【变式训练】1．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．

(1)________；__________．(2)若与相似，求的值；(3)连接，如图2，若，求的值．2．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；【特例研究】(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．①求证：；②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【变式训练】1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分；【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值；【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为___________（用含m、n的式子表示）．2．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）（1）特殊发现：如图1，正方形与正方形的顶B重合，、分别在、边上，连接，则有：①______；②直线与直线所夹的锐角等于______度；（2）理解运用将图1中的正方形绕点B逆时针旋转，连接、，①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过边的中点O，，直接写出的长等于______；（3）拓展延伸如图4，点P是正方形的边上一动点（不与A、B重合），连接，沿将翻折到位置，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，则的值是否是定值？请说明理由．

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 1【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 6【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 14【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 24【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 31【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 38【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】例题：如图，在中，，，，若点是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为，若△BPQ与相似，则的值为．【答案】或或【分析】根据题意可知，分和两种情形讨论即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴，①当时，，，若，∴则，∴，解得：；若，∴则∴，解得：②当时，，，同理可得或解得：（舍去）或综上所述，或或，故答案为：或或．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角中，，，动点从点出发运动到点停止，动点从点出发运动到点停止．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时运动，那么当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒．

【答案】或【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．【详解】解：如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似，则，，．①当与对应时，有．，，；②当与对应时，有．，，．当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒或秒．故答案为：秒或秒．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，相似三角形的对应边成比例的性质．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，厘米，厘米，动点、分别以2厘米/秒和1厘米/秒的速度同时开始运动，其中点从点出发沿边一直移动到点为止，点从点出发沿边一直移动到点为止．经过多长时间后，与相似？【答案】或【分析】分和两种情况讨论求解即可．【详解】解：设两动点运动时间为，则，，．当时，则有，即，解得：．当时，则有，即，解得：．故答案为：或【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决三角形相似问题时，一定要注意确立好对应关系，题目没有明确说明的前提下，则需要进行分类讨论，三角形比例关系不确定，且有相等夹角时，实际上只需要将相应比例关系顺序变换一下即可．3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为？【答案】(1)；(2)2或3．【分析】（1）由AO=6，BO=8得AB=10，①当∠PAQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB．利用其对应边成比例解t；②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB，利用其对应边成比例解得t．（2）过点Q作QE垂直AO于点E，利用QEBO证明△AEQ∽△AOB，从而得到，从而得出==，再利用三角形面积解得t即可．（1）解：由AO=6，BO=8，，所以，所以AP=t，AQ=，①当∠APQ=∠AOB时，△APQ∽△AOB所以，所以，解得(秒)②当∠AQP=∠AOB时，△AQP∽△AOB所以，所以解得(秒)∴当t为或时，△AQP与△AOB相似．（2）过点Q作QE⊥AO于点E，∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QEBO，∴△AEQ∽△AOB，∴∴==，=解得：∴当t=2或3时，△APQ的面积为个平方单位．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数值，解直角三角形等知识点，有一定的拔高难度，属于难题．【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·黑龙江佳木斯·统考一模）在矩形中，，，点在边上．且，是射线ED上的一个动点．若是等腰直角三角形，则的长为．【答案】或【分析】如图1，当时，如图2，当时，根据矩形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，，过P作PQLBC于Q，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】如图1，当时，四边形是矩形，，，，，，，，，，，过作于，，在与中，，，，，，；如图2，当时，四边形是矩形，，，，，，，，，，，过作于，，在与中，，，，，，；综上所述，的长为或，故答案为：或．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．【变式训练】1．（2023·河南洛阳·统考一模）矩形中，，，点E是的动点，若，则的长为．【答案】2或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明，得到，设，列出关于x的方程，求出x的值即可．【详解】解：设，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，整理得，∴或8，∴的长是2或8．故答案为：2或8．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明，并注意有两个答案．2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，连接，点M，N分别是边，上的动点，连接，将沿折叠，使点C的对应点P始终落在上，当为直角三角形时，线段的长为．【答案】或【分析】分两种情形：如图1中，当时，四边形是正方形，设．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可；如图2中，当时，点N与D重合，设．利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图1中，当时，则四边形是正方形，设．∵，∴，∴，∴，∴，∴；如图2中，当时，则点N与D重合，设．∵，，，∴，由折叠的性质得，∴，∵，∴，∴，∴，综上所述，的值为或．故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在线段上的处，连接，当为等腰三角形时，的长为．【答案】或或【分析】由翻折变换的性质得：，设，则；分三种情况讨论：①时，②当时，在的垂直平分线上，③当时，作于，得出，根据的性质即可求解．【详解】解：由翻折变换的性质得：，，，，∴，设，则；分三种情况讨论：①时，，解得：，；②当时，在的垂直平分线上，为的中点，，，解得：，；③当时，作于，如图所示：则，，又，，，，即，解得：；综上所述：当为等腰三角形时，的长为：或或；故答案为：或或．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，点P是直线上的一个动点．若是直角三角形，则的长为．【答案】或或6【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可．【详解】解：是直角三角形，有以下3种情况：①如图1，，∴，∵矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴；②如图2，，∵，同理得到，∴，∴，；③如图3，，设，则，同理得：，∴，∴，∴；综上的长是或或，故答案为或或．【点睛】本题考查直角三角形的相似问题，在不确定直角的情况下需要分类讨论分类计算，灵活利用相似三角形的判定和性质是解题的关键．【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】例题：（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角中，，，，点P是边上的动点，过点P作交于点H，则的最小值为．

