江苏省南通市如东高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

如东中学2023级高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若直线的倾斜角为，则（）.A.0B.C.D.不存在2.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（）A.B.C.D.3.已知直线：和直线：，则“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（）A.B.C.D.5.设点，若直线与线段有交点，则的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（）A.4B.8C.32D.647.已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.8.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图，给出下列三个结论：①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3②曲线C恰好经过8个整点即横､纵坐标均为整数的点③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.③D.①二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于直线.以下说法正确的有（）A.的充要条件是B.当时，C.直线一定经过点D.点到直线的距离的最大值为510.设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线､，切点分别为､，则下列说法中正确的有（）A.的取值范围为B.四边形面积的最小值为C.存在点使D.直线过定点11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（）A.若点，则B.若点，则在轴上存在点，使得C.若点，点在直线上，则的最小值是3D.若点在上，点在直线上，则的值可能是4三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.圆与圆的位置关系为___________.13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________.14.已知圆O：圆：，则下列结论正确的是___________.①无论k取何值，圆心始终在直线上；②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为；③若圆O与圆的公共弦长为，则或；④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：（1）已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程；（2）以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.16.已知直线.（1）求证：直线过定点；（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.17.已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点.、异于原点（1）求证：的面积为定值.（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程.（3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.18.已知圆过点，且与圆关于直线对称.（1）判断圆与圆的位置关系，并说明理由；（2）过点作两条相异直线分别与相交于，.①若直线和直线互相垂直，求的最大值；②若直线和直线与轴分别交于点､，且，为坐标原点，试判断直线和是否平行？请说明理由.19.某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为.（1）若，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（2）若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？如东中学2023级高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BD10.【答案】ABD11.【答案】ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】外离13.经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为___________.【答案】或14.【答案】①③④四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r，所以，则圆A方程为，过A做，由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知.当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，显然合题意，当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，由到距离为知得，代入解之可得，所以或为所求方程.（2）两圆的圆心之间的距离为.当两圆外切时，圆的半径为；当两圆内切时，圆的半径为.∴圆的方程为或.故答案为：或.16.【解】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点；（2）如图所示，结合图像可知，当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；当时，直线斜率存在，方程为，又直线不经过第二象限，则，解得；综上所述；（3）已知直线，且由题意知，令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.17.【解】（1）由题意可得圆的方程为：，化简可得，与坐标轴的交点分别为：，，为定值.（2）如图所示，，原点在线段的垂直平分线上，设线段的中点为，则，，三点共线，又的斜率，，解得，又，所以，可得圆心，圆的方程为：；（3）如图所示，由（2）可知：圆心，半径，，设点关于直线的对称点为，则中点为，且，解得，即，则，又点到圆上点的最短距离为，则的最小值为，此时直线的方程为：，点为直线与直线的交点，则，解得，即点.18.【解】（1）由题可得圆圆心为，设圆心，则，解得则圆的方程为，将点的坐标代入得，故圆的方程为，又两半径之和为，圆与圆外切.（2）方法一：令､即，为过点的两条弦，设､被圆所截得弦的中点分别为､，弦长分别为，，因为四边形是矩形，所以，即，化简得从而，时取等号，此时直线，必有一条斜率不存在）综上：､被圆所截得弦长之和的最大值为方法二：若直线与中有一条直线的斜率不存在，则，此时若直线与斜率都存在，且互为负倒数，故可设，即，，点到的距离为，同理可得点到的距离为，，，综上：､被圆所截得弦长之和的最大值为②直线和平行，理由如下：由题意知，直线和直线的斜率存在，且互为相反数，故可设，，由，得，因为的横坐标一定是该方程的解，故可得，同理，所以，，所以，直线和一定平行.19.【解】（1）解：根据题意，在中，可得，由正弦定理得：，可得，因为为锐角，所以，所以应