2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）已知点（﹣2，1）在反比例函数的图象上（）A．2 B．﹣2 C． D．4．（4分）下列调查中，适合采用全面调查的是（）A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量5．（4分）两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：166．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°（）A．30° B．35° C．40° D．55°7．（4分）估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间8．（4分）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律（）个．A．43 B．47 C．53 D．579．（4分）如图，正方形ABCD边BC上有一点E，CB延长线上有一点F，若∠EAF＝45°，tan∠AFB＝2，则（）A． B． C． D．10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以比类推，第n个数记为an．已知a1＝x，并规定：，Sn＝a1+a2+a3+⋯+an．下列说法：①a2＝a10；②T1+T2+T3+⋯+T2024＝0；③对于任意正整数k，都有成立．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上．11．（4分）计算：＝．12．（4分）一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形的边数是．13．（4分）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为．14．（4分）为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是．15．（4分）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，过点D作BC的垂线交BC于点E，AB＝BE＝1，则DF＝．16．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为．17．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝8，AG＝．18．（4分）我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，满足2×7＝8+6，且2+8＝10，最小的“加乘数”为；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若M+N能被11整除．三、解答题：本大题8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）x（x+4y）+（x﹣2y）2；（2）．20．（10分）传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）（成绩得分用x表示，共分为四组：A．x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，84，85，87，88，90，90，93，94，95，96，100．八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，93，94．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8989.5a八年级89b91根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？21．（10分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路（1）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E．用尺规过点A作BC的垂线（不写作法，保留作图痕迹）．（2）已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，AF⊥BC于点F．求证：四边形AFCE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，①．∵CE⊥AD，AF⊥BC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，②．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即③．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵CE⊥AD，∴四边形AFCE是矩形．进一步思考，如果四边形ABCD是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线．22．（10分）某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯．（1）要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，求10月每套茶具的成本是多少元？23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝6，点P为AB上一点，AP＝x，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．24．（10分）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，在B，D之间修了一座桥．