华东师大版九年级数学上册压轴题攻略专题01二次根式与二次根式的乘法压轴题九种模型全攻略(原卷版+解析)

专题01二次根式与二次根式的乘除法压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式的识别】 1【考点二二次根式有意义的条件】 2【考点三求二次根式的值】 3【考点四利用二次根式的性质化简】 4【考点五复合二次根式的化简】 6【考点六二次根式的乘除混合运算】 10【考点七最简二次根式的判断】 11【考点八化为最简二次根式】 12【考点九已知最简二次根式求参数】 14【过关检测】 15【典型例题】【考点一二次根式的识别】例题：（2023春·福建莆田·八年级统考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．2．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【考点二二次根式有意义的条件】例题：（2023·广西河池·校联考一模）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是______．【变式训练】1．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．2．（2023·河南新乡·统考三模）代数式有意义的条件为______．【考点三求二次根式的值】例题：（2023春·浙江丽水·八年级校联考期中）当时，的值为______．【变式训练】1．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）当时，二次根式的值为______．2．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）当时，二次根式的值是________．【考点四利用二次根式的性质化简】例题：（2023春·八年级单元测试）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【变式训练】1．（2023春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期中）观察下列式子，寻找规律：①

②

③，(1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________；(2)写出第个等式，并证明该结论的正确性．2．（2023春·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）（1）已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．【考点五复合二次根式的化简】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：∵∴；请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2)【变式训练】1．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)请你尝试化简：①______；②______．(2)若，且，，为正整数，求的值．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．例1：；例2：请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且为正整数，求a的值．【考点六二次根式的乘除混合运算】例题：（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．【变式训练】1．（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)．【考点七最简二次根式的判断】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（

）A． B． C． D．2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【考点八化为最简二次根式】例题：（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）化简的结果为______．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)2．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【考点九已知最简二次根式求参数】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【变式训练】1．（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式与可以合并，则_____．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么________．【过关检测】一、选择题1．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列式子没有意义的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3．（2023·全国·八年级假期作业）计算的结果是（）A．1 B． C． D．4．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且5．（2023春·天津宝坻·七年级校考阶段练习）下列各式错误的是（

）A．B．C．D．二、填空题6．（2023·山西晋中·统考一模）计算：的结果为______．7．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若代数式有意义，则的取值范围是___________．8．（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）计算：（1）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．9．（2023·全国·八年级假期作业）二次根式中：、、、是最简二次根式的是______．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______．三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）当分别取下列值时，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．12．（2023·上海·八年级假期作业）化简以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．13．（2023·上海·八年级假期作业）求下列各式有意义的所有x的取值范围：(1)(2)(3)(4)(5)14．（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考阶段练习）计算下列各式的值：(1)(2)15．（2023·上海·八年级假期作业）计算：(1)；(2)．16．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)（，）．17．（2023·上海·八年级假期作业）计算．(1)；(2)．18．（2023春·上海·七年级统考期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化简解：首先把化为，这里，，由于，即，所以(1)填空：，(2)化简：；

