2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m∈R，则“m=−1”是“直线mx+(2m−1)y−2=0与直线3x+my+3=0垂直”的(

)A.充要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件2.若数列{an}满足a1=2，aA.12 B.2 C.3 D.3.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，f′(x)的部分图象如图所示，则(

)A.f(x)在区间(0,1)上单调递减

B.f(x)的一个增区间为(−1,1)

C.f(x)的一个极大值为f(−1)

D.f(x)的最大值为f(1)4.已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若A.2 B.3 C.32 5.已知点P(2,0)，点Q在圆x2+y2=1上运动，则线段PQ的中点A.(x−1)2+y2=1 B.x6.分形几何学是数学家伯努瓦⋅曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1的分形规律可得如图2的一个树形图，记图2中第n行黑圈的个数为an，白圈的个数为bn，若an=55，则A.34 B.35 C.88 D.897.三个数a=2e2,b=A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c8.已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于MA.5 B.52 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：x2A.两圆的圆心距|O1O2|=2

B.两圆有3条公切线

C.直线AB的方程为x−y+1=0

D.圆10.设等差数列{an}的前项和为Sn，公差为d，已知a3=12，SA.a6>0 B.−4<d<−3

C.Sn<0时，n的最小值为13 11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(2,t)时，|PF|=4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M(4,1)，下列结论正确的是(

)A.抛物线的方程为y2=8x

B.存在直线l，使得A、B两点关于x+y−6=0对称

C.|PM|+|PF|的最小值为6

D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与12.已知有序数对(x1,y1)满足lnx1−xA.D的最小值为255 B.D取最小值时x2的值为125

C.D的最小值为45 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在平面直角坐标系xOy中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)是直线l上不同的两点，直线l上的向量PQ以及与它平行的非零向量都称为直线14.已知椭圆x220+y2k=1(20>k>0)的焦距为8，过椭圆的一个焦点，作垂直于长轴的直线交椭圆于15.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=f′(π3)sinx+cosx，则f′(5π16.已知数列{an}满足a1=4，nan+1=2(n+1)an，则数列{an}四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=x2−lnx．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)求函数18.(本小题12分)

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an−3n+1，n∈N∗

(1)证明数列19.(本小题12分)

已知圆C的圆心在直线3x−y=0上，且经过点A(−1,3)，B(1,5)．

(1)求圆C的标准方程；

(2)过点P(2,1)的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=23，求直线l20.(本小题12分)

已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2，且1a1，1a2，1a4成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

21.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆22.(本小题12分)

已知函数f(x)=x−mlnx(m∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)=f(x参考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.C

6.A

7.D

8.C

9.CD

10.AC

11.ACD

12.BC

13.150°

14.415.1

16.n⋅2n+117.解：(1)依题意，函数f(x)=x2−lnx的定义域为(0,+∞)，

且f′(x)=2x−1x，

∴f(1)=12−ln1=1，f′(1)=2−1=1，

因此，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=x−1，即y=x；

(2)依题意，函数f(x)=x2−lnx的定义域为(0,+∞)，

且f′(x)=2x−1x，令18.(1)证明：∵an+1=4an−3n+1，n∈N∗，

∴an+1−(n+1)=4an−3n+1−(n+1)，

4an−4n=4(an−n)．19.解：(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则3(−D2)+E2=0，1+9−D+3E+F=0，1+25+D+5E+F=0，

联立解得D=−2，E=−6，F=6，

∴圆C的方程为x2+y2−2x−6y+6=0，即(x−1)2+(y−3)2=4．

(2)直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x−2=0，则24−1=23，满足|MN|=23．

直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−2)，即kx−y+1−2k=0，

圆心C(1,3)到直线20.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由(1a2)2=1a1⋅1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d)．

因为d≠0，所以d=a1=2，

所以an=2n.(4分)

(2)b1+221.解：(1)由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a=8，所以a=2，

又离心率e=ca=12，所以c=1，则b2=a2−c2=3，

所以椭圆的方程为x24+y23=1；

(2)①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y=kx，M(x,y)，N(−x,−y)，

代入椭圆方程可得：x2=123+4k2,y2=12k23+4k3，

则|MN|=(−x−x)2+(−y−y)2=2x2+y222.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−mx=x−mx，

当m≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当m>0时，由f′(x)>0得x>m，所以f(x)在(m,+∞)上单调递增；

由f′(x)<0得0<x<m，所以f(x)在(0,m)上单调递减；

故当m≤0时，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当m>0时，f(x)在(m,+∞)上单调递增，在(0,m)上单调递减；

(2)证明：