2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高一（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市渝北区松树桥中学高一（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列关系中，正确的是(

)A.−2∈N+ B.π∉Q C.0∉N 2.“a2=b2”是“aA.充分不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设A={x|1≤x≤3}，B={x|3a≤x≤a+1}，若B⫋A，则实数a的取值范围是(

)A.a=12 B.a≥13 C.134.若a<b<0，则下列不等式一定成立的是(

)A.1a−b>1b B.a2<ab5.若1≤a≤2，−2<b≤1，则2a−b的取值范围为(

)A.4≤2a−b≤7 B.4<2a−b≤7 C.1≤2a−b≤10 D.1≤2a−b<66.定义行列式abcd=ad−bc，若7x2A.{x|−1<x<52} B.{x|−12<x<5}7.若实数x+2y=4(x>1,y>12)，则1x−1A.12 B.1 C.43 8.定义集合运算A−B={x|x∈A且x∉B}；将AΔB=(A−B)∪(B−A)称为集合A与集合B的对称差，

命题甲：A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C)；

命题乙：A∪(BΔC)=(A∪B)Δ(A∪C)．

则下列说法正确的是(

)A.甲乙都是真命题 B.只有甲是真命题 C.只有乙是真命题 D.甲乙都不是真命题二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添加m克糖(m>0)，则糖水变得更甜，对于b>a>0，m>0，下列不等式正确的是(

)A.ab<a+mb+m B.ab>10.下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(

)A.∃x∈R，x2−x+14<0 B.所有的正方形都是矩形

C.∃x∈R，x211.已知有限集A={a1,a2,⋯,an}(n≥2，n∈N)，如果A中元素aiA.集合{−1,−3,−1+3}是“完美集”

B.若a1、a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“完美集”，则a1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若不等式ax2−2x+3>0在R上恒成立，则a13.“a=14”是“对任意的正数x，均有x+a14.定义集合P={p|a≤p≤b)的“长度”是b−a，其中a，b∈R.已如集合M={x|m≤x≤m+12}，N={x|n−35≤x≤n}，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是

；若m=65，集合M∪N的“长度”大于四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设全集U=R，集合A={x|2x2+5x−3<0}，集合B={x|3−2a<x<a+1}，a∈R．

(1)当a=2时，求图中阴影部分表示的集合；

(2)若A∩B=A，求实数16.(本小题15分)

求下列不等式的解集．

(1)x2−4x−4≤0

(2)−2x17.(本小题15分)

解答下列各题．

(1)若x>3，求x+4x−3的最小值．

(2)若正数x，y满足9x+y=xy，

①求xy的最小值．

②求2x+3y18.(本小题17分)

已知一元二次不等式x2−ax+b>0．

(1)若不等式的解集为{x|x<2或x>3}，求不等式ax2−bx+1<0的解集；

(2)当b=a−1时，求不等式x2−ax+b>0的解集；

(3)19.(本小题17分)

已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n−1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(1)已知有两个集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由；

(2)对(1)中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+参考答案1.B

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.BCD

12.(113.充分不必要

14.11015.解：(1)因为A={x|2x2+5x−3<0}={x|−3<x<12}，

当a=2时，集合B={x|−1<x<3}，∁RB={x|x≥3或x≤−1}，

图中阴影部分表示的集合A∩∁RB={x|−3<x≤−1}；

(2)若A∩B=A，则A⊆B，

又A={x|−3<x<12}，B={x|3−2a<x<a+1}16.解：(1)x2−4x−4≤0，其中x2−4x−4=0的Δ=b2−4ac=32>0，

两个根分别为2−22和2+22，

所以不等式的解集为{x|2−22≤x≤2+22}；

17.解：(1)由题x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2(x−3)⋅4x−3+3=7．

当且仅当x−3=4x−3，即x=5时取等号；

(2)①由9x+y=xy结合基本不等式可得：

xy=9x+y≥29xy=6xy⇒xy(xy−6)≥0，又x，y为正数，

则xy≥6⇒xy≥36，当且仅当9x=y18.解：(1)若不等式的解集为{x|x<2或x>3}，

则x=2，x=3为x2−ax+b=0的解，

则4−2a+b=09−3a+b=0，

所以a=5，b=6，

所以不等式ax2−bx+1<0为5x2−6x+1<0，

解得，15<x<1，

所以解集为(15,1)；

(2)当b=a−1时，不等式x2−ax+a−1>0可化为(x−1)[x−(a−1)]>0，

当a=2时，不等式x2−ax+a−1>0的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；

当a>2时，不等式x2−ax+a−1>0的解集为(−∞,1)∪(a−1,+∞)；

当a<2时，不等式x2−ax+a−1>0的解集为(−∞,a−1)∪(1,+∞)；

(3)当b=1时，不等式x2−ax+bx−1>0等价于x2−ax+1>0x>1，

令f(x)=x2−ax+1，

当a2<1，即a<2时，f(x)=x2−ax+1在(1,+∞)上单调递增，又f(1)=2−a>0，

所以x2−ax+1>0x>1的解集为(1,+∞)；

当a2=1时，即a=2，f(x)=x2−ax+1在(1,+∞)19.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}⇒B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，

所以显然集合B={1,2,3,4}的最小两个元素为1，2，所以B+的最小元素为1+2=3；

对集合B={1,2,3,4}进行任意次自相加操作后，最小值在变大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，为所有偶数构成集合；

所以对C+={k|k=2n,n∈Z}再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，

故后面集合不管进行多少次相加都是与C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性质可知，对于集合B={1,2,3,4}，进行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，

得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；

所以对集合B={1,2,3,4}进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为3，4，最大的两个元素为6，7；

进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为7，8，最大的两个元素为12，13；

进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为15，16，最大的两个元素为24，25；

进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为31，32，最大的两个元素为18，49；

进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为63，64，最大的两个元素为96，97；

进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为127，128，最大的两个元素为192，193；

进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为255，256，最大的两个元素为384，385；

进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为511，512，最大的两个元素为768，769；

进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为1023，1024，最大的两个元素为1536，1537；

进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为2047，2048，最大的两个元素为3072，