2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市兆麟中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市兆麟中学高三（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|−3≤x<4}，N={x|x2−2x−8<0}，则A.M∪N=R B.M∪N={x|−3≤x<4}

C.M∩N={x|−2≤x≤4} D.M∩N={x|−2≤x<4}2.已知i为虚数单位，复数z满足z=(1−2i)(2+i)，则z的共轭复数z−=(

)A.4−3i B.4+3i C.3+4i D.3−4i3.平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足BN=2NC，若AB=λAM+μANA.4 B.2 C.14 D.4.已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an<an+1，n∈N∗，aA.12 B.13 C.2 5.已知cos(θ+π4)=−A.4+3310 B.3+43106.设函数f(x)定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=−x2+1，则下列结论错误的是A.f(72)=−34 B.f(x+7)为奇函数

C.f(x)在(6,8)上是减函数 D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,(sinA−sinB)(b+a)=c(sinB+sinC)，则△ABC面积的最大值为A.14 B.12 C.38.设函数f(x)=cosx+cos2x，下列判断正确的是(

)A.函数f(x)的一个周期为π

B.函数f(x)的值域是[−22,2]

C.函数f(x)的图象上存在点P(x,y)，使得其到点(1,0)的距离为22

D.当二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.若a>b，c∈R，则ac2>bc2 B.若ac2>bc2，c∈R，则a>b

10.下列命题正确的有(

)A.若等差数列{an}的前n项的和为Sn，则S5，S10，S15也成等差数列

B.若{an}为等比数列，且a2a7+a3a6=4，则a1a2a3…a811.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<ω≤2,πA.f(x)的表达式可以写成f(x)=2cos(2x+5π4)

B.f(x)的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数

C.g(x)=f(x+π4)+1的对称中心(−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知i是虚数单位，复数z满足(2−i)z=6+2i，则|z|=______．13.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=π3，点F为线段BD(含端点)上一动点，点E满足DE=3EC，则14.若f(x)=x2+16(lnx四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(−1,−1)，b=(0,1)．

(1)求向量a与b的夹角θ的大小；

(2)若向量(t⋅a+b)//(a+t⋅b)，求实数t的值；

16.(本小题12分)

已知向量a=(23,sinωx)，b=(cos2ωx,2cosωx)，函数f(x)=a⋅b−3(ω>0)，f(x)相邻对称轴之间的距离为π2．

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)17.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2−3x−2lnx．

(1)求f(x)的极值；

(2)若对于任意不同的x1，x2，都有18.(本小题12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A−sinAsinBcos2B−cos2C=1．

(1)若c=3，a+b=6，求边AB上的角平分线CD长；

19.(本小题12分)

一般地，n元有序实数组(a1,a2,…,an)称为n维向量(如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，…).类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)等，如a=(a1,a2,…,an)，则|a|=a12+a22+…+an2.若存在不全为零的r个实数k1，k2，…，kr，使得k1a1+k2a2+…+krar=0，则称向量组a1，a2，…，ar参考答案1.B

2.B

3.D

4.D

5.A

6.C

7.C

8.D

9.BC

10.BCD

11.ABC

12.213.[314.5

15.解：(1)因为向量a=(−1,−1)，b=(0,1)，

所以a⋅b=0−1=−1，

所以cosθ=a⋅b|a|×|b|=−12×1=−22，

又θ∈[0,π]，

所以向量a与b的夹角θ=3π4；

(2)t⋅a+b=(−t,−t+1)，a+t⋅b=(−1,−1+t)，

因为(t⋅16.解：(1)f(x)=a⋅b−3=23cos2ωx+2sinωxcosωx−3=3(1+cos2ωx)+sin2ωx−3=2sin(2ωx+π3)，

因为f(x)相邻对称轴之间的距离为π2，

所以最小正周期T=π，

而T=2π2ω，所以ω=1，

所以f(x)=2sin(2x+π3)，

令2x+π3∈[2kπ+π2,2kπ+3π2]，k∈Z，则x∈[kπ+π12,kπ+7π12]，k∈Z，

故f(x)的单调递减区间为[kπ+π17.解：(1)因为f(x)=x2−3x−2lnx，所以f′(x)=2x−3−2x=2x2−3x−2x

令f′(x)=0，解得x=2或x=−1x(0,2)2(2,+∞)f′(x)−0+f(x)单调递减−2−2ln2单调递增因此，当x=2时，f(x)有极小值，且极小值为−2−2ln2，无极大值

(2)不妨令x1>x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2<ax1+ax2等价于f(x1)−f(x2)<ax12−ax22，

即f(x1)−ax12>f(x2)−ax22，

令函数g(x)=f(x)−ax2=(1−a)x2−3x−2lnx，

可知g(x)在(0,+∞)上单调递减，

18.解：(1)因为sin2A−sinAsinBcos2B−cos2C=1，因为cos2B=1−sin2B，cos2C=1−sin2C，

所以sin2A−sinAsinB=sin2C−sin2B，

由正弦定理得a2−ab=c2−b2，即a2+b2−c2=ab，

由余弦定理得a2+b2−c2=2abcosC，

可得cosC=12，

又因为因为C∈(0,π)，

所以C=π3；

又因为c=3，a+b=6，

由余弦定理的：c2=a2+b2−2ab×12=(a+b)2−3ab，

即(3)2=(6)2−3ab，解得ab=1，

设AB边上的角平分线CD，

S△ABC=12absinC=12aCDsinC2+12bCDsinC2=12CD(a+b)sinC2，19.解：(1)假设a，b，c线性相关，则存在不全为零的3个实数x，y，z，使得xa+ya+zc=0，

因为a=(1,1,1)，b=(−1,2,2)，c=(4,2,−1)，

则xa+ya+zc=(x−y+4z,x+2y+2z,x+2y−z)，

可得x−y+4z=0x+2y+2z=0x+2y−z=0，解得x=0y=0z=0，

故假设不成立，即a，b，c是线性无关的．

(2)①令F(x)=f(x)−g(x)=ex−ax−1，依题意，F(x)≥0对任意x∈R恒成立，

F′(x)=ex−a，

注意F(0)=0，可得F′(0)=1−a=0，解得a=1；

若a=1，则F(x)=e