2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01数列求通项(数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法)练习(学生版+解析)_第1页
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专题01数列求通项(法、法)(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:法:角度1:用,得到 2题型二:法:角度2:将题意中的用替换 3题型三:法:角度3:已知等式中左侧含有: 4题型四:法:角度1:已知和的关系 5题型五:法:角度2:已知和的关系 7三、数列求通项(法、法)专项训练 8一、必备秘籍1对于数列,前项和记为;①;②②:法归类角度1:已知与的关系;或与的关系用,得到例子:已知,求角度2:已知与的关系;或与的关系替换题目中的例子:已知;已知角度3:已知等式中左侧含有:作差法(类似)例子:已知求2对于数列,前项积记为;①;②①②:法归类角度1:已知和的关系角度1:用,得到例子:的前项之积.角度2:已知和的关系角度1:用替换题目中例子:已知数列的前n项积为,且.二、典型题型题型一:法:角度1:用,得到1.(23-24高二下·河南南阳·期中)已知数列的前项和为,且为等差数列.(1)证明:为等差数列;2.(2024·四川·模拟预测)已知为正项数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;3.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;4.(23-24高二下·辽宁·阶段练习)已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式;题型二:法:角度2:将题意中的用替换1.(2024·山西晋中·模拟预测)已知数列的前项和为,,且当时,,(1)证明:数列是等差数列;2.(2024·全国·模拟预测)已知正项数列的前项和为,,且当时.(1)求数列的通项公式;3.(2023·云南昭通·模拟预测)已知各项均为正数的数列的首项,其前项和为,从①;②,;③中任选一个条件作为已知,并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).4.(2023·江西南昌·三模)已知是数列的前项和,满足,且.(1)求;题型三:法:角度3:已知等式中左侧含有:1.(2024·河北沧州·一模)在数列中,已知.(1)求数列的通项公式;2.(23-24高二下·河北邢台·阶段练习)已知数列满足.(1)求的通项公式;3.(2024·浙江温州·二模)数列满足:是等比数列,,且.(1)求;4.(2024·广西柳州·三模)已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;5.(2024·福建漳州·模拟预测)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;题型四:法:角度1:已知和的关系1.(2023·全国·模拟预测)已知是等比数列,其前项之积,(1)求的通项公式,并求的解集;2.(2023·四川·模拟预测)已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;3.(2023·浙江·模拟预测)已知正项等比数列和数列,满足是和的等差中项,.(1)证明:数列是等差数列,(2)若数列的前项积满足,记,求数列的前20项和.4.(2023·辽宁·三模)已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式;5.(2023·湖北·模拟预测)已知数列前项和,的前项之积.(1)求与的通项公式.题型五:法:角度2:已知和的关系1.(2024·陕西西安·模拟预测)已知数列的前项的积记为,且满足.(1)证明:数列为等差数列;2.(23-24高三上·福建宁德·期末)已知为数列的前项积,且.(1)证明:数列是等差数列;3.(23-24高一下·贵州遵义·期末)设是数列的前项之积,并满足:.(1)求;(2)证明数列等差数列;三、数列求通项(法、法)专项训练1.(23-24高三下·江苏苏州·开学考试)记为数列的前n项积,已知(1)证明:数列是等差数列;2.(2023·全国·模拟预测)已知数列,满足.(1)若是数列的前n项积,求的最大值;3.(2023·福建南平·模拟预测)设为数列的前n项积.已知.(1)求的通项公式;7.(2024·浙江宁波·二模)已知等差数列的公差为2,记数列的前项和为且满足.(1)证明:数列是等比数列;8.(2024·四川·模拟预测)已知数列的前n项和为,,,且当时,.(1)求;9.(2024·河北·模拟预测)已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;10.(2024·云南昆明·模拟预测)已知各项均为正数的数列的首项,其前项和为,从①;②,且;③中任选一个条件作为已知,并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)11.(23-24高三下·山东菏泽·开学考试)已知正项数列的前n项和为,且.(1)求数列的通项公式;12.(23-24高三下·四川雅安·开学考试)已知数列满足.(1)求的通项公式;13.(2022·全国·模拟预测)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;专题01数列求通项(法、法)(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一:法:角度1:用,得到 2题型二:法:角度2:将题意中的用替换 4题型三:法:角度3:已知等式中左侧含有: 6题型四:法:角度1:已知和的关系 8题型五:法:角度2:已知和的关系 12三、数列求通项(法、法)专项训练 13一、必备秘籍1对于数列,前项和记为;①;②②:法归类角度1:已知与的关系;或与的关系用,得到例子:已知,求角度2:已知与的关系;或与的关系替换题目中的例子:已知;已知角度3:已知等式中左侧含有:作差法(类似)例子:已知求2对于数列,前项积记为;①;②①②:法归类角度1:已知和的关系角度1:用,得到例子:的前项之积.