151分式的概念和性质（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

15.1分式的概念和性质分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.注意：（1）区别：分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）联系：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.题型1：分式的概念1.下列各式中，是分式的是（）A．−b2a B．a+b2 C．12【答案】A【解析】【解答】解：A、−b2aB、a+b2C、12D、3abπ故答案为：A.【分析】利用分式的定义：分母中含有字母的式子，可得到是分式的选项.【变式11】代数式xx+1，52x，3x3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【解答】解：xx+1，52x，3x3x，xπ，4−故答案为：B．【分析】根据分式的定义逐项判断即可。【变式12】在代数式32+x，3+x2，32+x，A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【解答】解：32+x、3+x2x的分母中含字母，是分式，3+x2、3故答案为：A．【分析】形如A/B，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式。根据分式的定义求解即可。分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.注意：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.题型2：分式有意义、无意义的条件2.使分式x−32x−1有意义的x的取值范围是()A．x≥12 B．x≤12 C．x＞12【答案】D【解析】【解答】解：由2x1≠0得x≠12故答案为：D.

【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.【变式21】分式x+1x(x−1【答案】x≠0且x≠1【解析】【解答】解：分式x+1x(解得x≠0且x≠1故答案：x≠0且x≠1．

【分析】根据分式有意义的条件可得x(x−1)【变式22】要使分式3x2+2【答案】任意实数【解析】【解答】解：∵分式3x∴x∴x为任意实数故答案为：任意实数

【分析】根据分式有意义的条件列出不等式求解即可。题型3：分式值为0的条件3.使分式x2−1A．1 B．−1 C．±1 D．不存在【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1.故答案为：A.【分析】分式值为0的条件：分子为0且分母不为0，据此解答即可.【变式31】如果分式|mA．m≠2 B．m=±2 C．m=﹣2 D．m=2【答案】D【解析】【解答】解：∵分式|m∴|m|﹣2=0，2m+4≠0，解得：m=2．故答案为：D．

【分析】根据分式的值为0的条件可得|m|﹣2=0，2m+4≠0，再求出m的值即可。当x＝2时，分式x−kx+m的值为0，则k、m必须满足的条件是【答案】k＝2且m≠－2【解析】【解答】解：由分子xk=2k=0，解得：k=2；又x+m=2+m≠0即：m≠2．故答案为k=2、m≠2．【分析】将x=2代入分式，再根据分式的值为0的条件列出xk=2k=0，x+m=2+m≠0即可得出k、m需满足的条件。【变式32】若分式2−|x|(x−1)(x−2)=0，则x=【答案】2【解析】【解答】解：∵2−|x|∴2−|x|=0，且(x−1)(x−2)≠0，∴x=±2，且x≠1，且x≠2，∴x=2．故答案为：2．

【分析】利用分式的值为0的性质可以得到2−|x|=0，且(x−1)(x−2)≠0，再求解即可。当x=时，分式x2【答案】4【解析】【解答】解：根据题意可知x2解得：x=−4.故答案为：4.【分析】根据分式等于0时，分子等于等于且分母不为0.从而列出混合组，求解即可.已知分式x+12−x，当x取a时，该分式的值为0；当x取b时，分式无意义，则ab的值等于【答案】1【解析】【解答】解：分式x+12−x当x=a时，a+12−a当a+1＝0时，解得：a＝﹣1时，该分式的值为0；当x=b时，b+12−b当2﹣b＝0时，解得：b＝2，即x＝2时分式无意义，此时b＝2，则ab＝（﹣1）2＝1．故答案为：1．

【分析】先根据分式的值为0的条件求出a的值，再根据分式无意义的条件求出b的值，最后将a、b的值代入计算即可。分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.注意：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.题型4：分式的基本性质4.下列等式中，正确的是（）A．ab=a+1C．ab=a【答案】B【解析】【解答】解：A.abB.abC.abD.0.故答案为：B．

