2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01数列求通项(数列前n项和Sn法、数列前n项积Tn法)练习(学生版+解析)

专题01数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：法：角度1：用，得到 2题型二：法：角度2：将题意中的用替换 3题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 4题型四：法：角度1：已知和的关系 5题型五：法：角度2：已知和的关系 7三、数列求通项（法、法）专项训练 8一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型题型题型一：法：角度1：用，得到1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列．(1)证明：为等差数列；2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；4．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；题型二：法：角度2：将题意中的用替换1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，(1)证明：数列是等差数列；2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．(1)求数列的通项公式；3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.4．（2023·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：1．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知．(1)求数列的通项公式；2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．(1)求的通项公式；3．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且．(1)求；4．（2024·广西柳州·三模）已知数列满足：，．(1)求数列的通项公式；5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；题型四：法：角度1：已知和的关系1．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，其前项之积，(1)求的通项公式，并求的解集；2．（2023·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.(1)证明：数列是等差数列，(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.4．（2023·辽宁·三模）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.(1)求与的通项公式.题型五：法：角度2：已知和的关系1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.(1)证明：数列为等差数列；2．（23-24高三上·福建宁德·期末）已知为数列的前项积，且.(1)证明：数列是等差数列；3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）设是数列的前项之积，并满足：.（1）求；（2）证明数列等差数列；三、数列求通项（法、法）专项训练1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）记为数列的前n项积，已知(1)证明:数列是等差数列；2．（2023·全国·模拟预测）已知数列，满足．(1)若是数列的前n项积，求的最大值；3．（2023·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．(1)求的通项公式；7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足.(1)证明：数列是等比数列；8．（2024·四川·模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且当时，.(1)求；9．（2024·河北·模拟预测）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，且；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式；（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）11．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知正项数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；12．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知数列满足．(1)求的通项公式；13．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；专题01数列求通项（法、法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：法：角度1：用，得到 2题型二：法：角度2：将题意中的用替换 4题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有： 6题型四：法：角度1：已知和的关系 8题型五：法：角度2：已知和的关系 12三、数列求通项（法、法）专项训练 13一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型题型题型一：法：角度1：用，得到1．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知数列的前项和为，且为等差数列．(1)证明：为等差数列；【答案】(1)证明见解析；【分析】（1）因为为等差数列，可设出的通项公式，然后由前项和求数列的通项公式，再由等差数列的概念判断数列是等差数列.【详解】（1）因为为等差数列，设其公差为，所以，又因为，所以．当时，，又因为适合上式，所以．所以，所以为等差数列．2．（2024·四川·模拟预测）已知为正项数列的前项和，且．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式；【详解】（1）由题意知：，即，当时，，两式相减，可得，因为，可得．又因为，当时，，即，解得或（舍去），所以（符合），从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列的通项公式为．3．（2024·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据题意结合与之间的关系可得，利用等差中项可得数列为等差数列，进而求；【详解】（1）因为，即，则，两式相减并整理得，则，两式相减整理得，所以数列为等差数列．当时，，所以．设等差数列的公差为，因为，解得，所以．4．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）已知数列的前n项和为(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式；【详解】（1）数列的前n项和为，时，，时，，不符合，所以.题型二：法：角度2：将题意中的用替换1．（2024·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，，且当时，，(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意可得，两边同时除以（），得，从而得证；【详解】（1）因为，所以，则，因为，易知，所以，又，所以数列是首项与公差都为2的等差数列；2．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列的前项和为，，且当时．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）由时，，及条件可得，再由累加法可求出，再由求出.【详解】（1）因为时，数列为正项数列，所以．由累加法得，又，所以，即，故当时，，因此．3．（2023·云南昭通·模拟预测）已知各项均为正数的数列的首项，其前项和为，从①；②，；③中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.(1)求数列的通项公式；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.【答案】(1)条件选择见解析，【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合求解作答.【详解】（1）选择①：因为，则，两式相减得，即，而，，则，因此数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.