2025年高考数学复习解答题提优思路(新高考专用)专题10数列求和(插入新数列混合求和)练习(学生版+解析)

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 4题型三：插入新数混合 5二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 7一、典型题型题型一：插入新数列构成等差1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．题型二：插入新数列构成等比1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.题型三：插入新数混合1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足（，）.①试确定实数的值，使得数列为等差数列；②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求；(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列中，，．(1)求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列满足是方程的两根．(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为，规律是在和中间插入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，求数列的前60项的和．9．（21-22高三上·贵州黔东南·期末）已知等比数列满足，且成等差数列，记．(1)求数列的通项公式；(2)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和．10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正项数列的前项和，满足，.(1)若，求正整数的值；(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：插入新数列构成等差 1题型二：插入新数列构成等比 8题型三：插入新数混合 11二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 15一、典型题型题型一：插入新数列构成等差1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列的前项和为，且．(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析，(2)(3)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；（2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得；（3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最小值，即可得解．【详解】（1）因为①，当时，，所以．当时，②，由①－②得，即，所以，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故．（2）因为，所以，解得，所以．所以，，两式相减得，所以．（3）由于对于任意，恒成立，即恒成立，等价于的最小值大于．令，则，所以数列是递减数列，故数列中的最大值为，所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，．2．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前n项和为，．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用与的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；（2）利用等差数列的通项公式即可得解.【详解】（1）因为，当时，，所以，当时，，所以，整理得，所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为;（2）因为，由题意得：，即，所以.3．（2024·湖南·二模）已知数列的前项和为，满足；数列满足，其中.(1)求数列的通项公式；(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，成等差数列.（i）求；（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）根据的关系式可得是首项为1，公比为的等比数列，再根据可分别对的奇数项和偶数项分别求通项公式可得；（2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差，求得并利用错位相减法即可求出；（ii）求得，易知对于任意正整数均有，而，所以不是数列中的项；又，分别对其取值为时解方程可求得.【详解】（1）由①，当时，②，得，当时，，是首项为1，公比为的等比数列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得.综上可得；（2）（i）在和之间新插入个数，使成等差数列，设公差为，则，则.⑤则⑥⑤-⑥得：，所以可得（ii）由（1），又，由已知，假设是数列或中的一项，不妨设，因为，所以，而，所以不可能是数列中的项.假设是中的项，则.当时，有，即，令，当时，；当时，，由知无解.当时，有，即.所以存在使得是数列中的第3项；又对于任意正整数均有，所以时，方程均无解；综上可知，存在正整数使得是数列中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项时，关键是限定出，再对数列的取值范围进行限定可得不是数列中的项，再由只能取得正整数可知只需讨论或有无解即可求得结论.4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列的前n项和为，且，其中.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据递推关系可得，从而可得公比，故可求首项从而得到通项公式；（2）先求出的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.【详解】（1）因为，故，故，而为等比数列，故其公比为，又，故，故，故.（2）由题设可得，若数列中存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列，则，因为等差数列，故即，故，故即，这样不同矛盾，故数列中不存在不同三项，，（其中成等差数列）成等比数列.5．（2024·四川泸州·二模）已知数列的前项和．(1)求数列的通项公式；(2)在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，作差得到，从而得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出其通项公式；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）因为，，所以，所以，则，所以.题型二：插入新数列构成等比1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式；（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.【详解】（1）由题意知当时，①当时，②联立①②，解得，；所以数列的通项公式．（2）由（1）知，，所以，可得；设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，所以，即；又因为，，成等差数列，所以，所以，化简得，即；又，所以与已知矛盾；所以在数列中不存在3项，，成等比数列．2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；（2）根据等差数列的定义出，假设存在满足条件的三项、、（其中、、成等差数列），由已知可得出，根据等比数列的定义可得出，化简得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.【详解】（1）解：因为数列满足，，则当时，，且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，，故.（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，则，即，即，由已知可得，所以，，事实上，，即，矛盾，假设不成立，故不存在这样的三项、、成等比数列.3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）由，得，两式相减化简可得是以为首项，为公比的等比数列，从而可求出通项公式，（2）由题意可得，假设存在这样的三项成等比数列，则，结合已知化简可得结论.