B，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米（参考数据：）（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；（2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：A﹣B﹣C﹣D，乙选择的路线为：A﹣E﹣D．请计算说明谁选择的路线较近？25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点，与x轴交于A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D．点M是y轴上的一动点，DM．当线段PD长度取得最大值时，求△PDM周长的最小值；（3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中△PDM周长取得最小值时的点M（﹣4，0），F两点（E在F的左侧），连接EM．点N为平移后的抛物线上的一动点，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．26．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC（1）如图1，若∠BAC＝α，线段AD旋转到BA延长线上，交BC、AC于E，F，求∠AFD的度数（用含α的式子表示）；（2）如图2，若∠BAC＝90°，线段AD绕点A旋转过程中，过点C作CE∥AB，连接DE，试用等式表示线段CD、AC、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若∠BAC＝90°，，连接BD，交BD延长线DE于点E．当BE取最大值时，请直接写出

2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024 B．﹣2024 C． D．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．2．（4分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、D的图形都不能找到一个点，所以不是中心对称图形；选项C的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．故选：C．3．（4分）已知点（﹣2，1）在反比例函数的图象上（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：∵点（﹣2，1）在反比例函数，∴1＝，∴k＝﹣3×1＝﹣2，故选：B．4．（4分）下列调查中，适合采用全面调查的是（）A．调查一批圆珠笔的使用寿命 B．调查全国九年级学生的睡眠情况 C．调查重庆市民坐轻轨出行的意愿 D．调查“神十八”载人飞船各零部件质量【解答】解：A、调查一批圆珠笔的使用寿命，故本选项不符合题意；B、调查全国九年级学生的睡眠情况，故本选项不符合题意；C、调查重庆市民坐轻轨出行的意愿，故本选项不符合题意；D、调查“神十八”载人飞船各零部件质量，故本选项符合题意．故选：D．5．（4分）两个相似三角形的面积比为1：4，那么这两个三角形的周长比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴它们的相似比是3：2，∴它们的周长比是1：6．故选：A．6．（4分）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°（）A．30° B．35° C．40° D．55°【解答】解：∵∠ACB＝55°，∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，∵OB＝OA，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝35°，故选：B．7．（4分）估计的值在（）A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间【解答】解：＝4，∵3.5＜6，∴7＜2＜6，∴6﹣8＜7，∴的值在6到7之间，故选：C．8．（4分）如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律（）个．A．43 B．47 C．53 D．57【解答】解：第1个图形白色正方形共8个，黑色3个，第2个图形比第1个图形白色比黑色又多了2个，即白色比黑色多（7+4）个，第5个图形比第2个图形白色比黑色又多了4个，即白色比黑色多（6+4×2）个，类推，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多[6+4（n﹣1）]个，故第n个图案中白色正方形比黑色正方形多（8n+3）个．∴第10个图案中白色正方形比黑色正方形多：4×10+2＝43（个）．故选：A．9．（4分）如图，正方形ABCD边BC上有一点E，CB延长线上有一点F，若∠EAF＝45°，tan∠AFB＝2，则（）A． B． C． D．【解答】解：作EH⊥AC于H点，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵∠EAF＝45°，即∠EAB+∠FAB＝45°，∠HAE+∠EAB＝45°，∴∠HAE＝∠BAF，∴∠AEH＝∠AFB，∴tan∠AEH＝tan∠AFB＝2，在Rt△AEH中，∵tan∠AEH＝，∴设HE＝x，AH＝2x，∴CH＝HE＝x，CE＝x，∵AC＝AH+CH＝2x+x＝6x，∴AB＝BC＝AC＝x，∴BE＝BC﹣CE＝x﹣x，在Rt△ABF中，∵tanABF＝，∴BF＝AB＝x，∴＝＝．故选：B．10．（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以比类推，第n个数记为an．