2024-2025学年吉林省多校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省多校高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列集合中，不同于另外三个集合的是(

)A.{x|x=2020} B.{y|(y−2020)2=0}

C.{x=2020}2.判断下面结论正确的个数是(

)

①函数y=1x的单调递减区间是(−∞,0)∪(0,+∞)；

②对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则函数f(x)在DA.0 B.1 C.2 D.33.下列关于集合运算的结论，错误的是(

)A.∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB 4.已知集合A={x|ax2−3x+2=0,a∈R}，若集合A中至多有一个元素，则实数a的值是A.a=0 B.a≥9C.a=0或a≥98 5.定义集合A，B的一种运算：A⊗B={x|x=b2−a,a∈A,b∈B}，若A={1,4}，B={−1,2}，则A⊗B中的元素个数为A.1 B.2 C.3 D.46.映射由德国数学家戴德金在1887年提出，曾被称为“基础数学中最为美妙的灵魂”，在计算机科学、数学以及生活的方方面面都有重要的应用.例如，在新高考中，不同选考科目的原始分要利用赋分规则，映射到相应的赋分区间内，转换成对应的赋分后再计入总分.下面是某省选考科目的赋分规则：

等级原始分占比赋分区间A3%[91,100]B+79%[81,90]B16%[71,80]C+24%[61,70]C24%[51,60]D+16%[41,50]D7%[31,40]E3%[21,30]转换对应赋分T的公式：Y2−YY−Y1=T2−TT−T1

其中，Y若小华选考政治的原始分为82，对应等级A，且等级A的原始分区间为[81,87]，则小华的政治成绩对应的赋分为(

)A.91 B.92 C.93 D.947.设a，b∈R，则“1a>b>0”是“a<1bA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，且当x2>x1≥1时，恒有f(xA.(−2,0) B.(−2,23)

C.(−∞,−2)∪(二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出以下四个判断，其中正确的是(

)A.−5∈N

B.函数y=x与y=x2不是同一函数

C.若f(x)的定义域为[−2,2]，则f(2x−1)的定义域为[−12,3210.函数f(x)=|x|a+1+ax(a∈RA. B. C. D.11.已知x，y均为正实数，则(

)A.xyx2+y2的最大值为12

B.若x+y=4，则x2+y2的最大值为8

C.若2x+y=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=x+1x213.已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+2x−3，则x∈R时，f(x)=14.设函数f(x)=x2−ax+a+3，g(x)=ax−2a.若存在x0∈R，使得f(x0)<0与四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合U={x|−5≤x≤4}，M={x|−2≤x<3}，∁UN={x|−3<x≤1}.求：

(1)集合N；

(2)集合N∩(∁UM)；

(3)集合M∩N16.(本小题15分)

已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}．

(1)是否存在m的值，使得x∈B是x∈A的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．

(2)若x∈B是x∈A的充分条件，求m的取值范围．

(3)若A∩B=⌀，求m的取值范围．17.(本小题15分)

我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(m,n)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+m)−n为奇函数.若函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2−2ax+2a．

(1)求f(0)+f(2)的值；

(2)设函数g(x)=x2−x．

①证明函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称；

②若对任意x1∈(0,2)，总存在18.(本小题17分)

阅读材料：

差分和差商

古希腊的著名哲学家芝诺，曾经提出“飞矢不动”的怪论.他说箭在每一个时刻都有一个确定的位置，因而在每一时刻都没有动.既然每个时刻都没有动，他怎么能够动呢？为了驳倒这个怪论，就要抓住概念，寻根究底.讨论有没有动的问题，就要说清楚什么叫动，什么叫没有动.如果一个物体的位置在时刻u和后来的一个时刻v不同，我们就说他在时刻u和v之间动了，反过来，如果他在任意时刻t∈[u,v]有相同的位置，就说它在u到v这段时间没有动.这样，芝诺怪论的漏洞就暴露出来了.原来，动或不动都是涉及两个时刻的概念.芝诺所说“在每一个时刻都没有动”的论断是没有意义的!函数可以用来描述物体的运动或变化.研究函数，就是研究函数值随自变量变化而变化的规律.变化的情形至少要看两个自变量处的值，只看一点是看不出变化的.设函数y=f(x)在实数集S上有定义.为了研究f(x)的变化规律，需要考虑它在S中两点处的函数值的差.定义(差分和差商)称f(v)−f(u)为函数f(x)从u到v的差分，这里若无特别说明，均假定u≠v.通常记ℎ=v−u，ℎ叫做差分的步长，可正可负.差分和它的步长的比值f(v)−f(u)v−u叫做f(x)在u和v的差商.显然，当u和v位置交换时，差分变号，差商不变.随着f(x)所描述的对象不同，差商可以是平均速度，可以是割线的斜率，也可以是曲边梯形的平均高度.一般而言，当u<v时，它是f(x)在区间[u,v]上的平均变化率.显然，函数和它的差商有下列关系：某区间S上，单调递增函数的差商处处为正，反之亦然；某区间S上，单调递减函数的差商处处为负，反之亦然.可见，差商是研究函数性质的一个有用的工具.回答问题：