【详解】（1）由①得时②①-②得，①中令得，是以为首项，为公比的等比数列，，（2）假设存在这样的三项成等比数列，为递增数列，不妨设，则则，成等差数列，，，由，得，所以，与题设矛盾不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.4．（2023·吉林通化·模拟预测）为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；（2）先确定数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，再利用分组求和的方法即可求解.【详解】（1）当时，，解得（舍去），由得时，，两式相减得，因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，所以；（2）由于，因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，所求和为.题型三：插入新数混合1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足（，）.①试确定实数的值，使得数列为等差数列；②在①的结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个数列．设是数列的前项和，试求满足的所有正整数．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据题意，推得，再求得，得到数列为等比数列，即可求解；（2）①根据题意，求得的值，结合，求得，即可求解；（2）根据题意，得到必是数列中的某一项，求得，结合，得出，进而求得的值.【详解】（1）解：因为在数列中，，当时,，两式相减得，可得，又因为时,，可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.（2）①当时，可得，当时，得，当时,得，因为数列为等差数列，可得，可得，当时，由，可得，又由，当时，数列为等差数列；②由题意知，则当时，，不合题意，舍去；当时，，所以成立；当时，若，则，理由如下，从而必是数列中的某一项，则，又因为，所以，即，所以，因为为奇数，而为偶数，所以上式无解，即当时，，不合题意,舍去；综上所述,满足题意的正整数仅有.2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列的前项和，对任意正整数，有，且.(1)求数列的通项公式；(2)对所有正整数，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出数列的递推关系，然后由连乘法求得通项；（2）考虑到，，从而确定的前91项中有87项来自，其他4项由组成，由此分组求和．【详解】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式.故.（2）由，所以，又，所以前91项中有87项来自.所以故.3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．(1)求数列和的通项公式；(2)求；(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可；（2）利用错位相减法计算求和即可；（3）利用裂项相消法及分组法计算求和即可.【详解】（1）由已知，得，解得，；（2）记，所以，，作差得：，；（3）由（1）得，则，所以.4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的前项和，且(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式，若将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列:与之间插入项中的项，该新数列记作数列，求数列的前100项的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据递推公式求出，从而求出，再验证从而可求解.（2）分析数列前项中，各有多少项，然后再利用分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知当时，，当时，，即，所以数列为等比数列，且，当时，也满足，所以数列的通项公式为.（2）由题知，由（1）知，在数列中（含）前面共有：项，由，，解得，所以数列前项中含有数列的前项，含有数列的前项，所以.【点睛】关键点点睛：（2）问中的关键是计算出在数列中前100项中包含数列，的项数，利用分组求和法从而可求解.二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)保持数列中的各项顺序不变，在每两项与之间插入一项（其中）组成新的数列记数列的前n项和为，若，求n的最小值．【答案】(1)(2)15【分析】（1）根据等比数列求和公式化简得出公比即可求出通项公式；（2）根据题意可以先分组求和，再并项后利用错位相减法求，分析可知，只需比较与大小即可得解.【详解】（1）因为，所以，解得，所以.（2）因为所以，，所以，两式相减得：，所以，易知随着增大而增大，当时，，当时，，而综上，的最小值为.2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为．(1)求数列的通项公式；(2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用求解即可.（2）依题意可知，插入数列后，与所构成的数列为，，，，，，，，，，结合等差数列前n项和公式及错位相减法求和即可求得结果.【详解】（1）当时，，所以，当时，，即，所以，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，为等比数列，且，，．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项，构成如下的新数列；，记该数列的前n项和为，求．【答案】(1)(2)5528【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由题意列出方程组，求出的值，即可求得答案；（2）确定新数列中，项（含）之前共有项，解可确定新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，结合等差数列以及等比数列的前n项和公式，即可求得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由，，，得，解得，故；（2）由题意可知新数列中，项（含）之前共有项，令，由于，则，此时时，，即新数列的前70项中，含有中的前11项，含有中的前59项，故.4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足．(1)求数列，的通项公式；(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前50项的和．【答案】(1)，(2)11522【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；（2）分析中前50项中与各有多少项，分别求和即可．【详解】（1）由得：∵则是首项，公差为2的等差数列，∴，又当时，得，当，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．由，（）得：，∴新数列中含有数列的前9项：，，……，，含有数列的前41项：，，，……，；∴．5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列前四项和为30，且．(1)求数列的通项公式；(2)在和之间插入1个数，使、、成等差数列；在和之间插入2个数、，使、、、成等差数列；；在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列．①若，求；②若，求．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由等比数列性质列方程求得公比首项即可得解.（2）①首先得，进一步，，结合等差数列求和公式即可得；②直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.【详解】（1）设的公比为，则：，则，所以．（2）①在和之间插入个数、、、，使、、、、、成等差数列，设其公差为，此数列首项为，末项为，则，，则，②，则，，则，故：．6．（23-24高二上·广