2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题05数列求和(倒序相加法、分组求和法)练习(学生版+解析)

专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1题型一：倒序相加法 1题型二：通项为型求和 3题型三：通项为型求和 5三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 7一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型题型题型一：倒序相加法1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（

）．A． B． C． D．2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（

）．A．2012 B． C．2013 D．3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是．4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为.5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；题型二：通项为型求和1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．(1)求；(2)若，数列的前项和为，证明：．题型三：通项为型求和1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.(1)求数列，的通项公式；(2)若，若表示的前n项和，求；(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．(1)求的通项公式;(2)若数列满足，求的前2n项和．3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列数列的前项和为，求．6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为.2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数列，求数列的前项和．11．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知数列，______.在①数列的前n项和为，；②数列的前n项之积为，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前n项和.12．（2024·福建莆田·二模）已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．13．（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列.(1)求的通项公式；(2)设求数列的前项和.14．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前30项的和.15．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列的前项和为，满足，数列满足，．(1)求数列、的通项公式；(2)，求数列的前项和；专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1题型一：倒序相加法 1题型二：通项为型求和 5题型三：通项为型求和 10三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练 16一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型题型题型一：倒序相加法1．（2023高一·全国·竞赛）已知，其中是上的奇函数，则数列的通项公式为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由奇函数的性质可得，从而得到，再利用倒序相加法计算可得.【详解】因为是上的奇函数，则，即，即，即，所以当，则，又，所以，所以，.故选：C．2．（2013高一·全国·竞赛）函数，则的值为（

）．A．2012 B． C．2013 D．【答案】B【分析】由题意可得，再由倒序相加法求解即可.【详解】由可得：，所以，，所以设，则两式相加可得：．故选：B.3．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学王子．他年幼时，在的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而生成．此方法也称为高斯算法．现有函数，设数列满足，若存在使不等式成立，则的取值范围是．【答案】【分析】先计算出的图象关于点中心对称，利用倒序相加求出，从而得到，结合对勾函数的单调性得到，求出的取值范围.【详解】因为，所以的图象关于点中心对称．因为，所以，两式相加得，所以．由，得，所以．令，则当时，单调递减；当时，单调递增．又，所以，所以，即的取值范围是．故答案为：【点睛】结论点睛：函数的对称性：若，则函数关于中心对称，若，则函数关于对称.4．（23-24高三下·浙江·开学考试）已知函数满足为的导函数，.若，则数列的前2023项和为.【答案】【分析】由，可得，从而得，然后利用倒序相加法从而可求解.【详解】由题意知，所以，即，又因为，所以，所以，，将两式相加可得：.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题主要是对求导后得，主要能够找到的关系，再根据倒序相加法从而可求解.5．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数.(1)求证为定值；(2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值；（2）由于，可得，即，倒序相加可得.【详解】（1）证明：由于函数，则，所以.（2）由（1）可知，，则，其中为正整数，，即，且，所以，其中为正整数，，且，，①变化前项顺序后，可得：，②①②得：，因此.题型二：通项为型求和1．（23-24高二下·安徽六安·阶段练习）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)求的前n项和为，并求满足的最小整数n．【答案】(1)(2)，11【分析】（1）根据等比数列的通向公式，结合题意建立方程组，可得答案；（2）利用分组求和公式，结合等比数列以及等差数列求和公式，可得答案.【详解】（1）设的公比为，则，因为，所以，依题意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故.显然，随着的增大而增大，，，所以满足的最小整数.2．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知数列的前n项和为，对于任意的，都有点在直线上．(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，两式相减得，可证明数列是以首项为1，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式；

（2）分别求出当为奇数和为偶数时，数列的前n项中的最大值为，最小值为，即可求出，再由分组求和法结合等比数列的前n项和公式求解即可.【详解】（1）对于任意的，都有点在直线上．即对于任意的都有，

当时，，两式相减得，即，进而得，

当时，，故，所以数列是以首项为1，公比为的等比数列，

所以.（2）当为奇数时，，且，当为偶数时，，且，因此当为大于1的奇数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，