角度2:已知和的关系角度1:用替换题目中例子:已知数列的前n项积为,且.二、典型题型题型一:法:角度1:用,得到1.(23-24高二下·河南南阳·期中)已知数列的前项和为,且为等差数列.(1)证明:为等差数列;【答案】(1)证明见解析;【分析】(1)因为为等差数列,可设出的通项公式,然后由前项和求数列的通项公式,再由等差数列的概念判断数列是等差数列.【详解】(1)因为为等差数列,设其公差为,所以,又因为,所以.当时,,又因为适合上式,所以.所以,所以为等差数列.2.(2024·四川·模拟预测)已知为正项数列的前项和,且.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)已知与的关系求通项公式,用退位作差,再利用平方差公式进行化简,最后对时进行检验,得到数列是等差数列,从而写出通项公式;【详解】(1)由题意知:,即,当时,,两式相减,可得,因为,可得.又因为,当时,,即,解得或(舍去),所以(符合),从而,所以数列表示首项为3,公差为2的等差数列.所以数列的通项公式为.3.(2024·全国·模拟预测)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)根据题意结合与之间的关系可得,利用等差中项可得数列为等差数列,进而求;【详解】(1)因为,即,则,两式相减并整理得,则,两式相减整理得,所以数列为等差数列.当时,,所以.设等差数列的公差为,因为,解得,所以.4.(23-24高二下·辽宁·阶段练习)已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)由与的关系,求数列的通项公式;【详解】(1)数列的前n项和为,时,,时,,不符合,所以.题型二:法:角度2:将题意中的用替换1.(2024·山西晋中·模拟预测)已知数列的前项和为,,且当时,,(1)证明:数列是等差数列;【答案】(1)证明见解析【分析】(1)由题意可得,两边同时除以(),得,从而得证;【详解】(1)因为,所以,则,因为,易知,所以,又,所以数列是首项与公差都为2的等差数列;2.(2024·全国·模拟预测)已知正项数列的前项和为,,且当时.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)由时,,及条件可得,再由累加法可求出,再由求出.【详解】(1)因为时,数列为正项数列,所以.由累加法得,又,所以,即,故当时,,因此.3.(2023·云南昭通·模拟预测)已知各项均为正数的数列的首项,其前项和为,从①;②,;③中任选一个条件作为已知,并解答下列问题.(1)求数列的通项公式;(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分).【答案】(1)条件选择见解析,【分析】(1)选择条件①②③,利用给定条件并作变形,再结合求解作答.【详解】(1)选择①:因为,则,两式相减得,即,而,,则,因此数列是以为首项,2为公差的等差数列,所以.选择②:因为,则,于是当时,,即,由,得,即有,因此,,即数列是以为首项,2为公差的等差数列,所以.选择③:因为,又,则,即,显然,于是,即是以1为首项,1为公差的等差数列,从而,即,因此,而满足上式,所以.4.(2023·江西南昌·三模)已知是数列的前项和,满足,且.(1)求;【答案】(1)【分析】(1)利用化简式子得到,利用累加法即可求解;【详解】(1)因为,显然,所以,即,所以,所以,又当时,也满足,所以.题型三:法:角度3:已知等式中左侧含有:1.(2024·河北沧州·一模)在数列中,已知.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)根据数列的前项和求数列的通项公式,一定要分和讨论.【详解】(1)当时,;当时,,所以,.当时,上式亦成立,所以:.2.(23-24高二下·河北邢台·阶段练习)已知数列满足.(1)求的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)由已知求得数列首项,再根据数列递推式,采用两式相减的方法,即可求得答案;【详解】(1)当时,由,得,当时,,则,也适合该式,故;3.(2024·浙江温州·二模)数列满足:是等比数列,,且.(1)求;【答案】(1),【分析】(1)根据已知及等比数列的定义求出的通项公式,由已知和求通项可得的通项公式,【详解】(1),又,,解得:因为是等比数列,所以的公比,又当时,,作差得:将代入,化简:,得:是公差的等差数列,4.(2024·广西柳州·三模)已知数列满足:,.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)根据的关系,作差即可求解,【详解】(1)当时,由,得当时,两式相减,得当时,综上可知,5.(2024·福建漳州·模拟预测)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)作差法,计算得到,验证是否成立,进而得到数列的通项公式;【详解】(1)因为,①当时,,②①②得,即.当时,也符合上式,所以.题型四:法:角度1:已知和的关系1.(2023·全国·模拟预测)已知是等比数列,其前项之积,(1)求的通项公式,并求的解集;【答案】(1),,【分析】(1)分和两种情况,结合题意分析求的通项公式,代入运算求解即可;【详解】(1)当时,;当时,.当时,也符合上式,综上,,.令,即,整理得,解得或4,所以的解集为.2.