已知a1＝x，并规定：，Sn＝a1+a2+a3+⋯+an．下列说法：①a2＝a10；②T1+T2+T3+⋯+T2024＝0；③对于任意正整数k，都有成立．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意可知，a1＝x，∵，∴a2＝，a3＝＝＝＝﹣，a6＝＝，a2＝＝＝＝x，a6＝，a7＝＝＝＝﹣，a7＝＝，…，∴每四个数为一个循环，∴10÷3＝2……2，故a10＝，∴a2＝a10，故①正确；由题意可知T5＝a1＝x，T2＝a8•a2＝x•＝，T4＝a1•a2•a5＝x••（﹣，T3＝a1•a2•a4•a4＝•＝6，T5＝a1•a5•a3•a4•a8＝1×x＝x，T6＝a5×a2×a3×a5×a5×a6＝，...．∴T1+T6+T3+T4＝＝＝＝＝0，由此可得an，Tn都是以4个数为一周期的数列，∵2024÷5＝506，∴T1+T2+T5+T4+...T2024＝0，故②正确；∵T2k＝1，，T4k+1＝x＝a4，∴＝＝＝．∵S4k＝a1+a5+a3+……+S4k，S7k+3＝a1+a4+a3+……+S4k+a5+a2+a3，∴S6k+3﹣S4k＝a8+a2+a3，∴＝＝＝＝＝，∴＝，故③正确，综上所述，正确的有①②③．故选：D．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．请将正确答案写在答题卡中对应的位置上．11．（4分）计算：＝1．【解答】解：原式＝2﹣1＝5．故答案为：1．12．（4分）一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形的边数是5．【解答】解：180﹣108＝72，多边形的边数是：360÷72＝5．则这个多边形是五边形．故答案为：5．13．（4分）甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外完全相同的小球，甲盒中装有1个红球、2个白球，从甲、乙两盒中各取一个球，则两球颜色相同的概率为．【解答】解：列表如下：红白白红（红，红）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，白）（白，白）共有9种等可能的结果，其中两球颜色相同的结果有4种，∴两球颜色相同的概率为．故答案为：．14．（4分）为改善农民生活质量，落实惠农政策，我国农村燃气普及率逐年上升．某地区农村2022年新开通燃气20万户，则该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是40%．【解答】解：设该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是x，由题意得：20（1+x）2＝39.6，解得：x1＝0.8＝40%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去），即该地区农村这两年新开通燃气的年平均增长率是40%，故答案为：40%．15．（4分）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，过点D作BC的垂线交BC于点E，AB＝BE＝1，则DF＝2.5．【解答】解：∵BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，∴BD＝AD＝CD＝AC，∴∠DBA＝∠A，∵DE⊥BC，∴BE＝CE，∵AB＝BE＝3，∴AB＝BE＝CE＝1，在Rt△ABC中，AB＝1，由勾股定理得：AC＝＝，∴BD＝AD＝CD＝，∵∠ACB＝90°，BD⊥DF，∴∠ABC＝∠BEF＝90°，∴∠DBA+∠DBC＝90°，∠DBC+∠EBF＝90°，∴∠DBA＝∠EBF，∴∠A＝∠EBF，在△ABC和△BEF中，，∴△ABC≌△BEF（ASA），∴AC＝BF＝√5，在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF＝＝．故答案为：2.5．16．（4分）若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程，则符合条件的所有整数a的和为﹣4．【解答】解：解不等式组，得1≤x≤2a+7，∵原不等式组少有3个整数解，∴2a+3≥3，∴a≥﹣3；解分式方程，得y＝，∵y＝1是分式方程的增根，∴≠1，∴a≠7，∴a≥﹣3且a≠2．∵原分式方程有整数解，∴a+2＝±4，±2，∴a＝﹣2，﹣4，﹣1，5，2，∵a≥﹣3且a≠4，∴a＝﹣3，﹣1，6，﹣3﹣1+5＝﹣4，∴符合条件的所有整数a的和为﹣4．故答案为：﹣6．17．（4分）如图，以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，BE与⊙O交于点D，连接CE交AB于点F、交⊙O于点G．若BH＝2，AH＝88，AG＝．【解答】解：连接OD，BC∵BH＝2，AH＝8，∴AB＝BH+AH＝10，∵AB为⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD＝5，∴OH＝OB﹣BH＝3，∵CD⊥AB，∴CH＝DH，即CD＝2DH，在Rt△OOHD中，OH＝2，由勾股定理得：DH＝＝4，∴CD＝2DH＝8；在Rt△BHC中，CH＝DH＝5，由勾股定理得：BC＝＝，∵以AB为直径的⊙O与AE相切于点A，∴AE∥AB，又∵CD⊥AB，∴CD∥AE，∴△BDH∽△BEA，∴BH：AB＝DH：EA，即2：10＝7：EA，∴AE＝20，设HF＝a，则AF＝AH﹣FH＝8﹣a，∵CD∥AE，∴△CHF∽△EAF，∴CH：EA＝HF：AF，即4：20＝a：（8﹣a），解得：a＝，∴HF＝a＝，∴BF＝BH+HF＝，AF＝3﹣a＝，在Rt△AHF中，由勾股定理得：CF＝＝＝，∵∠CBA＝CGA，∠AFB＝∠AFG，∴△AFB∽△AFG，∴CF：AF＝BC：AG，∴CF•AG＝AF•BC，即，∴AG＝．