2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题09利用导函数研究函数的隐零点问题练习(学生版+解析)

专题09利用导函数研究函数的隐零点问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.二、典型题型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数．(1)讨论在区间上单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围．2．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），(1)讨论函数的零点个数；(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，．(1)求函数的导数；(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．4．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.5．（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)设，，求证：当时，有且仅有两个不同的零点.6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，讨论函数零点的个数.专题09利用导函数研究函数的隐零点问题(典型题型归类训练)一、必备秘籍1、不含参函数的隐零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.2、含参函数的隐零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.3、函数零点的存在性（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.①若，则的零点不一定只有一个，可以有多个②若，那么在不一定有零点③若在有零点，则不一定必须异号(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.二、典型题型1．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数．(1)讨论在区间上单调性；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)【分析】（1）先求导函数，结合指数函数的单调性分区间讨论即可；（2）分离参数，构造新函数利用导数研究其单调性与最值结合隐零点计算即可.【详解】（1）由，在时，，若，即在区间上单调递增；若，即在区间上单调递减；若，令，令，可知在上单调递增，在上单调递减；综上所述：时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减；时，在上单调递增，在上单调递减.（2）根据题意可知恒成立，设，则，令，则定义域上单调递增，易知，即，使得，即时，，此时单调递减，时，，此时单调递增，则，所以，即2．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），(1)讨论函数的零点个数；(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解即得.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，而，由得，由得，因此函数在上递减，在递增，又当时，恒成立，，因此函数在存在唯一零点，所以函数的零点个数是1.（2）由（1）知函数存在唯一零点，且，①当时，，由得：，即，设，求导得，在上单减，则，解得；②当时，由得：，即，设，求导得，而，则，在上单增，则，解得，综上得的取值范围是.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．3．（23-24高二下·天津·期中）已知函数，，．(1)求函数的导数；(2)若对任意的，，使得成立，求a的取值范围；(3)设函数，若在区间上存在零点，求a的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)1.【分析】（1）求出函数，再结合复合函数求导法则求导即得.（2）求出函数在上的最小值，在上的最大值，再由给定恒成立建立不等式求解.（3）求出函数，由分离参数，构造函数，利用导数探讨值域即可得解.【详解】（1）函数，则，由，求导得，所以函数的导数是.（2）函数，求导得，，，则，，函数在上单调递增，于是．又，则在上也是单调递增，，由对任意的，，使成立，等价于，因此，解得，所以实数a的范围是．（3）依题意，，由，得，令，，求导得，令，，求导得，即函数在上单调递增，显然，，则存在唯一的，使得，即，即，，则当时，，当时，，函数在上单调递减，函数在单调递增，因此，当时，令，求导得，令，当时，，即函数在上递增，，函数在上递增，，于是当时，，而函数在上递减，值域为，因此当时，函数无最大值，值域为，函数在的值域为，要使在存在零点，则，所以a的最小值为1．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，①若，，总有成立，故；②若，，有成立，故；③若，，有成立，故；④若，，有，则的值域是值域的子集．4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．【答案】(1)；(2)2．【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解.【详解】（1）依题意，，故，而，故所求切线方程为，即．（2）令，故，令，，令，．①当时，，在上为减函数，即在上为减函数，又，在上有唯一的零点，设为，即．在上为增函数，在上为减函数．又，在上有且只有一个零点，在上无零点；②当时，单调递减，又，在内恰有一零点；③当时，为增函数，，单调递增，又，所以存在唯一，当时，递减；当时，递增，，在内无零点．综上所述，曲线与曲线的交点个数为2．【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.三、专项训练1．（2024·四川·模拟预测）已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，求证：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数，进行分类讨论即可求出单调性.（2）先对证明式子进行化简，再令新函数，求解函数的单调性和最小值即可.【详解】（1）函数的定义域为．因为，所以，由得或．①当时，，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；②当时，，则在上单调递增；③当时，，所以或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上，时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．（2）等价于．当时，，则当时，，即证，令，则．而，令，因为函数在区间上都是增函数，所以函数在区间上单调递增．存在，使得，即，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，所以，所以，即，所以.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，要先对证明式进行等价转化，构造新函数，在求的单调性过程中，根据零点存在定理找到的隐零点，最后再求的最小值即可证明.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且在点处的切线的斜率为．设函数的最大值为．(1)求的值；(2)求证：；(3)若不等式，求实数的最大值．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)2.【分析】（1）根据题意，求导可得，再由导数的几何意义即可得到结果；（2）根据题意，将函数最值问题转化为隐零点问题，然后求导得最值，代入计算，即可证明；（3）根据题意，令，将不等式问题转化为最值问题，结合函数的单调性以及零点存在定理，转化为零点问题，再结合（2）中的结论，再由导数的应用代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以．（2）证明：由（1）可知，，且的定义域是，所以，令，则，所以在上单调递减，即在上单调递减，且，，由零点存在定理可得，使得，即，即，且当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数的最大值在上单调递增，所以．（3）令，所以，令，则，所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，当时，，所以当时，，由零点存在定理可得，，使得，即，即即，且当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为．由（2）知，，所以，设，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以，所以的最小值．又不等式，所以，所以的最大值为2．【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数最值问题以及函数零点问题，难度较大，解答本题的关键在于将隐零点问题转化为函数的最值问题.3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)【分析】（1）当时，求得，结合的单调性和，进而求得函数的单调区间；（2）求得，设，求得，得到在上单调递增，得出存在使得，得到，转化为，设函数，利用导数求得在上单调递减，结合，求得的取值范围为，再设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当时，函数，可得，由函数在上单调递增，且，所以当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增．（2）由函数，可得，其中，当时，设，则，所以在上单调递增，且当时，，当时，，所以由零点存在定理得存在唯一的使得，即，即，且在上单调递减，在上单调递增．当时，，当时，，因此要使函数有两个不同的零点，则只需，即，设函数，则，则在上恒成立，所以在上单调递减，而，故由得，故的取值范围为，而，设函数，则，所以在上单调递增，故的值域为，所以，故，所以实数的取值范围为．【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型①，构造函数或；②，构造函数或；③，构造函数或.4．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据定义域可化简函数，构造新函数，即求的解集即可，而，所以解集为．（2）引入隐零点x0，利用导数得到在上单调递减，在上单调递增，最后得到的范围.【详解】（1）的定义域为∴当时，，令，．当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，则不等式的解集为．（2）当时，，令，恒成立，则在上单调递增，又，，存在唯一的使，且，所以当时，，由，则在上单调递减，当时，，由，（分开考虑导函数符号）当时，在上单调递增，则，所以当时，，所以在上单调递增，所以，由题意则，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，此时，即，综上所述，实数的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是构造新的函数，并利用隐零点法求解的范围..5．（23-24高三下·北京·开学考试）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)设，，求证：当时，有且仅有两个恒成立，在上没有零点.综上所述，在只有两个零点.【点睛】思路点睛：考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系，利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数，利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题，考查数形结合思想的应用．6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知函数.(1)当时，求在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(3)当时，讨论函数零点的个数.【答案】(1)(2)(3)有且仅有个零点【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；（3）首先可得与是的两个零点，再利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.【详解】（1）当时，，所以，，