(2023·四川·模拟预测)已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;【答案】(1),【分析】(1)对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;【详解】(1)当时,,∴,当时,,化简得,∵,∴,∴数列是首项为,公差为的等差数列,∴.当时,,当时,,当时也满足,所以.3.(2023·浙江·模拟预测)已知正项等比数列和数列,满足是和的等差中项,.(1)证明:数列是等差数列,(2)若数列的前项积满足,记,求数列的前20项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用等差数列的定义法判断即可.(2)由(1)和,求得,,然后表示出的前20项和即可得出答案.【详解】(1)由题知,是等比数列,设其公比为,由,可得:当时,,两式相减得,,故数列是等差数列.(2)由知:当时,,又,所以,由(1)设的公差为,则,由,则,,所以.即数列的前20项和为.4.(2023·辽宁·三模)已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式;【答案】(1)【分析】(1)当时,,即可求出答案;【详解】(1),当时,.当时,,满足上式,.5.(2023·湖北·模拟预测)已知数列前项和,的前项之积.(1)求与的通项公式.【答案】(1),【分析】(1)根据,,即可得出答案;【详解】(1)解:(1)由,当时,当时,,当时,上式也成立,所以,由,当时,,当时,,当时,上式也成立,所以;题型五:法:角度2:已知和的关系1.(2024·陕西西安·模拟预测)已知数列的前项的积记为,且满足.(1)证明:数列为等差数列;【答案】(1)证明见解析【分析】(1)分类讨论与两种情况,利用递推式求得与,从而得证;【详解】(1)因为,当时,,即,易知,则,当时,,所以,即,故数列是以3为首项,2为公差的等差数列.2.(23-24高三上·福建宁德·期末)已知为数列的前项积,且.(1)证明:数列是等差数列;【答案】(1)证明见解析【分析】(1)利用将条件整理变形可得,即可证明数列是等差数列;【详解】(1)为数列的前项积,当时,,,等式两边同时乘以可得,即,又当时,,得,所以数列是以为首项,为公差的等差数列;3.(23-24高一下·贵州遵义·期末)设是数列的前项之积,并满足:.(1)求;(2)证明数列等差数列;【答案】(1)证明见解析,(2)证明见解析,(3)证明见解析【分析】(1)由题意结合递推关系可得,;(2)根据题意利用等差数列的定义证明即可【详解】(1)由,且,得,当时,,即,,得,当时,,即,,得(2)证明:因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以因为所以数列是以2为首项,公差为1的等差数列三、数列求通项(法、法)专项训练1.(23-24高三下·江苏苏州·开学考试)记为数列的前n项积,已知(1)证明:数列是等差数列;【答案】(1)证明见解析【分析】(1)根据已知条件先确定,得出为等差数列,进而求出通项公式,进而求出,由定义法即可判断数列是等差数列;【详解】(1)因为,时,有,为数列的前n项积,所以,代入上式有;又由,有,所以,即,,所以,所以为首项为,公差为的等差数列,所以,,代入,解得:,,所以数列是等差数列.2.(2023·全国·模拟预测)已知数列,满足.(1)若是数列的前n项积,求的最大值;【答案】(1)【分析】(1)先根据前n项和与通项的关系求出的通项公式,表示出,结合二次函数的性质,即可得出答案;【详解】(1)当时,.当时,,解得①.因为满足①式,所以,则,所以为等比数列,公比为,所以.又因为当或时,取最大值55,所以的最大值为.3.(2023·福建南平·模拟预测)设为数列的前n项积.已知.(1)求的通项公式;【答案】(1);【分析】(1)利用给定的递推公式,结合前n项积的意义求解作答.【详解】(1)依题意,是以1为首项,2为公差的等差数列,则,即,当时,有,两式相除得,,显然,即,因此当时,,即,所以数列的通项公式.4.(22-23高二上·山东威海·期末)设为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知.(1)求,;(2)求证:数列为等差数列;(3)求数列的通项公式.【答案】(1);(2)证明见解析(3)【分析】(1)直接令中的,可得答案;(2)通过得到,两式相除整理后可证明数列为等差数列;(3)当时,通过可得数列的通项公式,注意验证时是否符合.【详解】(1)由,且,当时,,得,当时,,得;(2)对于①,当时,②,①②得,即,,又,数列是以1为首项,1为公差的等差数列;(3)由(2)得,,当时,,又时,,不符合,.5.(22-23高三上·江苏南通·阶段练习)为数列的前n项积,且.(1)证明:数列是等比数列;(2)求的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)由与的关系,把已知式中换成的关系式,然后可配出等比数列的比值;(2)由(1)求得后,代入已知可得或由与的关系求解.【详解】(1)证明:由已知条件知

①,于是.

②,由①②得.

,又

④,由③④得,所以,令,由,得,,所以数列是以4为首项,2为公比的等比数列;(2)由(1)可得数列是以4为首项,2为公比的等比数列.,法1:时,,又符合上式,所以;法2:将代回得:.6.(22-23高三上·河北邢台·开学考试)数列的前n项积.数列的前n项和.(1)求数列、的通项公式.【答案】(1),,【分析】(1)利用求,利用求,注意的求法;【详解】(1)前n项积为,①n=1时,,②时,,,符合上式,∴,,.的前n项和为,①n=1时,,②时,,,符合上式,∴,;7.(2024·浙江宁波·二模)已知等差数列的公差为2,记数列的前

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