故答案为：5；．18．（4分）我们规定：若一个四位自然数各个数位均不为零，且千位与百位的积等于十位与个位的和，千位与十位的和为10，满足2×7＝8+6，且2+8＝10，最小的“加乘数”为2684；将一个“加乘数”M的千位与十位对调、百位与个位对调，得到新的数记为N，若M+N能被11整除3564．【解答】解：设是加乘数，a+c＝10，∵a+c＝10，∴c＝10﹣a，∴ab＝10﹣a+d，∴a＝，要使得最小，其次是b；当a＝1时，则有b+3＝10+d，而a，b，c，所以a＝1不符合题意；当a＝2时，则有2（b+1）＝10+d，b是正整数，而a＝5，要使得最b取最小，可得b＝4+，a＝2，a+c＝10，∴a＝2，b＝4，d＝4，∴＝2684，故答案为：2684；设M＝，则N＝，∴M+N＝+＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝1010（a+c）+101（b+d），∵a+c＝10，∴M+N＝10100+101（b+d）＝918×11+2+（2×11+2）（b+d）＝918×11+9×11（b+d）+7（b+d+1）＝11×[918+9（b+d）]+7（b+d+1），要使得M+N能被11整除，则需要满足11×[918+9（b+d）]+6（b+d+1）能被11整除，而b，∴b+d+1＝11，即b+d＝10由a+c＝10，b+d＝10，即c+d＝20﹣a﹣b，∵ab＝c+d，∴ab＝20﹣a﹣b，即a（b+4）＝20﹣b，∴a＝，a，b，c，d是互不相等且小于等于9的正整数成立，则或，当a＝6，b＝2时，d＝8＝6248为最大值；当a＝2，b＝6时，d＝4＝2684为最小值；6248﹣2684＝3564，∴满足条件的M的最大值与最小值的差为3564．故答案为：3564．三、解答题：本大题8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19．（8分）计算：（1）x（x+4y）+（x﹣2y）2；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4xy+x8﹣4xy+4y5＝2x2+8y2；（2）原式＝•＝﹣．20．（10分）传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）（成绩得分用x表示，共分为四组：A．x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100）下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，84，85，87，88，90，90，93，94，95，96，100．八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，93，94．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表年级平均数中位数众数七年级8989.5a八年级89b91根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝90，b＝90.5，m＝25；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？【解答】解：（1）根据七年级成绩可知90分的最多有3人，所以众数为a＝90，八年级A、B组的频数和为20×（20%+25%）＝9，所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，91，则其中位数b＝＝90.5，∵m%＝100%﹣20%﹣25%﹣×100%＝25%，所以m＝25；故答案为：90，90.7；（2）八年级的成绩更好，理由如下：七、八年级的平均数相同，所以八年级的更好；（3）500×+600×（1﹣20%﹣25%）＝250+330＝580（人），答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有580人．21．（10分）在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了更深入的研究，他们发现，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路（1）如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E．用尺规过点A作BC的垂线（不写作法，保留作图痕迹）．（2）已知：平行四边形ABCD中，CE⊥AD于点E，AF⊥BC于点F．求证：四边形AFCE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，①∠B＝∠D．∵CE⊥AD，AF⊥BC，∴∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，②BF＝DE．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即③CF＝AE．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵CE⊥AD，∴四边形AFCE是矩形．进一步思考，如果四边形ABCD是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线矩形．【解答】（1）解：如图，AF即为所求．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵∠AFB＝∠CED＝90°．在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．∴AF＝CE，BF＝DE．∴BC﹣BF＝AD﹣DE，即CF＝AE．∴四边形AFCE是平行四边形．