华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题06公式法解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

专题06公式法解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的解法——公式法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 3【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 7【考点五一元二次方程根与系数的关系】 10【考点六利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一一元二次方程的解法——公式法】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【变式训练】1.（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．2.（2023春·八年级单元测试）解方程(1)；(2)．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A． B． C． D．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法判断3.（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【变式训练】1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．2.（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．【变式训练】1.（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．2.（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【考点五一元二次方程根与系数的关系】例题：（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．3.（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【考点六利用一元二次方程根与系数的关系求参数】例题：（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．【变式训练】1.（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．2.（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【过关检测】一、选择题1．（2023·甘肃陇南·统考一模）用公式法解方程时，Δ＝（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A． B． C． D．3．（2023春·广东广州·八年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C．1 D．74．（2023·全国·九年级专题练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A． B． C． D．5．（2023春·湖南郴州·八年级校考期末）已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（

）A． B．且 C． D．且二、填空题6．（2023·上海浦东新·校考三模）一元二次方程根的情况是．7．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．8．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．9．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）若一元二次方程的两根分别为，则．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．三、解答题11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．12．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．13．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．14．（2023·上海·八年级假期作业）写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．15．（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)当时，判断方程根的情况；(2)当时，求方程的根．16．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．17．（2023·全国·九年级假期作业）已知，关于的一元二次方程，(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．18．（2023春·江苏南京·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是等腰三角形时，求k的值．19．（2023·全国·九年级假期作业）关于的一元二次方程有两个实数根．(1)求的取值范围；(2)若的两条直角边的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长．20．（2023春·湖南郴州·八年级校考期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根．(1)试求的取值范围；(2)若，求的值；(3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．

专题06公式法解一元二次方程、根的判别式、根与系数的关系压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的解法——公式法】 1【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】 3【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】 6【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】 7【考点五一元二次方程根与系数的关系】 10【考点六利用一元二次方程根与系数的关系求参数】 11【过关检测】 14【典型例题】【考点一一元二次方程的解法——公式法】例题：（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】运用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，，原方程的解为：，；（2）解：，，，，，原方程的解为：，．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．【变式训练】1.（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）运用公式法求解即可；（2）运用公式法求解即可．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）解：，，，，，，．【点睛】本题考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键．2.（2023春·八年级单元测试）解方程(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用公式法求解即可．【详解】（1）∵，∴∴，，，∴∴方程有两个不相等的实数根即，．（2）∵，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，即，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【考点二根据判别式判断一元二次方程根的情况】例题：（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）一元二次方程的根的情况是（

）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】A【分析】由一元二次方程根的判别式：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程有无的实数根；据此对方程进行判断即可．【详解】解：由题意得，，，，原方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式确定方程根的个数问题，掌握根的判别式的意义是解题的关键．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．【详解】解：A．，∵，，，∴，∴方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；B．，∵，，，∴，∴方程没有实数根，选项B不符合题意；C．，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；D．，∵，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根；是解本题的关键．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）方程根的情况是（

）A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根C．方程没有实数根 D．无法判断【答案】C【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【详解】解：∵，∴∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．3.（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解【答案】D【分析】直接利用一元二次方程根的判别式分析求出即可．【详解】解：A、当时，方程为，解得，故当时，方程有一个实数根，故A不符合题意；B、当时，关于的方程为一元二次方程，，当时，方程有相等的实数根，故B不符合题意，CD、当时，关于的方程为为一元二次方程，，当时，方程有两个相等的实数根，故C不符合题意，D符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，正确把握其定义是解题关键．【考点三根据一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·安徽宿州·校考一模）若关于的方程有实数根，则的取值范围为________．【答案】【分析】分当时和当两种情况讨论求解即可．【详解】解：当，即时，此时关于的方程为，解得，方程有实数根；当，即时，此时关于的方程若有实数根，则有，解得．综上所述，当时，关于的方程有实数根．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元二次方程的根的判别式，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．【变式训练】1.（2023·安徽蚌埠·校联考二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．【答案】3【分析】一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键．2.（2023·四川攀枝花·统考二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．【答案】且，【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有2个不相等的实数根，∴，∴且，故答案为：且，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．【考点四根据判别式与一元二次方程根的情况求参数】例题：（2023·北京昌平·统考二模）关于的一元二次方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于0，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先求出判别式，利用配方法变为完全平方式即可，（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，让其一根小于0，求出范围即可．【详解】（1）解：，，，方程总有两个实数根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．【变式训练】1.（2023春·浙江衢州·八年级校考阶段练习）已知关于x的方程．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程根的判别式的值为5，求m的值及方程的根．【答案】(1)见解析(2)或3，当时，方程的解为；当时，方程的解为；【分析】（1）先得出一元二次方程根的判别式，再证明判别式大于0即可解答；（2）令判别式等于5求得或3，然后分和两种情况，分别代入方程求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∴不论m为何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：令，则，解得：或3当时，原方程可化为：∴∴；当时，原方程可化为：∴∴；综上，当时，方程的解为；当时，方程的解为．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．2.（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【答案】(1)有两个实数根，见解析(2)5【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可进行解答；（2）根据矩形对角线相等的性质可得，则该方程有两个相等的实数根，即可求出m的值，最后将m的值代入原方程，即可求解．【详解】（1）解：这个一元二次方程一定有两个实数根理由：，∵，∴，∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：∵a，b是矩形两条对角线的长，∴，∵该一元二次方程的两根为a，b，∴有两个相等的实数根，∴，解得，∴这个一元二次方程为，解得．∴这个矩形对角线的长是5．【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．【考点五一元二次方程根与系数的关系】例题：（2023·四川泸州·统考一模）已知是一元二次方程的两根，则的值是______．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以得到，的值，即可求得．【详解】∵，是一元二次方程的两个实数根∴，则原式故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握韦达定理是解题的关键．【变式训练】1.（2023·全国·九年级假期作业）若、为的两根，则的值为______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【详解】解：α，β是方程的两个实数根，可得，∴．∴的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，．2.（2023春·安徽淮北·八年级淮北一中校联考阶段练习）已知a，b满足，，且，则的值为___．【答案】7【分析】根据题意得出a、b是关于x的方程的两个实数根，故，，把所求式子变形再整体代入可算得答案．【详解】解：∵a，b满足，，且，∴a、b是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．3.（2023春·全国·八年级专题练习）已知，是方程的两根，则的值为__________．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，即，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵是方程的根∴∴∴∵，是方程的两根∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次工程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．【考点六利用一元二次方程根与系数的关系求参数】例题：（2023·湖北襄阳·统考二模）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．(1)求实数的取值范围；(2)当时，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）根据根与系数的关系得到，进而得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，∴，解得；（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．【变式训练】1.（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根，且，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用根的判别式判断即可；（2）利用根与系数的关系式得到，代入计算即可．【详解】（1）证明：∵∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出：，由得：解得：．【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，正确掌握根的判别式的三种情况及根与系数的关系式是解题的关键．2.（2023春·浙江·八年级期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．(1)若为正整数，求的值；(2)若满足，求的值．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论；（2）根据，，代入，解方程即可得到结论．【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，，解得：，为正整数，；（2）解：，，，，，解得：，，，．【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023·甘肃陇南·统考一模）用公式法解方程时，Δ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】Δ＝，给赋值并代入求值即可．【详解】解：，∵，∴Δ＝．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，理解一元二次方程根的判别式是解题的关键．2．（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别找出一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b、常数项c，再利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．【详解】解：A、，有两个不相等的实数根，故此选项错误；B、，有两个不相等的实数根，故此选项错误；C、，没有实数根，故此选项正确；D、，有两个相等的实数根，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握，方程有实数根，否则，无实数根．3．（2023春·广东广州·八年级统考期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（