【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可。【变式41】如果把分式中x+y2xyA．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的1C．不变 D．扩大为原来的4倍【答案】B【解析】【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得2x+2y2×2x×2y可见新分式缩小为原来的12故答案为：B．

【分析】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，然后化简求值，从而判断即可.【变式42】若把分式xyx+y的x和y都扩大3倍，那么分式xyA．扩大3倍 B．扩大9倍 C．扩大4倍 D．不变【答案】A【解析】【解答】解：把分式xyx+y3x×3y即分式的值扩大3倍．故答案为：A

【分析】根据已知列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可。分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.注意：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.题型5：约分及最简分式5.①分式−xx2A．−1x−y B．−1x+y C．【答案】A【解析】【解答】原式=−x=−1故答案为：A．

【分析】先把分母因式分解，再进行约分运算，即可得出答案.②下列分式①b8a②3x2y9xy2③a+b【答案】①③【解析】【解答】解：∵3x2y9xy∴②④⑤不是最简分式，①③不能再化简，是最简分式．故答案为：①③．

【分析】根据最简分式的的定义逐项判断即可。【变式51】约分：（1）x58x2=（2）7m2n【答案】（1）x（2）m（3）1【解析】【解答】解：（1）原式=x2⋅x（2）原式=7mm⋅m−7mn⋅(−5n)=m（3）原式=(a−b)2故答案为x38，【分析】根据分式的基本性质进行约分即可。【变式52】化简分式xy+xx2的结果是【答案】y+1【解析】【解答】解：xy+x故答案为：y+1【分析】利用分式的性质计算求解即可。化简x2−4x【答案】x−2【解析】【解答】解：x=故答案为：x−2

【分析】先利用因式分解化简分子和分母，再利用约分化简即可。化简分式x2−92x−6【答案】x+3【解析】【解答】解：x=(x+3)(x−3)=x+3故答案为：x+32【分析】先对分子分母进行因式分解再约分即可。分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.注意：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.题型6：分式的通分6.把分式1x−y，1x+y，1A．x﹣y B．x+yC．x2﹣y2 D．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）【答案】C【解析】【解答】解：分式1x−y，1x+y，则最简公分母是（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2．故答案为：C.【分析】先分解第三个分式的分母，然后根据最简公分母确定即可.【变式61】12a2b与【答案】6【解析】【解答】12a2b故答案为：6

【分析】根据最简公分母的定义求解即可。分式1x2【答案】x（x+2）（x2）【解析】【解答】解：1 则最简公分母为x（x+2）（x2），故答案为：x（x+2）（x2）．

【分析】根据最简公分母的定义求解即可。分式1x2−y【答案】x(x+y)(x−y)【解析】【解答】解：两个分式可化为：1(x+y)(x−y)，1故最简公分母：x(x+y)(x−y)，故答案为：x(x+y)(x−y)．

【分析】先将题干中分式的分母因式分解，再根据最简公分母的定义求解即可。【变式62】通分：（1）2b3a2（2）2xx2【答案】（1）解：分式：2b3a2，−∴2b3a（2）解：分式：2xx2−9，x∴2xx2−9【解析】【分析】（1）先确定最简公分母，然后通分即可；

（2）先分解两个分式的分母确定最简公分母，然后进行通分可得结果.（3）1x2−6x+9，【答案】解：因为它们的最简公分母是3(x−3)所以,1x2x1【解析】【分析】先分解三个分式的分母，然后确定最简公分母，最后通分可得结果.题型7：根据分式的正负求字母取值范围7.若分式2x−5x2A．x为任意数 B．x<52 C．x>5【答案】B【解析】【解答】解：∵分式2x−5x2+4∴2x5<0，解得x<5故答案为：B.【分析】根据分式的值为负数可得分子、分母异号，由分母为正数可得分子为负数，从而列出不等式求解可得x的范围.【变式71】若分式2x−1xA．x为任意实数 B．x<12 C．x>1【答案】C【解析】【解答】解：∵x2∴分式2x−1x2+3解得：x>1故答案为：C.【分析】先求出2x−1>0，再解不等式即可。【变式72】若分式x−1(x+1)2的值为负数，则x的取值范围是【答案】x＜1且x≠1【解析】【解答】解：∵分式x−1(x+1)∴x1＜0，x+1≠0∴x＜1且x≠1故答案为：x＜1且x≠1．

