2024-2025学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式学案含解析新人教A版选修4-5

PAGE二肯定值不等式1肯定值三角不等式考纲定位重难突破1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.2.会用定理1、定理2解决比较简洁的问题.重点：肯定值的几何意义．难点：1.肯定值三角不等式及其几何意义．2.会用肯定值三角不等式的两特性质定理证明简洁的含肯定值的不等式以及解决含肯定值的不等式的最值问题.授课提示：对应学生用书第8页[自主梳理]一、肯定值的几何意义1．实数a的肯定值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于随意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．二、肯定值三角不等式1．假如a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．假如把上面的肯定值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．三、三个实数的肯定值不等式假如a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[双基自测]1．若|a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b为实数，则有()A．ab<0 B．ab>0C．ab≥0 D．以上都不对解析：若|a＋b|＝|a|＋|b|，则ab≥0，选C.答案：C2．若|x－a|<h，|y－a|<k，则下列不等式肯定成立的是()A．|x－y|<2h B．|x－y|<2kC．|x－y|<h＋k D．|x－y|<|h－k|解析：|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|<h＋k，故选C.答案：C3．函数y＝|x－1|＋|x－5|的最小值为________，此时x的取值范围是________．解析：|x－1|＋|x－5|＝|x－1|＋|5－x|≥|x－1＋5－x|＝4，当且仅当(x－1)(5－x)≥0，即1≤x≤5时等号成立．答案：4[1,5]4．不等式eq\f(|a＋b|,|a|－|b|)≥1成立的充要条件是________．解析：eq\f(|a＋b|,|a|－|b|)≥1⇔eq\f(|a＋b|－|a|－|b|,|a|－|b|)≥0⇔(|a|－|b|)[|a＋b|－(|a|－|b|)]≥0.而|a＋b|≥|a|－|b|，∴|a＋b|－(|a|－|b|)≥0.∴|a|－|b|>0，即|a|>|b|.答案：|a|>|b|授课提示：对应学生用书第9页探究一与肯定值不等式有关的推断[例1]若x＜5，n∈N，则下列不等式：①|xlgeq\f(n,n＋1)|＜5|lgeq\f(n,n＋1)|；②|x|lgeq\f(n,n＋1)＜5lgeq\f(n,n＋1)；③xlgeq\f(n,n＋1)＜5|lgeq\f(n,n＋1)|；④|x|lgeq\f(n,n＋1)＜5|lgeq\f(n,n＋1)|.其中，能够成立的有________．[解析]∵0＜eq\f(n,n＋1)＜1.∴lgeq\f(n,n＋1)＜0.由x＜5，并不能确定|x|与5的关系，∴可以否定①②③，而|x|lgeq\f(n,n＋1)＜0，故④成立．[答案]④与肯定值不等式相关的推断方法与技巧(1)推断一个不等式成立与否，往往是对影响不等号的因素进行分析，如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，留意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好推断了．(2)假如对不等式不能干脆推断，往往须要对不等式化简整理或变形后再利用肯定值不等式进行推断．1．|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)，则有|x－y|＝|x－A＋A－y|＝|(x－A)＋(A－y)|≤|x－A|＋|y－A|<eq\f(ε,2)＋eq\f(ε,2)＝ε.∴|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε成立的充分条件．反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|<eq\f(3,4)ε，|y－A|<eq\f(ε,4)使得条件|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)得不到满意．因此，我们有|x－A|<eq\f(ε,2)，|y－A|<eq\f(ε,2)是|x－y|<ε成立的充分不必要条件，故选择A.答案：A探究二含肯定值不等式的证明[例2]求证：eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2).[证明]法一：①当|a|≤|b|时，由eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥0，eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2)≤0，知不等式成立．②当|a|>|b|时，eq\f(|a2－b2|,2|a|)－(eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2))＝eq\f(|a|2－|b|2,2|a|)－eq\f(|a|－|b|,2)＝eq\f(|a|－|b|,2)·(eq\f(|a|＋|b|,|a|)－1)＝eq\f(|a|－|b|,2)·|eq\f(b,a)|≥0，即eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2).综合①②知不等式成立．法二：①当|a|≤|b|时，由eq\f(|a2－b2|,2|a|)≥0，eq\f(|a|,2)－eq\f(|b|,2)≤0，知不等式成立．