因此当为偶数时，的前n项中的最大值为，最小值为，此时，

当时，，

因此的前20项和：.3．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列，若.(1)设的二阶差数列为，求的通项公式.(2)在（1）的条件下，设，求的前n项和为【答案】(1)(2)【分析】（1）借助定义计算即可得；（2）借助等差数列及等比数列的求和公式计算即可得.【详解】（1），则；（2），则.4．（2024·河北唐山·一模）已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．(1)求的通项公式；(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前项和公式列方程组解出公比，从而可求出通项公式；（2）由（1）得，然后用分组求和法即可求，分别计算和，即可确定的值.【详解】（1）设的公比为，则，因为，所以，依题意可得，即，整理得，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知，故显然，随着的增大而增大，，，所以满足的最大整数.5．（23-24高二下·河南平顶山·阶段练习）已知数列是等比数列，数列是等差数列，且，，．(1)求数列和的通项公式；(2)记，数列的前n项和为，求满足的最小的正整数n的值．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由题意，列出关于公差与公比的方程组，求解方程组，然后根据等差、等比数列的通项公式即可得答案；（2）由（1）可得，利用分组求和法及等比、等差数列的前n项和公式即可求解.【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由，可得，由题意，，整理得，解得或（舍去），则，所以，；（2）由（1）可得：，.因为在上单调递增，所以可得：，所以，当时，，当时，，故满足的最小的正整数n的值为.6．（23-24高二下·山东·阶段练习）已知数列为等差数列，且．(1)求；(2)若，数列的前项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前项和公式及裂项相消法即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，数列的通项公式为，即.（2）由（1）知，，，，,,.题型三：通项为型求和1．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）已知正项数列中，，点在抛物线，数列中，点在经过点，斜率的直线l上.(1)求数列，的通项公式；(2)若，若表示的前n项和，求；(3)若，问是否存在，使得成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)，(2)(3)存在，【分析】（1）将代入抛物线方程得数列是等差数列，从而得通项公式，求出直线方程后可得；（2）分类讨论，按n的奇偶分类讨论，然后利用数列的分组求和可得（3）分类讨论，按k的奇偶分类讨论即可求解；【详解】（1）将代入抛物线方程得，，所以，所以数列是等差数列，所以，又直线在经过点，斜率，所以直线方程为，因为在直线l上，所以（2）由题意得，，当n为偶数时，令,所以，所以当n为奇数时，令，所以，所以（3）由，①当k是偶数时，是奇数，，即，②当k是奇数时，是偶数，，即，（舍去），故存在唯一的符合条件.2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知为等差数列的前项和，．(1)求的通项公式;(2)若数列满足，求的前2n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）利用分组求和法和并项求和法求解即可.【详解】（1）设等差数列的为，由，得，解得，所以；（2）由（1）得，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知正项数列前n项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是等差数列，结合等差数列通项公式运算求解；（2）由（1）可得，利用分组求和以及裂项相消法运算求解.【详解】（1）因为，则，两式相减得：，整理得，且为正项数列，可知，可得，即，可知数列是以首项，公差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，当为奇数，则，可得，所以.4．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足.(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，(2)【分析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解；（2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可.【详解】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列，所以，所的.（2）由已知得，那么数列的前项和，当为偶数时，；当为奇数时，．故.5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）利用分组求和法求解即可.【详解】（1）设数列的公差为．因为，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，所以．6．（2024·全国·模拟预测）数列满足，，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据裂项求和即可求解，（2）根据并项求和即可求解.【详解】（1）由题意可知，数列是等差数列，设数列的公差为．可转化为，即，即，，即，，．（2）由题可得，，当为偶数时，；当为奇数时，．综上所述,三、专题05数列求和（倒序相加法、分组求和法）专项训练1．（2024高三·全国·专题练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为.【答案】1009【分析】根据给定的函数式，求出，再利用倒序相加法求和作答.【详解】由函数，得，令，则，两式相加得，解得，所以所求值为1009.故答案为：10092．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．【答案】【分析】计算出，，倒序相加得到答案.【详解】，，因为①，所以②，两式相加得，所以.故答案为：3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知函数满足，数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用倒序相加法可求得；（2）利用错位相减法求出，由已知条件结合参变量分离法可得出，利用对勾函数的单调性求出的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：函数满足，数列满足，则，所以，，故.（2）解：由（1）可得，则，所以，，上式下式可得，所以，，则，所以，，由可得，则，因为，因为函数在上单调递增，且，故当时，取最大值，故.因此，实数的取值范围是.4．（2024高三·全国·专题练习）设函数，设，．(1)计算的值．(2)求数列的通项公式．【答案】(1)2(2)【分析】（1）直接计算可得答案；（2）由（1）的计算结果，当时，利用倒序相加法可得答案.【详解】（1）；（2）由题知，当时，，又，两式相加得，所以，又不符合，所以.5．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）已知函数满足，若数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，（），数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，由数列的裂项相消求和可得，再由参数分离和配方法求得最值，即可得到所求的取值范围.【详解】（1）因为,由①,则②,所以可得：，故，.（2）由（1）知，，则时，，所以

.又由对一切恒成立,可得恒成立,即有对一切恒成立.当时,取得最大值，所以；故实数的取值范围是.6．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，数列的前n项和为，点均在函数的图象上，函数.(1)求数列的通项公式；(2)求的值；(3)令，求数列的前2020项和.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意可得：，由即可求解；（2）求出的表达式，由指数的运算即可求解；（3）结合（2）的结论，利用倒序相加法即可求解.【详解】（1）因为点均在函数的图象上，所以，当时，，当时，，适合上式，所以.（2）因为，所以，所以.（3）由（1）知，可得，所以，①又因为，②因为，所以①②，得，所以.7．（2024·贵州毕节·一模）已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）给式子两边同时加，化简证明即可；（2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前项公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又，则，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.8．（2024·广西贺州·一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．设是递增的等比数列，其前n项和为，且，__________．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．（注：若选择多个解答，按第一个解答计分）【答案】(1)；(2).【分析】（1）选择条件①②③，利用等比数列的通项公式及前n项和列出方程，求出首项、公比即可得解.（2）利用分组求和法，结合等差、等比数列n项和公式计算即得.【详解】（1）由是递增的等比数列，，得数列的公比，且，选择条件①，，则，即，于是，所以的通项公式是.选择条件②，，即，由，解得，所以的通项公式是.选择条件③，，则，而，解得，即有，所以的通项公式是.（2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，，所以.9．（2024高三·全国·专题练习）已知等差数列前项和为（），数列是等比数列，，，，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，设数列的前项和为，求.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为（），根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果.（2）求出，代入求出，再分组求和，利用裂项求和方法和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），由，，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）知，，因此当为奇数时，，当为偶数时，，所以.10．（2024高二下·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)若数