【答案】【分析】作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理可求得，根据三角形的面积可求得解得，，过点作，交于点H，交于点P，则，，可知此时有最小值，最小值为，再根据相似三角形的判定，可证得，据此即可求解．【详解】解：如图：作点C关于的对称点，与交于点D，则垂直平分，，由勾股定理得：，，，，解得，，过点作，交于点H，交于点P，

则，，，此时，，有最小值，最小值为，，，又，，，得，解得，故的最小值为．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在矩形中，，点E是边的中点，将沿翻折得，点F落在四边形内，点P是线段上的动点，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值为．【答案】【分析】过点B作于点，交于，过F作于N，交于M，连接，利用矩形的性质和折叠性质，结合相似三角形的判定证明，得到，设，，可得，求解可得，由可知，当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度，证明得到即可求解．【详解】解：过点B作于点，交于，过F作于N，交于M，连接，如图：∵，点E是边的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∵沿翻折得，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∴，，设，，则，，∵，，∴，解得，∴，∵，∴当B，P，Q共线时，最小，即最小，此时Q与重合，P与重合，最小值为的长度，∵，，，∴，∴，∴最小值为的长度，故答案为：．【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解二元一次方程组、最短路径等知识，解题的关键是掌握翻折的性质，作出辅助线，构造相似三角形．2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形中，，，E是BC中点，CD上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到，连接，，则的最小值为．

【答案】【分析】取的中点，连接和，沿着翻折得到，，为的中点，，可得到，可证明，可得，故，从而得到，当点三点共线时，有最小值为．【详解】解：取的中点，连接和，如图所示：

∵沿着翻折得到，∴，∵，E是BC中点，∴，∴，∵为的中点，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴，∴，当点三点共线时，有最小值为，∵四边形是矩形，∴，∵，∴，在中，，∴，则的最小值为．故填：．【点睛】本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形中，，E是上的一点，且，F，G是上的动点，且，，连接，当的值最小时，的长为．

【答案】3【分析】由勾股定理得，，可知当最小时，的值最小，如图，以为邻边作平行四边形，则，，，则当三点共线时，最短，证明，则，证明，则，解得，由，可得，设，则，，证明，则，即，计算求解即可．【详解】解：∵正方形，，，∴，，∵，∴，当最小时，的值最小，如图，以为邻边作平行四边形，则，，

∴，∴当三点共线时，最短，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得，∵，∴，设，则，，∵，，∴，∴，即，解得，故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．4．（2023·江苏南通·统考三模）已知，如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点关于轴的对称点为点，点为线段上的一个动点，连接，点为线段上一点，且，连接，当的值最小时，的长为．