【分析】根据分式的值为负数可得x1＜0，x+1≠0即可求出x的取值范围。题型8：化简求值解方程组8.已知＝0，求的值．【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质结合分式有意义的条件得出x，y的值，进而代入求出答案．【解答】解：∵＝0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，x+3≠0，解得：x＝3，y＝1，则＝＝2．所以的值是2．【点评】此题主要考查了算术平方根的性质以及绝对值的性质，正确得出x，y的值是解题关键．【变式81】已知xyz≠0，且满足x+3y+7z＝0，3x﹣4y﹣18z＝0，求的值．【分析】根据二元一次方程组的解法即可利用z表示出x与y，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，解得：∴原式＝＝＝【点评】本题考查分式的值，解题的关键是将三元一次方程组转变为二元一次方程组，本题属于基础题型．【变式82】已知x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），试求代数式的值．【分析】根据题意可得x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，把x＝4y，x＝﹣y代入计算即可．【解答】解：∵x2﹣3xy﹣4y2＝0（y≠0），即（x﹣4y）（x+y）＝0，∴x﹣4y＝0或x+y＝0，即x＝4y或x＝﹣y，当x＝4y时，原式＝＝，当x＝﹣y时，原式＝＝2，答：代数式的值为或2．【点评】本题考查分式的值，由题意得到x＝4y或x＝﹣y是正确解答的前提．题型9：化简求值整体代入法9.已知x+y＝6，xy＝9，求的值．【分析】首先化简，然后把x+y＝6，xy＝9代入化简后的算式计算即可．【解答】解：∵x+y＝6，xy＝9，∴＝＝＝＝．【点评】此题主要考查了分式的值，分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．【变式91】（1）已知＝1，求的值；（2）已知+＝2，求的值．【分析】（1）用a代替b代入原式化简即可；（2）把2ab＝a+b代入原式化简即可．【解答】解：（1）由得b＝a，代入式子得，；（2）由得2ab＝a+b代入式子得，．【点评】本题考查了分式的求值问题，关键是整体代入方式化简．【变式92】已知＝2，求的值．【分析】先把＝2，变形为x＝2y，再代入，求解即可．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝．【点评】本题考查了分式的值，掌握整体代入思想的运用是解题的关键．题型10：化简求值设辅助参数10.已知＝＝＝，且2b﹣d+5f≠0，求的值．【分析】由于＝＝＝，那么可得a＝b，c＝d，e＝f，把a、c、e的值同时代入所求的代数式中即可求值．【解答】解：∵＝＝＝，∴a＝b，c＝d，e＝f，∴＝＝＝．【点评】本题考查了分式的值，整体代入、分式化简的有关知识．【变式101】已知：a：b：c＝2：3：5，求分式的值．【分析】设a、b、c均为k的倍数，然后用k表示出a、b、c，再把a、b、c的值代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k，（k≠0）∴＝＝＝﹣，即分式的值是﹣．【点评】本题考查了分式的值，利用“设k法”表示出a、b、c是解题的关键．【变式102】已知：，求代数式的值．【分析】设t＝，则x、y、z可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可．【解答】解：设t＝，则x＝2t①y＝3t②z＝4t③将①②③代入代数式，得＝＝，所以，代数式的值是．【点评】本题体现了转化思想，将未知数x、y、z转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．题型11：分式与规律性题11.观察下面一列分式：，﹣，，﹣，…（1）计算这列分式中，一个分式与它前一个分式的商，你有什么发现？（2）根据你发现的规律写出第n个分式．【分析】（1）按要求分别进行计算，得到商都是﹣；（2）先看分式的符号，第一个+，第二个﹣，依次可以看作（﹣1）n+1，分母的系数是1、2、4、8、都是2的幂；分母中x项，依次为x、x2、x3、x4…，得出第n个分式．【解答】解：（1）﹣＝﹣，÷（﹣）＝﹣，﹣÷＝﹣，…，发现：一个分式与它前一个分式的商，都是﹣；（2）第1个分式：，第2个分式：﹣，第3个分式：，第4个分式：﹣，…第n个分式：．【点评】本题考查了分式的定义、分式的除法和数字类的规律问题，分式的除法运算，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数进行计算，对于分式中的规律问题，分解为三个问题考虑：分式的符号、分子、分母；把各个规律结合在一起，得出结论即可．【变式111】观察式子：，﹣，，﹣，…，根据你发现的规律知，第8个式子为．【分析】根据已知分式可以找到规律：第n个分式为（﹣1）n+1•．【解答】解：∵，﹣，，﹣，…，∴第n个分式为（﹣1）n+1•，∴第8个式子为（﹣1）8+1•＝﹣；故答案是：﹣．【点评】本题考查了分式的定义．解答该题时，是根据已知式子，找出第n个式子的通式后，再来求第8个式子的【变式112】观察下列各式：2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…若n为正整数，用含n的等式表示上述规律．【分析】观察以上等式，不难发现（n+1）×＝（n+1）+，其中，n为正整数．【解答】解：∵2×＝2+；3×＝3+；4×＝4+…，∴（n+1）×＝（n+1）+（n是正整数）．【点评】本题考查了分式的定义．仔细观察数据的变化情况是解题的关键．一、单选题1．若分式x−2x+3的值等于0，则xA．2 B．2 C．3 D．3【答案】A【解析】【解答】解：由题意得：x−2=0x+3≠0，