②若|a|>|b|，左边＝eq\f(|a＋b||a－b|,2|a|)＝eq\f(|a＋b||a－b|,|a＋b＋a－b|)≥eq\f(|a＋b||a－b|,|a＋b|＋|a－b|)＝eq\f(1,\f(1,|a＋b|)＋\f(1,|a－b|))，∵eq\f(1,|a＋b|)≤eq\f(1,|a|－|b|)，eq\f(1,|a－b|)≤eq\f(1,|a|－|b|)，∴eq\f(1,|a＋b|)＋eq\f(1,|a－b|)≤eq\f(2,|a|－|b|).∴左边≥eq\f(|a|－|b|,2)＝右边．由①②知不等式成立．含肯定值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简洁的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉肯定值转化为常见的不等式证明，或利用肯定值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含肯定值的不等式，往往可考虑利用一般状况成立，则特别状况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2．已知|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3).求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.证明：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.因为|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3)，所以|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＝s.探究三利用肯定值不等式求最值[例3](1)求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值；(2)求函数f(x)＝|x－1|－|x＋1|的值域．[解析]法一：(1)∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，即－1≤x≤1时取等号，∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.(2)∵||x－1|－|x＋1||≤|(x－1)－(x＋1)|＝2，当且仅当(x－1)(x＋1)≥0，即x≥1或x≤－1时取等号，即－2≤|x－1|－|x＋1|≤2，当x≥1时函数取得最小值－2，当x≤－1时，函数取得最大值2，当－1<x<1时，－2<|x－1|－|x＋1|<2，故函数f(x)的值域为[－2,2]．法二：(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1，))其图象如图所示．由图象可知，当－1≤x≤1时，f(x)min＝2.(2)因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x≤－1，,－2x，－1<x≤1，,－2，x>1，))其图象如图所示：由图象可知，f(x)的值域为[－2,2]．对于含有两个以上肯定值的代数式，通常利用分段探讨的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含肯定值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这须要精确地处理“数”的差或和，以达到所须要的结果．3．若对随意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解析：a<|x＋1|－|x－2|对随意实数恒成立，∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．应用肯定值三角不等式求参数的取值范围[典例]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|，若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，则实数a的取值范围是________．[解析]只要|a－1|大于f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|的最小值，则f(x)<|a－1|的解集非空．而f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|＝|2x＋1|＋|3－2x|≥|(2x＋1)＋(3－2x)|＝4，由|a－1|>4，即a－1>4或a－1<－4，解得a>5或a<－3，故a∈(－∞，－3)∪(5，＋∞)．[答案](－∞，－3)∪(5，＋∞)[规律探究]求不等式方程有解或恒成立时参数的取值范围．其原理是：先将不等式中的参数分别到不等式的一边，f(x)<A在集合D上有解⇔f(x)min<A；f(x)<A在集合D上恒成立⇔f(x)max<A；f(x)>A在集合D上有解⇔f(x)max>A；f(x)>A在集合D上恒成立⇔f(x)min>A.然后通过解不等式求出参数的范围.[随堂训练]对应学生用书第10页1．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是()A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|b|＋|a|C．b>||c|－|a|| D．b<|a|－|c|解析：∵|a|－|c|≤|a－c|<b≤|b|，∴|a|<|b|＋|c|，故A成立．∵|c|－|a|≤|c－a|＝|a－c|<b≤|b|，∴|c|<|b|＋|a|，故B成立．∵|a|－|c|≤|a－c|，|c|－|a|≤|c－a|，∴||a|－|c||≤|a－c|<b，∴b>||c|－|a||成立，从而C成立，因此只能是D不成立．答案：D2．若1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则下列结论中不正确的是()A．logab>logbaB．|loga