【答案】【分析】如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，由轴对称的性质可得，则，由此可得，，是等腰直角三角形，则；设与y轴交于N，过点E作轴于M，证明，得到，则，，证明四边形是平行四边形，得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由轴对称的性质可得，则，，故当最小时，最小，即最小，即当E、F、G三点共线时，最小，求出直线解析式为，同理可得直线的解析式为，则当最小时点P的坐标为，利用勾股定理求出，，则．【详解】解：如图所示，作点A关于的对称点F，连接，过点Q作交于G，过点D作且，连接，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵点F与点A关于直线对称，∴，∴，∴，，是等腰直角三角形，∴，设与y轴交于N，过点E作轴于M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；由轴对称的性质可得，∴，∴，∵要使最小，即要使最小，∴当最小时，最小，即最小，∴当E、F、G三点共线时，最小，设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为，同理可得直线的解析式为，联立，解得，∴当最小时点P的坐标为，∴，，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定最小的情形是解题的关键．【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形一边在直线l上，P是直线l上点A左侧的一点，，E为边上一动点，过点P，E的直线与正方形的边交于点F，连接，若设，的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别求出点F在边上时，点F与点C重合时时，点F在边上时，S与x之间的函数关系式，即可求解．【详解】解：，∴∵四边形是正方形，∴点F在边上时，，∴，点F与点C重合时时，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，解得x＝，点F在边上时，∵，∴，即，∴，∴，∴当时，，当时，，当时，，∴能反映S与x之间函数关系的图象是B，故选：B．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质，分类思想的利用是解题的关键．1．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的平分线交于点，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，即可求得．【详解】解：如图1，作的平分线交于点，由题意中的函数图像知，，，，平分，，，，，，，，，，，解得：或（舍），，故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是证明．2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在中，，点P为边上一动点，过点P作直线，交折线于点Q．设，则y关于x的函数图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】分两种情况：当点Q在时，当点Q在时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：∵，∴，当点Q在时，∵直线，∴，∵，∴，∴，即，解得：；当点Q在时，如图，

∵直线，∴，∵，∴，∴，即，解得：；综上所述，y关于x的函数图象大致是：

故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．3．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形中，，动点从点出发沿方向在和上匀速移动，连接交或的延长线于，记点移动的距离为，为，则关于的函数图像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分三种情况讨论得出关于的函数关系式即可得出答案．【详解】解：①当点与点重合时，在正方形中，，∴与或的延长线没有交点，不符合题意；②当点在线段之间（点不与点、点重合），∵四边形是正方形，，∴，，∴，，∴，∴，∵点移动的距离为，为，∴，，，∴，∴，它的图像是反比例函数图像的一部分；②当点在线段之间（点可与点、点重合），此时点与点重合，∵，，又∵，∴，它的图像是一条线段；∴动点从点出发沿方向在和上匀速移动时所对应函数关系式为：，故选：C．【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点的位置分情况讨论．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线是线段的中垂线，与相交于点C，D是位于直线下方的上的一动点（点D不与点C重合），连接，过点A作，过点B作于点E，若，设，，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（

）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据得，根据直线是线段的中垂线可得，，再证，然后根据相似三角形列比例式化简可得，再结合确定函数图像即可即可解答．【详解】解：∵，∴，∵直线是线段的中垂线，∴，，，∵，∴，∴，∴∴，即，可得，即函数图像为B选项．故选B．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，证得得到是解答本题的关键．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．

(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；(3)若A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请求出t的值．【答案】(1)，(2)四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由见解析(3)或【分析】（1）根据题意和坐标与图形性质直接求解即可；（2）根据求解即可；（3）分和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：根据题意，，，又点B的坐标为，则点P坐标为，点Q坐标为，故答案为：，；（2）解：四边形的面积不会随时间t的变化而变化，理由：∵点B坐标为，四边形是矩形，∴，，则四边形的面积；（3）解：当时，∴，即，解得：，当时，∴，即，解得：或（不合题意，舍去），综上所述：或．【点睛】本题考查坐标与图形、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键．【变式训练】1．（2019秋·广东佛山·九年级佛山市禅城区澜石中学校考期中）如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．

