2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题练习(学生版+解析)

专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：定义法求轨迹方程 2题型二：直接法 3题型三：代入法（相关点法） 4题型四：点差法 5三、专项训练 6一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.二、典型题型题型一：定义法求轨迹方程1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．题型二：直接法1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点的坐标分别为，直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则.5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为.题型三：代入法（相关点法）1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为A． B．C． D．2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆

的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为.4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为.5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．(1)求动点C的轨迹方程C；4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．三、专项训练1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C．或 D．或5．（23-24高二上·河南·期中）已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直线交抛物线：于轴异侧两点，，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）8．（23-24高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆的方程为，若抛物线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，，，第三个顶点C在曲线上移动，则的重心的轨迹方程是．10．（23-24高二上·上海·期末）已知椭圆上有一点，是轴上的定点，若有一点满足，则的轨迹方程为．11．（23-24高二·全国·课后作业）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程．12．（23-24高二上·全国·课后作业）设圆的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是.专题01圆锥曲线中的轨迹方程问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：定义法求轨迹方程 2题型二：直接法 5题型三：代入法（相关点法） 8题型四：点差法 14三、专项训练 18一、必备秘籍1、曲线方程的定义一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：①曲线上的点的坐标都是方程的解；②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．2、求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．3、求轨迹方程的方法：3.1定义法：如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。3.2直接法：如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.3代入法（相关点法）：如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。3.4点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.二、典型题型题型一：定义法求轨迹方程1．（23-24高二上·安徽芜湖·阶段练习）已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求出的轨迹方程.【详解】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，,所以，由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A2．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，即可求出的轨迹方程.【详解】设，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，,所以,由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.【详解】由圆M：，得圆心，半径，由圆N：，得圆心，半径．设圆P的半径为r，则有，．两式相减得，所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，又，所以C的方程为．故选：B．4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两圆相切，得，结合，得动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，再根据求出，可得结果.【详解】圆：的圆心，半径为，当动圆与圆相外切时，则，即当动圆与圆相内切时，因为定点在圆外，所以只能是圆内切于动圆，所以，即综上所述：，又，所以动点的轨迹是以、为焦点的双曲线，因为，，所以，，所以，所以动圆圆心P的轨迹方程是.故选：D5．（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆：相内切，且与定直线相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【详解】设动圆M的半径为r，依题意：，点M到定直线的距离为，所以动点M到定点的距离等于到定直线的距离，即M的轨迹为以F为焦点，为准线的抛物线，所以此动圆的圆心M的轨迹方程是.故选：D．6．（23-24高二上·全国·课前预习）已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，故选：A题型二：直接法1．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知，若动点P满足直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设出动点，利用条件直接建立关系，化简得出，从而得出结论.【详解】设，因为，所以，又因为直线与直线的斜率之积为，所以，整理得.故选：C.2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知点的坐标分别为，直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，分别求出直线的斜率，结合题意列出方程，整理即可得解.【详解】解：设，直线的斜率为，直线的斜率为，有直线的斜率与直线的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即点的轨迹方程为.故选：B.3．（23-24高二上·河北邯郸·期末）在平面直角坐标系中，已知定点，，直线与直线的斜率之积为-4，则动点的轨迹方程为A． B．C． D．【答案】A【详解】设动点P的坐标为（x，y），则由条件得即（x≠0）．所以动点P的轨迹C的方程为故选A．4．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则.【答案】【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.【详解】设，则，整理得到，即.因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，则为的中点，则，故，解得，故答案为：，.5．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，直线PM，PN的斜率乘积为，P点的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为.【答案】【分析】有已知条件结合斜率公式求解即可【详解】设P点坐标为，∵，∴，∴，∴，∴曲线C的方程为.故答案为：.题型三：代入法（相关点法）1．（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为A． B．C． D．【答案】A【分析】根据离心率得到双曲线方程，渐近线方程为．设，，线段的中点，根据得到轨迹方程.【详解】由已知，求得，得双曲线方程为，从而其渐近线方程为．设，，线段的中点，由已知不妨设，，从而，，由得，所以，即，则M的轨迹C的方程为．【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为【答案】【分析】相关点法求轨迹方程：设，先根据条件，求出，两点的坐标，再联立直线和求出交点，根据，两点关于对称，确定用，表示点的坐标，再由点在圆上，列方程整理即可.【详解】依题意作图，有，，设()，.过点的圆的切线的方程为，所以，.联立解得，所以点.又点，关于点对称，所以，即，又点在圆上，所以，把代入整理得，，又，所以点的轨迹方程().故答案为：().3．（23-24高二下·江西上饶·期末）已知椭圆