解得：x=2.

【分析】分式等于零的条件是分子等于零，且分母不等于零，依此列式求解，即可解答.2．若把分式3xx+yA．扩大3倍 B．扩大9倍 C．不变 D．缩小3倍【答案】C【解析】【解答】∵把分式3xx+y3×3x3x+3y∴分式的值不变.故答案为：C.【分析】分别把分式3xx+y3．如果分式2xx+y中的x和yA．扩大2倍 B．扩大4倍C．缩小为原来的一半 D．不变【答案】D【解析】【解答】解：把分式2xx+y4x2x+2y=2x故答案为：D．

【分析】利用分式的性质判断即可。4．下列变形从左到右一定正确的是（）A．ab=a−2b−2 B．ab=【答案】D【解析】【解答】A.因为分子，分母都－2，不符合分式基本选择；B.因为没有给出c≠0的条件；C.因为分子，分母分别平方不符合分式基本选择.D.原式若有意义则隐含x≠0，所以分子，分母同除以x，符合分式基本选择.故答案为：D

【分析】根据分式的定义判断即可5．下列不属于分式12x2A．（2x2﹣18）（4x+12） B．16（x﹣3）（x+3）C．4（x﹣3）（x+3） D．2（x+3）（x﹣3）【答案】D【解析】【解答】解：∵12xx4x+12=x∴最简公分母是4（x+3）（x﹣3），A、（2x2﹣18）（4x+12）=2（x+3）×4（x﹣3）（x+3），故本选项错误；B、16（x+3）（x﹣3）=4×4（x﹣3）（x+3），故本选项错误；C、4（x+3）（x﹣3）=4（x+3）（x﹣3），故本选项错误；D、2（x+3）（x﹣3）不是公分母，故本选项正确；故选D．【分析】先把各个分母分解因式，再找出最简公分母，即可得出选项．二、填空题6．化简：6ab3【答案】3【解析】【解答】解：6ab故答案为：3b【分析】利用分式的基本性质进行约分，即可得到答案.7．若分式x3x+2的值为0，则x的值为【答案】0【解析】【解答】解：由题意可得x=0且3x+2≠0，解得x=0.故答案为：0.【分析】根据分式值为0的条件“分子等于0，且分母不为0”可得x=0且3x+2≠0，求解可得x的值.8．若分式x−2x+1的值为0，则x=【