选择②：因为，则，于是当时，，即，由，得，即有，因此，，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，所以.选择③：因为，又，则，即，显然，于是，即是以1为首项，1为公差的等差数列，从而，即，因此，而满足上式，所以.4．（2023·江西南昌·三模）已知是数列的前项和，满足，且.(1)求；【答案】(1)【分析】（1）利用化简式子得到，利用累加法即可求解；【详解】（1）因为，显然，所以，即，所以，所以，又当时，也满足，所以.题型三：法：角度3：已知等式中左侧含有：1．（2024·河北沧州·一模）在数列中，已知．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据数列的前项和求数列的通项公式，一定要分和讨论.【详解】（1）当时，；当时，，所以，.当时，上式亦成立，所以：.2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列满足．(1)求的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）由已知求得数列首项，再根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；【详解】（1）当时，由，得，当时，，则，也适合该式，故；3．（2024·浙江温州·二模）数列满足：是等比数列，，且．(1)求；【答案】(1)，【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，【详解】（1），又，，解得：因为是等比数列，所以的公比，又当时，，作差得：将代入，化简：，得：是公差的等差数列，4．（2024·广西柳州·三模）已知数列满足：，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据的关系，作差即可求解，【详解】（1）当时，由，得当时，两式相减，得当时，综上可知，5．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）作差法，计算得到，验证是否成立，进而得到数列的通项公式；【详解】（1）因为，①当时，，②①②得，即．当时，也符合上式，所以．题型四：法：角度1：已知和的关系1．（2023·全国·模拟预测）已知是等比数列，其前项之积，(1)求的通项公式，并求的解集；【答案】(1)，，【分析】（1）分和两种情况，结合题意分析求的通项公式，代入运算求解即可；【详解】（1）当时，；当时，．当时，也符合上式，综上，，．令，即，整理得，解得或4，所以的解集为．2．（2023·四川·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;【答案】(1),【分析】（1）对于数列,根据,利用和的关系求解;对于数列,因为其前项积,根据即可求解;【详解】（1）当时,,∴,当时,,化简得,∵,∴,∴数列是首项为,公差为的等差数列,∴.当时,,当时,，当时也满足，所以.3．（2023·浙江·模拟预测）已知正项等比数列和数列，满足是和的等差中项，.(1)证明：数列是等差数列，(2)若数列的前项积满足，记，求数列的前20项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等差数列的定义法判断即可.（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20项和即可得出答案.【详解】（1）由题知，是等比数列，设其公比为，由，可得：当时，，两式相减得，，故数列是等差数列.（2）由知：当时，，又，所以，由（1）设的公差为，则，由，则，，所以.即数列的前20项和为.4．（2023·辽宁·三模）已知数列的前项的积(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）当时，，即可求出答案；【详解】（1），当时，.当时，，满足上式，.5．（2023·湖北·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.(1)求与的通项公式.【答案】(1)，【分析】（1）根据，，即可得出答案；【详解】（1）解：（1）由，当时，当时，，当时，上式也成立，所以，由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以；题型五：法：角度2：已知和的关系1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项的积记为，且满足.(1)证明：数列为等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）分类讨论与两种情况，利用递推式求得与，从而得证；【详解】（1）因为，当时，，即，易知，则，当时，，所以，即，故数列是以3为首项，2为公差的等差数列.2．（23-24高三上·福建宁德·期末）已知为数列的前项积，且.(1)证明：数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用将条件整理变形可得，即可证明数列是等差数列；【详解】（1）为数列的前项积，当时，，，等式两边同时乘以可得，即，又当时，，得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）设是数列的前项之积，并满足：.（1）求；（2）证明数列等差数列；【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）证明见解析【分析】（1）由题意结合递推关系可得，；（2）根据题意利用等差数列的定义证明即可【详解】（1）由，且，得，当时，，即，，得，当时，，即，，得（2）证明：因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以因为所以数列是以2为首项，公差为1的等差数列三、数列求通项（法、法）专项训练1．（23-24高三下·江苏苏州·开学考试）记为数列的前n项积，已知(1)证明:数列是等差数列；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据已知条件先确定，得出为等差数列，进而求出通项公式，进而求出，由定义法即可判断数列是等差数列；【详解】（1）因为，时，有，为数列的前n项积，所以，代入上式有；又由，有，所以，即，，所以，所以为首项为，公差为的等差数列，所以，，代入，解得：，，所以数列是等差数列.2．（2023·全国·模拟预测）已知数列，满足．(1)若是数列的前n项积，求的最大值；【答案】(1)【分析】（1）先根据前n项和与通项的关系求出的通项公式，表示出，结合二次函数的性质，即可得出答案；【详解】（1）当时，．当时，，解得①．因为满足①式，所以，则，所以为等比数列，公比为，所以．又因为当或时，取最大值55，所以的最大值为．3．（2023·福建南平·模拟预测）设为数列的前n项积．已知．(1)求的通项公式；【答案】(1)；【分析】（1）利用给定的递推公式，结合前n项积的意义求解作答.【详解】（1）依题意，是以1为首项，2为公差的等差数列，则，即，当时，有，两式相除得，，显然，即，因此当时，，即，所以数列的通项公式.4．（22-23高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．(1)求，；(2)求证：数列为等差数列；(3)求数列的通项公式．【答案】(1)；(2)证明见解析(3)【分析】（1）直接令中的，可得答案；（2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列；（3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合.【详解】（1）由，且，当时，，得，当时，，得；（2）对于①，当时，②，①②得，即，，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列；（3）由（2）得，，当时，，又时，，不符合，.5．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）为数列的前n项积，且．(1)证明：数列是等比数列；(2)求的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由与的关系，把已知式中换成的关系式，然后可配出等比数列的比值；（2）由（1）求得后，代入已知可得或由与的关系求解．【详解】（1）证明：由已知条件知

①,于是．

②,由①②得．

③

，又

④，由③④得，所以，令，由，得，，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列．，法1：时，，又符合上式，所以；法2：将代回得：．6．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）数列的前n项积.数列的前n项和.(1)求数列、的通项公式.【答案】(1)，，【分析】（1）利用求，利用求，注意的求法；【详解】（1）前n项积为，①n＝1时，，②时，，，符合上式，∴，，.的前n项和为，①n＝1时，，②时，，，符合上式，∴，；7．（2024·浙江宁波·二模）已知等差数列的公差为2，记数列的前