(1)计算一次函数f(x)=kx+c的差商．

(2)请通过计算差商研究函数f(x)=x219.(本小题17分)

已知函数f(x)=(a2−4)x2+4bx−b2(a∈R,b∈R)．

(1)问题：若关于x的方程f(x)=(a2−3)x2+(a−3+4b)x+a−b2，_____，求实数a的取值范围；

从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．

①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．

(若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分.)

(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)≤0参考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.C

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.1213.x214.(7,+∞)

15.解：(1)借助数轴可得，

∴N={x|−5≤x≤−3或1<x≤4}．

(2)∵M={x|−2≤x<3}，

∴∁UM={x|−5≤x<−2或3≤x≤4}．

N∩(∁UM)={x|−5≤x≤−3或3≤x≤4}．

(3)M∩N={x|1<x<3}，

M∪N={x|−5≤x≤−3或−2≤x≤4}16.解：(1)若存在m的值满足x∈B是x∈A的充要条件，则A=B，

得−2=m+15=2m−1，解得m=−3m=3，无解，

故不存在这样的m符合题意；

(2)若x∈B是x∈A的充分条件，则A⊆B，

当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2；

当B≠⌀时，m+1≤2m−1−2≤m+12m−1≤5，解得2≤m≤3，

综上，m≤3，即实数m的取值范围为(−∞,3]；

(3)若A∩B=⌀，

当B=⌀时，m+1>2m−1，解得m<2；

当B≠⌀即m+1≤2m−1即m≥2时，

2m−1<−2或5<m+1，解得m>4，

综上，m<2或m>4，即实数m17.解：(1)∵y=f(x+1)−1为奇函数，

∴f(x+1)−1=−f(−x+1)+1，得f(x+1)+f(1−x)=2，

则令x=1，得f(0)+(2)=2；

(2)

①证明：令t(x)=g(x+2)+1=x+22−(x+2)+1=−2x，

∵t(x)=−2x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称，

且t(−x)=2x=−t(x)，

∴t(x)为奇函数，

∴函数g(x)的图象关于点(2,−1)对称．

②g(x)=22−x−1在区间(0,2)上单调递增，∴g(x)在区间(0,2)上的值域为(0,+∞)，记f(x)在区间(0,2)上的值域为B，

由对∀x1∈(0,2)，总∃x2∈(0,2)，使得f(x1)=g(x2)成立知B⊆(0,+∞)，

(i)当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，由对称性知，f(x)在(1,2)上单调递增，∴f(x)在(0,2)上单调递增，

只需f(0)=2a≥0即可，得a≥0，∴a=0满足题意；

(ii)当0<a<1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,1)上单调递增，由对称性知，f(x)在(1,2−a)上单调递增，在(2−a,2)上单调递减，

∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,2−a)上单调递增，在(2−a,2)上单调递减，

∴B=[f(a),f(2−a)]或B=(f(2),f(0))，

当0<a<1时，f(a)=−a2+2a>0，f(2)=2−f(0)=2−2a>0，

∴0<a<1满足题意；

(iii)当a≥118.解：(1)一次函数f(x)=kx+c的定义域内任取u，v∈R，且u≠v，

∵f(v)−f(u)=kv+c−ku−c=k(v−u)，

∴差商为f(v)−f(u)v−u=kv−kuv−u=k，

一次函数f(x)=kx+c的差商处处为k；

(2)函数f(x)=x22+1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

设u<v，

计算f(x)在[u,v]的差商为f(v)−f(u)v−u=v22+1v−(u22+1u)v−u=v2−u22+u−vvuv−u=v+u2−1vu，

当u<v<0时，v+u2<0<1vu，

从而f(v)−f(u)v−u=v+u19.解：(1)方程f(x)=(a2−3)x2+(a−3+4b)x+a−b2等价于x2+(a−3)x+a=0．

若选①，原问题等价于(a−3)2−4a>03−a>0a>0，解得0<a<1，即实数a的取值范围为(0,1)．

若选②，原问题等价于(a−3)2−4a>03−a<0a>0，解得a>9，即实数a的取值范围为(9,+∞)．

若选③，原问题等价于(a−3)2−4a>0a<0，解得a<0，即实数a的取值范围为(−∞,0)．

(2)当b=1时，不等式f(x)≤0等价于(a2−4)x2+4x−1≤0．

①当a2−4=0，即a=±2时，不等式化为4x−1≤0，解得x≤14；

②当a2−4>0，即a<−2或a>2时，(a2−4)x