2024-2025学年福建省龙岩市永定一中高三（上）质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年福建省龙岩市永定一中高三（上）质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,4}，B={x|1x≤12A.(1) B.{3,4) C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}2.函数f(x)=2xsinxex+e−x(e为自然对数的底数A. B.

C. D.3.已知p：x2−x<0，那么命题p的一个必要不充分条件是(

)A.0<x<1 B.−1<x<1 C.12<x<24.已知a=log0.23,b=(1A.c<b<a B.a<b<c C.c<a<b D.a<c<b5.已知函数f(x)=(a−1)x+2a,x<0x2−2x,x≥0有最小值，则aA.[−12,1) B.(−12,1)6.某令饮店有“桃喜芒芒”“草莓玻破”“蜜桃四季春”“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率为(

)A.2164 B.964 C.15167.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=2，AD=A.26

B.25

C.8.已知函数f(x)=ex+1,x≤1−x2+4x−1,x>1，若方程A.(0,8−213)∪(1,+∞) B.(23,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式正确的是(

)A.1a<1b B.ac210.连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则下列叙述中不正确的是(

)A.C与D互斥 B.P(D|A)=12

C.A与C相互独立 D.B与11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x，y∈R都满足f(x)−2=f(x+y)−f(y)，且f(x+1)为偶函数，则下列说法正确的是(

)A.f(0)=2 B.f(x)为奇函数 C.f(x)是周期函数 D.n=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=lnx，f(a)+f(b)=1，则a+b的最小值为______．13.设函数f(x)=ex−e−x，若不等式f(14.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)分别是函数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，AB=5，PB=BC=2，点Q为PC的中点．

(1)求证：平面ABQ⊥平面PAC；

(2)求二面角A−PC−D16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2+ax+2，a∈R．

(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1−x2的解集；

(2)若对于任意的x∈[−1,1]，不等式f(x)≤2a(x−1)+417.(本小题15分)

提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v和车流密度x满足关系式：v=50−x6,0<x≤3065−k160−x,30<x≤120(k>0).研究表明：当隧道内的车流密度x=120时造成堵塞，此时车流速度v=0．

(1)若车流速度v≥40，求车流密度x的取值范围；

(2)18.(本小题17分)

已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打．团体赛在比赛之前抽签确定主客队．主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手A、B、C，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手X、Y、Z.比赛规则如下：第一场为双打(YZ对阵BC)、第二场为单打(X对阵A)、第三场为单打(Z对阵C)、第四场为单打(Y对阵A)、第五场为单打(X对阵B).已知双打比赛中YZ获胜的概率是14，单打比赛中X、Y、Z分别对阵A、B、C时，X、Y、Z获胜的概率如表：选手ABCX211Y112Z121(1)求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；

(2)客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手Y为三单、选手Z为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由．19.(本小题17分)

已知曲线C：f(x)=sin2x+aex−x(a∈R)．

(1)若曲线C过点P(0,−1)，求曲线C在点P处的切线方程；

(2)当a=−1时，求f(x)在[0,π2]上的值域；

参考答案1.C

2.B

3.B

4.B

5.C

6.A

7.B

8.C

9.ACD

10.ABC

11.ACD

12.213.(−∞,1)

14.215.(1)证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，

∴BC⊥平面PAB，又∵AP⊂平面PAB，

∴BC⊥AP．

又∵PA⊥PB，BC∩BP=B，BC，BP⊂平面BCP，

∴AP⊥平面BCP，BQ⊂平面BCP，即AP⊥BQ．

在△BCP中，PB=BC，Q为PC的中点，

∴BQ⊥PC，

又AP∩PC=P，AP，PC⊂平面PAC，

∴BQ⊥平面PAC，

又BQ⊂平面ABQ，

∴平面ABQ⊥平面PAC．

(2)解：作PH⊥AB于点H，易知PH⊥平面ABCD，

在Rt△PAB中，PA=AB2−PB2=(5)2−22=1，

则PH=PA⋅PBAB=255，AH=PA2−PH2=12−(255)2=55．

如图以A点为原点，AD，AB所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(0,5,0)，C(2,5,0)，D(2,0,0)16.解：(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，

即1，2是关于x的方程x2+ax+2=0的两个根，

则1+2=−a=3，即a=−3，

则f(x)=x2−3x+2，由f(x)≥1−x2得x2−3x+2≥1−x2，

即2x2−3x+1≥0，得(2x−1)(x−1)≥0，解得x≥1或x≤12，

即不等式的解集为(−∞,12]⋃[1,+∞)．

(2)不等式f(x)≤2a(x−1)+4对于任意的x∈[−1,1]恒成立，

即a≤x2−2x−2对于任意的x∈[−1,1]恒成立，

令ℎ(x)=x2−2x−2，x∈[−1,1]，

则ℎ′(x)=x2−4x+2(x−2)2，

令ℎ′(x)=0，解得x=2−217.解：(1)由题意可知：当x=120时，v=0，

所以0=65−k160−120，解得k=2600，

所以v=50−x6,0<x≤3065−2600160−x,30<x≤120，

当0<x≤30时，v=50−x6≥40，解得x≤60，所以0<x≤30；

当30<x≤120时，v=65−2600160−x≥40，解得：x≤56，所以30<x≤56，

综上，车流速度v≥40，车流密度x的取值范围为(0,56]．

(2)由题意可得：y=x⋅v=5x−x26,0<x≤3065x−2600x160−x,30<x≤120，

当0<x≤30时，y=50x−x26=−16(x−150)2+3750，

由二次函数的性质可知：当x=30时，y取最大值为1350；

18.解：(1)设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”为事件A，

则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，

“主队3场全胜”的概率为(1−14)×(1−23)×(1−12)=18，

“客队3场全胜”的概率为14×23×12=112，

所以P(A)=18+112=524．

(2)能，理由如下：

设“剩余四场比赛未调整Y，Z出场顺序，客队获胜”为事件M，

第二场单打(X对阵A)，第三场单打(Z对阵C)，第四场单打(Y对阵A)，第五场单打(X对阵B)的胜负情况分别为：

胜胜胜，胜负胜胜，胜胜负胜，负胜胜胜，

则P(M)=23×12×13+23×12×19.解：(1)由题意可得f(0)=−1=a，

此时f(x)=sin2x−ex−x，

f′(x)=sin2x−ex−1，

所以切线的斜率为f′(0)=−2，

所以切线方程为y+1=−2(x−0)，即y=−2x−1．

(2)当a=−1时，f(x)=sin2x−ex−x，

则f′(x)=sin2x−ex−1，

所以f′(x)=sin2x−ex−1≤−ex<0，

所以f′(x)在[0,π2]上单调递减，

又f(0)=−1，f(π2)=1−eπ2−π2，

所以f(x)的值域为[1−eπ2−π2,−1]．

(3)g(x)=f(x)+12cos2x−a−12=aex−x−a(0<a≤1)，

令g′(x)=aex−1=0，得x=−lna，

令g′(x)>0，得x>−lna