专题01二次根式与二次根式的乘除法压轴题九种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一二次根式的识别】 1【考点二二次根式有意义的条件】 2【考点三求二次根式的值】 3【考点四利用二次根式的性质化简】 4【考点五复合二次根式的化简】 6【考点六二次根式的乘除混合运算】 10【考点七最简二次根式的判断】 11【考点八化为最简二次根式】 12【考点九已知最简二次根式求参数】 14【过关检测】 15【典型例题】【考点一二次根式的识别】例题：（2023春·福建莆田·八年级统考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次根式的定义判断即可；【详解】解：A、，无意义，故本选项不符合题意；B、是二次根式，故本选项符合题意；C、是三次根式，故本选项不符合题意；D、是分式，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D、是二次根式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．2．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据二次根式有意义的条件进行判断即可解答．【分析】解：∵，∴只有有意义．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，理解二次根式的有意义的条件是正确判断的关键．【考点二二次根式有意义的条件】例题：（2023·广西河池·校联考一模）如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件，得出，进而即可求解．【详解】根据题意知，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．【详解】由题意得：，解得：，故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．2．（2023·河南新乡·统考三模）代数式有意义的条件为______．【答案】且【分析】由()，分式()进行求解即可．【详解】解：由题意得，解得：且．故答案：且．【点睛】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，理解条件是解题的关键．【考点三求二次根式的值】例题：（2023春·浙江丽水·八年级校联考期中）当时，的值为______．【答案】4【分析】直接把x的值代入化简即可．【详解】解：当时，．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键．【变式训练】1．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）当时，二次根式的值为______．【答案】【分析】把代入原式化简即可．【详解】解：当时，原式，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握代入求值法是解题关键．2．（2023春·浙江温州·八年级统考期中）当时，二次根式的值是________．【答案】1【分析】把代入，再计算即可．【详解】解：当时，二次根式的值是，故答案为：1【点睛】本题考查的是求解二次根式的值，正确的运算是解本题的关键．【考点四利用二次根式的性质化简】例题：（2023春·八年级单元测试）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【答案】【分析】根据数轴上点的位置判断绝对值里式子的正负，利用绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：由图可知：，，，∴，，．∴．【点睛】本题考查二次根式和绝对值的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期中）观察下列式子，寻找规律：①

②

③，(1)根据以上规律写出第④个等式：_______________________；(2)写出第个等式，并证明该结论的正确性．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据已知等式的各部分和序号的关系可得结果；（2）根据发现的规律，归纳出第n个等式，再利用二次根式的性质和分式的运算法则化简即可证明．【详解】（1）解：第④个等式为：,故答案为：；（2）第个等式为：，证明：∵n为正整数，∴【点睛】本题考查了数字型规律，二次根式的性质，分式的加法运算，解题的关键是发现已知等式的性质，神域归纳总结．2．（2023春·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）（1）已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．【答案】；【分析】根据二次根式的性质，绝对值的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质，绝对值的性质，乘法公式，分式的混合运算法则是解题的关键．【考点五复合二次根式的化简】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简．例如：化简解：∵∴；请你仿照上面的方法，化简下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．【详解】（1）解：∵，；（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级期中）像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：；再如：．请用上述方法探索并解决下列问题：(1)请你尝试化简：①______；②______．(2)若，且，，为正整数，求的值．【答案】(1)①；②(2)46或14【分析】（1）将被开方数写成完全平方式，再化简．（2）变形已知等式，建立，，的方程组求解．【详解】（1）解：①；；②；故答案为：①；②；（2）解：，，，，均为正整数．或，或．或14．【点睛】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简．例1：；例2：请用上述方法探索并解决下列问题：(1)化简：；(2)化简：；(3)若，且为正整数，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值为或【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；（2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案；（3）将化简为，继而得到，，再根据为正整数，即可求出其值，代入即可．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又为正整数，，或者，当时，；当，，综上所述，a的值为或．【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．【考点六二次根式的乘除混合运算】例题：（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．【答案】【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】解：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·八年级专题练习）计算∶．【答案】【分析】根据二次根式的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）计算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据二次根式的乘法运算进行计算即可求解；（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；（3）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解；（4）根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解．【详解】（1）；（2）（3）；（4）．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【考点七最简二次根式的判断】例题：（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；B中，是最简二次根式，故符合要求；C中，不是最简二次根式，故不符合要求；D中，不是最简二次根式，故不符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式训练】1．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列二次根式中的最简二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．【详解】解：．的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；.是最简二次根式，故本选项符合题意；.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查了最简二次根式，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．2．（2023春·广东广州·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐项进行判断即可．【详解】解：A、是二次根式，故符合题意；B、，不是二次根式，故不符合题意；C、，不是二次根式，故不符合题意；D、，不是二次根式，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的定义是正确解答的关键．【考点八化为最简二次根式】例题：（2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习）化简的结果为______．【答案】/【分析】根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）把下列二次根式化成最简二次根式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把32写成16×2，然后化简；（2）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以2，然后化简；（3）分子分母都乘以3，然后化简．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．2．（2023·上海·八年级假期作业）将下列二次根式化成最简二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解；（4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解．【详解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键．【考点九已知最简二次根式求参数】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）若二次根式与可以合并，则的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】把a的值依次代入即可判断求解．【详解】当a=6时，=，不能与可以合并，当a=5时，=，能与可以合并，当a=4时，=，不能与可以合并，当a=2时，=，不能与可以合并，故选B．【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是熟知二次根式的化简方法．【变式训练】1．（2023·上海·八年级假期作业）两个最简二次根式与可以合并，则_____．【答案】5【分析】根据最简二次根式的定义即可解答．【详解】解：由题意得：，∴，∴，但当时，，不是最简二次根式，应舍去，∴；故答案为：5．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解二次根式的定义是解题的关键．2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么________．【答案】4【分析】根据题意得到，求出a即可求解．【详解】解：∵最简二次根式与能合并，∴，解得．故答案为：4【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是根据题意判断最简二次根式与是同类二次根式．【过关检测】一、选择题1．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）下列式子没有意义的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．【详解】解：A、被开方数是负数，该式子无意义，故本选项正确；B、被开方数是，该式子有意义，故本选项错误；C、，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误；D、，被开方数是正数，该式子有意义，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．2．（2023春·北京海淀·八年级校考期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项进行判定即可得出答案．【详解】解：A：，被开方数含有分母，所以A选项不是最简二次根式；B：，所以B选项不是最简二次根式；C：，所以C选项是最简二次根式；D：，所以D选项不是最简二次根式；故选：C．【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键．3．（2023·全国·八年级假期作业）计算的结果是（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可．【详解】解：原式．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序．4．（2023春·湖北襄阳·八年级校考阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是(

