2024-2025学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省长春二中高三（上）第二次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2x2+x−1<0}，B={y|y=lg(A.(−1,0] B.[0,12) C.(−2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10−S3A.1 B.2 C.3 D.43.“α=π4+kπ(k∈Z)”是“3A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条伴D.既不充分也不必要条件4.设α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α−β=π2 B.3α+β=π2 C.5.将函数f(x)=cos(ωx−π4)(ω>0)的图象向右平移π4ω个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数y=g(x)在区间[0,A.13 B.23 C.1 6.已知a>1，b>0，若a+log2A.a>2b B.a<2b C.a>b2 7.已知集合A={−12,−13,12,13,2,3}，若a，b，c∈A且互不相等，则使得指数函数y=A.16 B.24 C.32 D.488.现定义如下：当x∈(n,n+1)时(n∈N)，若f(x+1)=f′(x)，则称f(x)为延展函数.现有，当x∈(0,1)时，g(x)=ex与ℎ(x)=x10均为延展函数，则以下结论(

)

(1)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)与y=g(x)有无穷个交点

(2)存在y=kx+b(k,b∈R；k，b≠0)与A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=3sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)A.φ=−π6B.f(x−C.f(x)在[π4,π2]上单调递增D.10.若正数a，b满足a+b=1，则(

)A.log2a+log2b≥−2 B.2a11.已知定义域均为R的函数f(x)与g(x)，其导函数分别为f′(x)与g′(x)，且g(3−x)=f(x+1)−2，g′(x+1)=f′(x−1)，函数f(x)的图象关于点M(3,0)对称，则(

)A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 B.8是函数f(x)的一个周期

C.g(5)=2 D.g(−2020)+g(−2024)=−4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知角α的终边经过点P(2,−3)，则sin(π−α)+cos(α−π)sin13.设当x=θ时，函数f(x)=sinx−2cosx取得最大值，则cosθ=

．14.已知函数f(x)=xlnx,x>0,1x−x,x<0,若函数g(x)=f(f(x))−af(x)+1有唯一零点，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)−1．

(1)求f(x)最小正周期；

(2)将函数y=f(x)的图象的横坐标缩小为原来的12，再将得到的函数图象向右平移π8个单位，最后得到函数y=g(x)，求函数g(x)的对称中心；

(3)若|g(x)−m|≤2在[0,16.(本小题15分)

已知函数f(x)=a(x+1)2−x−lnx(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当0<a≤1217.(本小题15分)

各项均不为0的数列{an}对任意正整数n满足：1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1−18.(本小题17分)

在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节.每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为α(0<α<1)，1−α；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为β(0<β<1)，1−β.假设每次信号的传输相互独立．

(1)当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为f(α)，求f(α)的最小值；

(2)当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为x1，x2，x3，x4，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量X(x1,x19.(本小题17分)

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=1x(x>0)，f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断，从几何上看，定积分ab1xdx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ab1xdx=lnb−lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP<S梯形ABQP，代入数据，进一步可以推导出不等式：a−blna−lnb>21a+1b．

(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a−blna−lnb<a+b2；

(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xlnx

参考答案1.B

2.C

3.A

4.C

5.B

6.D

7.B

8.D

9.BD

10.BCD

11.ABD

12.5

13.−214.{a|−1≤a<1或a=−515.解：(1)因为f(x)=2cosx(3sinx+cosx)−1

=23sinxcosx+2cos2x−1

=3sin2x+2⋅1+cos2x2−1

=3sin2x+cos2x=2(32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，

所以函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π；

(2)将函数y=f(x)的图象的横坐标缩小为原来的12，

可得到函数y=2sin(4x+π6)的图象，

再将y=2sin(4x+π6)的函数图象向右平移π8个单位，最后得到函数y=g(x)的图象，

则g(x)=2sin[4(x−π8)+π6]=2sin(4x−π3)，

令4x−π3=kπ，得x=kπ4+π1216.解：(1)函数f(x)=a(x+1)2−x−lnx的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=2a(x+1)−1−1x=(x+1)(2ax−1)x，

当a≤0时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)<0，可得0<x<12a，令f′(x)>0，可得x>12a，

所以f(x)在(0,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，f(x)在(0,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增．

(2)证明：由(1)可知，当0<a≤12时，f(x)在(0,12a)上单调递减，在(12a,+∞)上单调递增，

所以f(x)min=f(12a)=a(12a17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则1anan+1=1d(1an−1an+1)，

由1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=1−12an+1，

可得1d(1a1−1a2+1a2−1a3+...+118.解：(1)由题可知f(α)=α3+(1−α)3=3α2−3α+1=3(α−12)2+14，

因为0<α<1，所以当α=12时，f(α)的最小值为14；

(2)由题设知，X的可能取值为1，2，3，4，

①当X=1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010，

所以P(X=1)=23×13×23×13+13×23×13×23=881，

②当X=2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或X1234P842017期望E(X)=1×88119.解：(1)证明：在曲线y=1x取一点M(a+b2,2a+b)，

过点M(a+b2,2a+b)作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，

因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABM2M1，

所以lnb−lna>12(|AM1|+|BM2|)⋅|AB|=12⋅2⋅(b−a)，

即a−blna−lnb<a+b2;

(2)(i)证明：由题意可得，

f′(x)=2ax+lnx+b+1，

不妨设0<x1<x2，曲线y=f(x)在(x1,f(x1))处的切线l1方程：

y−f(x