又∵CE⊥AD，∴四边形AFCE是矩形．过菱形的一条对角线的两个端点分别作一组对边的垂线，与菱形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是矩形．故答案为：①∠B＝∠D；②BF＝DE；④矩形．22．（10分）某茶具生产车间有25名工人生产茶壶和茶杯，1个茶壶和6个茶杯配成一套．已知一名工人一天可以生产3个茶壶或7个茶杯．（1）要使一天生产的茶壶和茶杯正好配套，应分别安排多少名工人生产茶壶和茶杯？（2）10月一套茶具的成本比9月提高了20%，9月投入了10万元，10月投入的比9月多5000元，求10月每套茶具的成本是多少元？【解答】解：（1）设应安排x名工人生产茶壶，则安排（25﹣x）名工人生产茶杯，根据题意得：6×3x＝2（25﹣x），解得：x＝7，∴25﹣x＝25﹣7＝18．答：应安排4名工人生产茶壶，18名工人生产茶杯；（2）设9月每套茶具的成本是y元，则10月每套茶具的成本是（1+20%）y元，根据题意得：﹣＝50，解得：y＝250，经检验，y＝250是所列方程的解，∴（1+20%）y＝（1+20%）×250＝300．答：10月每套茶具的成本是300元．23．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝6，点P为AB上一点，AP＝x，Q的距离为y1，△ABC的周长与△APQ的周长之比为y2．（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质；（3）结合函数图象，请直接写出y1＞y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴，＝，∴，y2＝，∴y8＝x，∵点P为AB上一点，∴y2＝x（5＜x＜6），y2＝（0＜x＜6）；（2）图象如图所示：y3＝x的图象性质：在8＜x＜6，y2＝的图象性质：在0＜x＜6；（3）∵y2＞y2，∴x＞，∴x2＞，∴x＜﹣（舍去），∴2.7＜x＜6．24．（10分）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，在B，D之间修了一座桥．B，C在B的正南方向，且在D的南偏西60°方向，且在D的北偏西30°方向，AB＝100米（参考数据：）（1）求BD的长度（结果保留小数点后一位）；（2）甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：A﹣B﹣C﹣D，乙选择的路线为：A﹣E﹣D．请计算说明谁选择的路线较近？【解答】解：（1）作EF⊥AD于点F，如图，由已知可得，∠EAF＝45°，∠EFD＝90°，DE＝400米，∴DF＝200米，EF＝200米，∴EF＝AF＝200米，∵AB＝100米，∴BD＝AD﹣AB＝AF+DF﹣AB＝200+200﹣100＝200，即BD的长度约为446.4米；（2）由（1）知，BD＝（200+100）米，∵∠CBD＝90°，∠CDB＝30°，∴BC＝（200+）米）米，∴甲选走的路线长为：AB+BC+CD＝100+（200+）+（400+）米；由（1）知：EF＝AF＝200米，∠EAF＝90°，∴AE＝200米，∵DE＝400米，∴乙选走的路线长为：AE+DE＝（200+400）米，甲乙路线之差为：（500+100）﹣（200＝500+100﹣200＝100+100﹣200≈﹣216.6＜0，∴A选择的路线较近．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点，与x轴交于A，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于点D．点M是y轴上的一动点，DM．当线段PD长度取得最大值时，求△PDM周长的最小值；（3）将该抛物线进行平移，使得平移后的抛物线经过（2）中△PDM周长取得最小值时的点M（﹣4，0），F两点（E在F的左侧），连接EM．点N为平移后的抛物线上的一动点，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠6）经过点，对称轴是直线x＝1，∴，∴，∴抛物线的表达式为y＝﹣+x+4；（2）令y＝0，则﹣，∴x＝﹣2或5，∴A（﹣2，0），2）．令x＝0，则y＝4，∴C（6，4）．设直线BC的解析式为y＝kx+n，∴，∴，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．设P（m，+m+4），∵PD∥y轴，∴D（m，﹣m+6），∴PD＝+m+4﹣（﹣m+4）＝+2，∵＜0，∴当m＝2时，PD取得最大值，8），2），∴PD＝2，取点D关于y轴的对称点D′（﹣3，2），交y轴于点M，如图，∵点M是y轴上的一动点，∴由将军饮马模型可知此时PM+MD最小，MD＝MD′，∴PM+MD＝PM+MD′＝PD′．∵DD′＝4，PD＝4，∴PD′＝＝5，∴△PDM周长的最小值＝2+2．（3）设直线PD′的解析式为y＝cx+d，∴，∴，∴直线PD′的解析式为y＝x+3，令x＝8，则y＝3，∴M（0，7）．设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣+ex+f，∵平移后的抛物线经过（2）中△PDM周长取得最小值时的点M，且与x轴交于E（﹣4，∴，∴，∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣﹣x+3．设N（P，﹣P+3），令y＝5，则﹣﹣，∴x＝﹣8或．∴F（，0）．∵OE＝6，OM＝3，∴EM＝＝5．由（2）知：C（0，5）．∴OC＝4，∴CM＝1，OC＝OE＝8，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，EC＝4．①当点N在x轴上方时，连接EC，过点N作NK⊥EF于点K，则NK＝﹣P+3，∴EK＝OE+OK＝p+2．∵MH⊥EC，∠OCE＝45°，∴C