)A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：由题意得：，解得：且，故选：C．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．5．（2023春·天津宝坻·七年级校考阶段练习）下列各式错误的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据二次根式，三次根式的性质进行计算即可求解．【详解】解：选项，，故选项正确，不符合题意；选项，，故选项错误，符合题意；选项，，故选项正确，不符合题意；选项，，故选项正确，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，掌握二次根式，三次根式的性质及运算法则是解题的关键．二、填空题6．（2023·山西晋中·统考一模）计算：的结果为______．【答案】【分析】先根据二次根式的性质化简根号，再根据二次根式的乘除法法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，解题的关键是掌握运算法则进行解题．7．（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若代数式有意义，则的取值范围是___________．【答案】【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．【详解】解：代数式有意义，，故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．8．（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期中）计算：（1）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．【答案】325【分析】根据二次根式的性质和运算法则分别计算．【详解】解：，，，，故答案为：3，2，5，．【点睛】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的性质，二次根式的乘法和加法，解题的关键是掌握运算法则．9．（2023·全国·八年级假期作业）二次根式中：、、、是最简二次根式的是______．【答案】【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】解：是最简二次根式，∵，，，∴、、不是最简二次根式．故答案为：．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正确的有______．【答案】②③/③②【分析】根据已知条件，二次根式的性质，二次根式的乘除法进行计算即可求解．【详解】解：∵，则，∴①，故①错误；②，故②正确；③，故③正确，④，故④错误，故答案为：②③．【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题11．（2023春·安徽六安·八年级校联考阶段练习）当分别取下列值时，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)3(2)(3)5【分析】（1）把代入二次根式，再开方即可得出答案；（2）把代入二次根式进行计算，即可得出答案；（3）把代入二次根式，再开方即可得出答案．【详解】（1）解：把代入二次根式，得；（2）解：把代入二次根式，得；（3）解：把代入二次根式，得．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，直接将的值代入利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键．12．（2023·上海·八年级假期作业）化简以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解；（2）根据二次根式性质进行的化简即可得解；（3）根据二次根式性质进行的化简即可得解．【详解】（1）解：；（2）解：由二次根式非负性得，∴，∴；（3）解：由二次根式非负性得，又，∴，∴．【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键．13．（2023·上海·八年级假期作业）求下列各式