的左右焦点为、，点为椭圆上任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点，过点作轴的垂线，垂足为，线段的中点为，则点的轨迹方程为.【答案】【分析】先利用椭圆的几何性质得到的轨迹方程为：，再根据的坐标与的坐标关系可得的轨迹方程.【详解】如图，延长交的延长线于，连接.因为为的平分线且，故为等腰三角形且，，所以.在中，因为，所以，故的轨迹方程为：.令，则，所以即，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质以及动点的轨迹方程，注意遇到与焦点三角形有关的轨迹问题或计算问题时，要利用好椭圆的定义，另外，求动点的轨迹，注意把要求的动点的轨迹转移到已知的动点的轨迹上去.4．（23-24高二上·四川成都·期中）点M为椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的内心轨迹方程为.【答案】【分析】设的内心为，连接交轴于点，由内角平分线性质定理得到，设，再由焦半径公式及内角平分线定理得到，则，然后利用向量关系把的坐标用的坐标表示出来，代入椭圆方程求解.【详解】如图，设的内心为，连接交轴于点，连接在中是的角平分线.根据内角平分线性质定理得到.同理可得.所以，根据等比定理得：在椭圆中，所以设，则同理又，则，可得所有由，得，所以，代入椭圆方程.得，由，则.所以的内心轨迹方程为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查焦半径公式，内角平分线定理的应用，属于难题.5．（22-23高二上·广东·阶段练习）已知圆上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．(1)求动点C的轨迹方程C；【答案】(1)【分析】（1）设出点，根据已知列式得出点与点坐标的关系，即可根据点是圆上的动点，代入化简即可得出答案；【详解】（1）设，，则，则，，，，即，点是圆上的动点，，整理得，则动点C的轨迹方程C为：.6．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为，，平面内两点G，M同时满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；【答案】(1)；【分析】（1）设出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求得轨迹方程；【详解】（1）设C（x，y），G（，），M（，），因为M是△ABC的外心，所以所以M在线段AB的中垂线上，所以，因为，所以，又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，所以，所以，又，所以，化简得，所以顶点C的轨迹方程为；题型四：点差法1．（2024·贵州·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为，则的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，利用点差法可得的关系，从而可求得，即可的解.【详解】设，则，由已知有，，作差得，则，所以，解得，则的方程为.故选：D．2．（2024·四川巴中·模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设代入椭圆方程相减，利用，，，得出等量关系，即可求解.【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得，因为线段AB的中点为，所以，，所以，由，得，又因为，解得，，所以椭圆C的方程为．故选：A．3．（23-24高二上·浙江杭州·阶段练习）焦距为，并且截直线所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】设椭圆方程为，且，及交点，将两点代入椭圆方程可得，根据弦中点坐标关系可得，结合直线方程得，再由椭圆的焦距求得的值，即可得椭圆标准方程.【详解】解：设椭圆方程为，且设直线与椭圆相交的两点坐标为，由题意可知，即，所以，又在椭圆上，可得：，两式相减得，整理得：，则，所以，又直线的斜率为，所以，即，所以椭圆的焦距为，所以，则，故可得：解得，故椭圆的标准方程为：.故选：A.4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，由，利用点差法求解.【详解】解：设，则，两式相减得，即，化简得，又，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D.5．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根据，，的关系得出，设出，两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出，再根据直线过点，求出，即可得出，进而求出，得出双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线的标准方程为：，由题意知：，即①设，，的中点为，，，又，在双曲线上，则，两式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，双曲线的标准方程为：.故选：B.【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.6．（23-24高二·全国·课后作业）过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知直线不与轴重合，设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点坐标，进而可得出线段的中点的轨迹方程.【详解】抛物线的焦点为，设点、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，，由韦达定理可得，所以，，设线段的中点为，则，，则，所以，，化简可得.因此，线段的中点的轨迹方程为.故选：D.三、专项训练1．（23-24高三下·重庆·期中）长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出、、点坐标，由题意可得、两点坐标间的关系，用点的横纵坐标替换、点坐标代入计算即可得.【详解】设、，，则有，，即，，由题意可得，即，即.故选：D.2．（23-24高三下·江西·开学考试）已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设点、、，由平面向量的坐标运算可得出，由正方形的面积公式可得出，将代入等式整理可得出点的轨迹方程.【详解】设点、、，由，所以，，可得，因为正方形的面积为，即，即，整理可得，因此，动点的轨迹方程为.故选：C.3．（23-24高二上·广东佛山·期末）长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设点、、，由已知条件可得出，分析可知，为的中点，可得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程.【详解】设点、、，则，可得，因为点关于点的对称点为，则为的中点，所以，，可得，将代入可得，即，因此，点的轨迹方程为.故选：C.4．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）平面上动点到定点的距离比点到轴的距离大，则动点的轨迹方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】设点，可得出，分、两种情况讨论，化简可得出点的轨迹方程.【详解】设点，因为平面上动点到定点的