）A． B． C．1 D．7【答案】D【分析】利用两根之和为，两根之积为，计算即可．【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，∴，，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．4．（2023·全国·九年级专题练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．【详解】解：设方程的两根分别为a，b，∴，∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴，即，∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键．5．（2023春·湖南郴州·八年级校考期末）已知关于x的方程有两个实数解，求k的取值范围（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次不等式组，然后求解即可解答．【详解】解：∵关于x的方程有两个实数解，∴且，解得：且．故选：D．【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题6．（2023·上海浦东新·校考三模）一元二次方程根的情况是．【答案】有两个不相等的实数根【分析】先求根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．7．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是．【答案】【分析】根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案．【详解】解：根据题意及求根公式，得，，，该一元二次方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键．8．（2023·贵州·统考中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是．【答案】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．9．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）若一元二次方程的两根分别为，则．【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，代入代数式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握根与系数的关系是解题关键．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．【答案】/【分析】由题意可得，然后解不等式即可．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，整理得：故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根得判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键．三、解答题11．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程无实数解【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：，，则，∴，∴；（2）解：，，则，∴此方程无实数解．【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式．12．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程无解(2)方程无解【分析】先把原方程化为一般式，然后判断的符号，如果，则用公式法求解即可，如果，则原方程无解．【详解】（1）解：化为一般式得：，∴，∴，∴原方程无解；（2）解：，化为一般式得，∴，∴，∴原方程无解．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．13．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用公式法解方程即可．【详解】（1）解：方程可化为：，∴，∴，∴，∴；（2）解：，整理得，即，∴，∴，∴，解得．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法是解题的关键．14．（2023·上海·八年级假期作业）写出下列一元二次方程（方程的根为）的两实数根的和与两实数根的积(1)，___________；___________；(2)，___________；___________．【答案】(1)3，1(2)，【分析】根据根与系数的关系即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，；故答案为：3，1；（2）解：∵，，，∴，；故答案为：，．【点睛】本题考查了根与系数的关系，要掌握根与系数的关系式：．15．（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期末）已知关于x的一元二次方程．(1)当时，判断方程根的情况；(2)当时，求方程的根．【答案】(1)方程没有实数根(2)【分析】（1）利用判别式的符号，来判断方程根的情况；（2）利用因式分解法，解一元二次方程．【详解】（1）解：当时：方程为：，，，方程没有实数根；（2）解：当时，方程为：，，解得：．【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式，以及解一元二次方程；熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及因式分解法解一元二次方程是解题的关键．16．（2023春·北京门头沟·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)③(2)计算错误(3)见解析【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误故答案为：③；（2）计算错误（负数乘以负数得负数）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤．17．（2023·全国·九年级假期作业）已知，关于的一元二次方程，(1)若，求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若，为整数，且方程有两个整数根，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）对一元二次方程，先明确其各项系数，，的值，再利用判别式证明方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个整数根，即，由求出的范围，且必须为能被开方的奇数，据此列出关系式，求解．【详解】（1）证明：对关于的一元二次方程，其中，，，则，当时，，该方程有两个不相等的实数根．（2）解：