2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题04数列求通项(隔项等差(等比)数列)练习(学生版+解析)

专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：隔项等差数列 2题型二：隔项等比数列 3三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 4一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、典型题型题型一：隔项等差数列1．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则的值为，的值为.3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4.(1)求；4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．5．（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.已知是数列前n项和，___________.(1)求的通项公式；4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知正项数列满足，，__________.(1)求数列的通项公式：三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练1．（广东省深圳市2023届高三二模数学试题）已知数列满足，，，.(1)求数列的通项公式；2．（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；3．（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列的前项和为，，且，，（）（1）求，并证明：当时，．4．（新疆维吾尔自治区普通高考2022届高三第一次适应性检测数学（理）试题）已知数列满足，．(1)求数列的通项公式；专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：隔项等差数列 2题型二：隔项等比数列 5三、专题04数列求通项（隔项等差（等比）数列）专项训练 8一、必备秘籍1、隔项等差数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等差数列，其中：①构成以为首项的等差数列，公差为；②构成以为首项的等差数列，公差为；2、隔项等比数列已知数列，满足，则；（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；二、典型题型题型一：隔项等差数列1．（23-24高三上·湖南益阳·期末）已知是等差数列，满足：对，，则数列的通项公式＝（）A．n B．n﹣1 C．n﹣ D．n+【答案】C【分析】由得，两式相减得，可得d的值，可得答案.【详解】解：由得，两式相减得，故.故选.【点睛】本题主要考查由递推公式求等差数列的通项公式，由已知得出是解题的关键.2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，则的值为，的值为.【答案】20231【分析】由数列的递推关系式可得{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，由等差数列的通项公式和前n项和公式求解即可得到答案.【详解】将n＝1代入an＋an＋1＝2n＋1中得a2＝3－1＝2.由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝＋＝231.故答案为：20；231【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.3．（2024·广西·二模）在等差数列中，，且等差数列的公差为4.(1)求；【答案】(1)；【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；【详解】（1）设的公差为，则，，又，所以，所以，．4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足an＋an＋1＝2n，a1＝1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．【答案】an＝【详解】解：由an＋an＋1＝2n①，得n≥2时，an－1＋an＝2(n－1)②.由①－②得an＋1－an－1＝2，所以该数列奇数项和偶数项分别成公差为2的等差数列，由a1＋a2＝2，得a2＝1，∴an＝5．（四川省眉山市2024届高中第三次诊断性考试数学（文史类）试题）将①，，②，③，之一填入空格中（只填番号），并完成该题.已知是数列前n项和，___________.(1)求的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）若选①，类比作差证明数列是隔项等差数列即可；若选②，利用类比作差和阶差法可以求解；若选③，利用公式作差后因式分解，找出与的关系，再根据等差数列的定义和通项公式即可求出.（2）利用数学归纳法证明结论即可.【详解】（1）若选①：因为所以，两式相减得，所以是隔项等差数列，且，所以为奇数，为偶数，所以.若选②：，所以，两式相减得，，所以，所以.若选③：因为①，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，所以的通项公式.6．（2023届山东省潍坊市三县高三最后一次模拟考试理数）已知数列满足．（1）若，求数列的前项和；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由得．两式相减，得,分奇数、偶数两种情况，分别利用等差数列通项公式求解即可；【详解】（I）由，得，两式相减，得．所以数列是首项为，公差为4的等差数列；数列是首项为，公差为4的等差数列．由，，得．所以①当为奇数时，，．②当为偶数时，．所以题型二：隔项等比数列1．(多选）（广东省广州市白云区2023-2024学年高二上学期期中数学试题）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（

）A． B．是等比数列 C． D．【答案】ABD【分析】先由分析出数列的奇数项和偶数项均为等比数列，再逐项判断即可.【详解】解：数列中，，，所以，即因为，所以所以所以数列的奇数项和偶数项，均为以为公比的等比数列所以对A，，故A正确；对B，由分析知，是等比数列，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过对已知数列的递推公式进行变形整理，得到新的递推公式，从而得到数列的奇数项和偶数项均为等比数列.2．（北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题）已知数列中，，，，则下列结论错误的是（）A． B．C．是等比数列 D．【答案】D【分析】AB项，分别令，，求出的值验证；CD项，由可得，得，继而得到及均为等比数列，根据等比数列的通项求解.【详解】当时，，故A正确.当时，，当时，，，故B正确.C项，，，所以得，所以，是以为首项，为公比的等比数列，故C正确.D项，由C项得，又，，是以为首项，为公比的等比数列，，故D错误.故选：D3．（四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期中数学理科试题）已知正项等比数列对任意的均满足．(1)求的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据，得当时，，两式相除可求得公比，再求出首项，再根据等比数列得通项即可得解；【详解】（1）设公比为，由，得当时，，两式相除得，所以，又，则，所以（舍去），所以；4．（江苏省苏州市第十中学2023-2024学年高二数学10月阶段检测数学试题）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知正项数列满足，，__________.(1)求数列的通项公式：由，得,所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,数列是首项为6，公比为4的等比数列，,综上，数列的通项公式为.2．（湖南省九校联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；【答案】(1)【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得；【详解】（1）由①，当时，②，得，当时，，是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上可得；3．（河北省唐山市玉田县2018-2019学年高一下学期期中数学试题）已知数列的前项和为，，且，，（）（1）求，并证明：当时，．【答案】（1）；见证明；【分析】（1）取代入即可求出，要证明，只需要把换成之