(1)________；__________．(2)若与相似，求的值；(3)连接，如图2，若，求的值．【答案】(1)，(2)的值为或(3)的值【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出的值，根据点的运动，即可求解；（2）根据点的运动，分类讨论，①当；②当；根据相似三角形的性质，图形结合分析即可求解；（3）如图所示，过点作于点，根据三角形函数值的计算分别求出的值，再证，根相似三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：在，，，∴，∵动点从点到点的速度为每秒，动点从点到点的速度为每秒，运动时间为t秒（），∴，，∴，故答案为：，．（2）解：①当，∴，即，垂足为点，由（1）可知，，，，，∵，∴，即，解得，，符合题意；②当，∴，即，垂足为点，∴，即，解得，，符合题意；综上所述，与相似，的值为或．（3）解：如图所示，过点作于点，

在中，，，∵，，，∴在中，，即，，即，∴，∵，，∴，，∴，且，∴，∴，即，解得，或，∵运动时间为t秒（），∴．【点睛】本题主要考查动点与直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键．2．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，，则与的数量关系是______．（2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，．判断线段与，有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则的最小值为______．

【答案】（1）；（2）．理由见解析；（3）2；（4）【分析】（1）通过证明全等，得到；（2）通过证明得到，，延长相交于点H．可以证明；（3）作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，证明，得出，求出，得出点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，求出结果即可；（4）作点D关于直线的对称点，连接交于G，根据两点之间线段最短，得出此时的值最小，最小值为，根据，得出，即，从而得出的最小值就是的最小值．【详解】（1）解：∵正方形，∴，∵正方形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；故答案为：；（2）解：．理由如下：延长相交于点H．

∵矩形、矩形，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，∵矩形，∴，∴，，∴，∴；（3）解：作于点N，交的延长线于点M，交的延长线于点J，如图所示：

则，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∴，∴点G的运动轨迹是直线，当点E从点A运动到点D的过程中，点G从点J运动到点M，∵，∴四边形为矩形，∴，∴点G的运动路径长度为2，故答案为：2．（4）解：作点D关于直线的对称点，连接交于G，如图所示：

根据解析（3）可知，点G的运动轨迹是直线，∵，∴，∵两点之间线段最短，∴此时的值最小，最小值为，由（2）知，，∴，∴，∴的最小值就是的最小值，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形中，，连接，，过点作交的延长线于点．求证：；【特例研究】(2)如图2，若四边形中，，（1）中的其它条件不变，取，的中点M，F，连接．①求证：；②N为的中点，连接，猜想与的位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图3，在矩形中，对角线，相交于点O，E是射线上一动点，过点作交射线于点，当，，时，请直接写出的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②，理由见解析；(3)或4．【分析】（1）根据题可得、，然后根据同角的余角相等即可证明结论；（2）①先证明可得，再说明是的中位线可得，再结合即可证明结论；②先说明和都是等腰直角三角形，进而得到，再说明可得可得、，即可得，进而得到即可证明结论；（3）当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，证明，由相似三角形的性质得即可求出的长，进而求得的长；当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，同理解答即可【详解】（1）证明：，．．，．．

（2）①．，即．，由（1）知，．．∵M，F分别是，的中点，是的中位线．．．②，理由如下：连接，，由①知，，．，，∴和都是等腰直角三角形．，．．又为中点，M为中点，，．．．，．，．．．．．．

（3）解：①如图：当点E在线段的延长线上时，过点O作于点F，于点H，与交于点K，

,∴∵四边形是矩形，∴，∴∴四边形是矩形，,∵，O为的中点，∴，同理：，，，又，∴，∴，即，解得：∴；②如图：当点E在线段上时，过点O作于点F，于点H，

同理可得，即，解得：，∴．综上，的长为或4．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关判定和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明【基础巩固】（1）参照