2024-2025学年辽宁省大连市名校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年辽宁省大连市名校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+8x+7=0，则配方正确的是(

)A.(x+4)2=9 B.(x−4)2=93.若关于x的一元二次方程kx2−6x+9=0有实数根，则k的取值范围是A.k<1 B.k≤1 C.k<1且k≠0 D.k≤1且k≠04.抛物线y=−(x+2)2−3的顶点坐标是(

)A.(−2,−3) B.(2,−3) C.(2,3) D.(−2,3)5.关于函数y=−3(x+1)2−2，下列描述错误的是A.开口向下 B.对称轴是直线x=−1

C.函数最大值是−2 D.当x>−1时，y随x的增大而增大6.反比例函数y=−1x的图象位于(

)A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、四象限 D.第二、三象限7.如图，点P是反比例函数y=kx(k≠0,x<0)图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为(

)A.18B.36

C.−18D.−368.如图，将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2.将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为(

)A.(3,−1)B.(1,−3)9.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是(

)A.∠ACD=∠B

B.∠ADC=∠ACB

C.ADAC=CD10.如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM，有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANFA.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.已知函数y=(m−2)x|m|−3是反比例函数，则m=______．12.已知点P(a+1,−a2+1)关于原点的对称点在第四象限，则a13.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则可列方程是______(方程化为一般形式)．14.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x…−10123…y…105212…则当y<5时，x的取值范围是

．15.如图，抛物线y=−13x2+13x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，点N在y轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

(1)求证：△ADF∽△DEC；

(2)若AB=8，AD=62，AF=42，求17.(本小题10分)

解方程：

(1)x2−4x−2=0；

(2)218.(本小题8分)

我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．

(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；

(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？19.(本小题8分)

小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(分)与录入文字的速度x(字/分)之间的函数关系如图．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？20.(本小题8分)

如图，一次函数y1=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=mx(m>0)的图象交于点C(1,2)，D(2,n)．

(1)分别求出两个函数的解析式；

21.(本小题8分)

如图①，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．

(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)．

22.(本小题12分)

综合与实践

问题情境：

数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片ABC，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．

问题发现

奋进小组将三角形纸片ABC进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：然后将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG.点E，C的对应点分别是点F，G，直线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合)，与边AB交于点N．

如图1小明发现，折痕DE的长很容易求出，并且MF和ME的数量关系也能证明．

如图2小红发现，在△DEC绕点D旋转的过程中，当直线GF经过点B时或直线GF/​/BC时，AM的长都可求……．

问题提出与解决

奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．

问题1：如图1，按照如上操作

(1)折痕DE的长为______；

(2)在△DEC绕点D旋转的过程中，试判断MF与ME的数量关系；并证明你的结论；

问题2：在△DEC绕点D旋转的过程中，探究下列问题：

①如图2，当直线GF经过点B时，AM的长为______；

②如图3，当直线GF/​/BC时，求AM的长；

拓展延伸：

小刚受到探究过程的启发，在△DEC绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．

问题3：在△DEC绕点D旋转的过程中，连接AF，当AF取最小值时，请直接写出△AMD的面积．23.(本小题13分)

【定义】若连接抛物线与坐标轴的三个交点形成线段，若其中一段线段与坐标轴夹角为45度，则图象称为美感抛物线.如图，抛物线y=12x2+x−4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

(1)请判断抛物线是否为美感抛物线；

(2)如图，抛物线上存在一动点D横坐标是m(−4<m<2)，过点D作直线DE⊥x轴于点E，与直线AC交于点F.当D，E，F形成的线段中，某两段线段长度相等时，求线段DF的长；

(3)若点N、点M、点P分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上(不与顶点重合)的动点，是否可以形成邻边之比为1：2的矩形CMPN，请直接写出点P参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.C

9.C

10.C

11.−2

12.a<−1

13.x214.0<x<4

15.(5,−816.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AB//CD，

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；

∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，

∴∠AFD=∠C，

∴△ADF∽△DEC；

(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB=8．

∵△ADF∽△DEC，

∴ADDE=AFDC，

即62DE=428，

∴DE=12．

∵AD/​/BC，AE⊥BC，

∴AE⊥AD．

在Rt△ADE中，∠EAD=90°，DE=12，AD=617.解：(1)x2−4x=2，

∴x2−4x+(−42)2=2+(−42)2，即x2−4x+4=6，

∴(x−2)2=6，

∴x−2=±6，18.解：(1)设该公司投递快递总件数的月增长率为x，

依题意得：20(1+x)2=33.8，

解得：x1=0.3=30%，x2=−2.3(不符合题意，舍去)．

答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%．

(2)33.8×(1+30%)=43.94(万件)，

∵43.94<45，

19.解：(1)设y=kx，

把(150,10)代入y=kx得，10=k150，

∴k=1500，

∴y与x的函数表达式为y=1500x；

(2)∵当y=35−20=15时，x=100，

∵k>0，

在第一象限内，y随x的增大而减小，

∴小明录入文字的速度至少为10020.解：(1)由y2=mx过点C(1,2)和D(2,n)可得：

2=m1n=m2，

解得：m=2n=1，

故y2=2x，D(2,1)

又由y1=kx+b过点C(1,2)和D(2,1)可得：

k+b=22k+b=1，

解得k=−1b=3，

故y1=−x+3．

(2)由21.解：(1)如图②，由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，

结合函数图象可知，顶点B

(4,4)，点O

(0,0)，

设二次函数的表达式为y=a(x−4)2+4，

将点O

(0,0)代入函数表达式，

解得：a=−14，

∴二次函数的表达式为y=−14(x−4)2+4，

即y=−14x2+2x

(0≤x≤8)；

(2)工人不会碰到头，理由如下：

∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，

由题意得：工人距O点距离为0.4+12×1.2=122.23.解：(1)抛物线y=12x2+x−4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．

∴令y=0，则0=12x2+x−4，

解得x1=−4，x2=2，

∴A(−4,0)，B(2,0)，

令x=0，则y=−4；

∴点C(0,−4)，

∴AO=OC=4，

∵∠AOC=90°，

∴∠CAO=12×(180°−90°)=45°，

∴抛物线是美感抛物线；

(2)设直线AC的表达式为y=kx+m(k≠0)，把点A(−4,0)、C(0,−4)的坐标代入得：

0=−4k+m−4=m，

解得k=−1m=−4，

∴直线AC的表达式为y=−x−4，

抛物线上存在一动点D横坐标是m(−4<m<2)，直线DE⊥x轴于点E，与直线AC交于点F，

∴点E(m,0)，点F(m,−m−4)，

∴点D(m,12m2+m−4)，

∴DF=|−m−4−12m2−m+4|=|12m2+2m|，

当点E在OA之间时，存在点F是DE的中点，

则−m−4=12(0+12m2+m−4)，

解得：m=−4(舍去)或−2，

则DF=|12m2+2m|=2；

当点E在OB之间时，

同理可得：12m2+m−4=12(0−m−4)，

解得：m=−4(舍去)或1，

则DF=|12m2+2m|=52，

综上，DF=2.5或2；

(3)可以形成邻边之比为1：2的矩形CMPN；理由如下：

若点N、点M、点P分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在