数学复习总纲

数学复习总纲..............................................................1

1.【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照！............2

2.【分享】数学公式终极总结.......................................4

3.【分享】排列组合基础知识及习题分析.............................8

4.【分享】排列组合新讲义.......................................14

5.【分享】无私奉献天字一号的排列组合题（系列之二）.............21

6.【分享】“插板法”的条件模式隐藏运用分析.......................24

7.【纠错】两个相同的正方体的六个面上分别标有数字的排列组合问题..25

8.【讨论】裴波纳契数列的另类运用...............................27

9.【经验分享】关于临界点类型算数问题的分析.....................28

10.【经验总结】关于比例法中变量守恒与变化的思路分析.............30

11.【讨论】“五个人的体重之和是423斤,他们的体重都是整数”一题……33

12.【经验分享】浅谈mn/（m+n）公式的由来（盐水交换问题）......34

13.【周末练习】4道经典习题（已公布解析DONE）..............................37

14.【分享】关于相遇问题和追击问题的综合题目的分析...............40

15.【分享】“牛吃草”的问题的模式化解题方式总结...................41

16.【纠错】关于计算某个数字在页码中出现的次数问题的公式怀疑！……43

17.【总结】关于页码和页数的题目（刚看到的一个题目顺便做个分析）...43

18.1开会时间分针时针互换问题】新题型的2道问题的解析...........45

19.【分享】（绝对经典）20道比列及列式计算......................46

20.【分享】60道数学题的解析....................................51

作者：徐克猛（天字1号）

飞风舞蝶（绝对经典）20道比列及列式计算

白狐狸数学公式终极总结

数学复习总纲

【分享】公考中数学知识部分如何学习的计划安排和心得！

分配学习时间我做了这样一个假设，假如你是一张白纸（对于公务员考试而言）

我建议大家遵循这样的学习时间安排。比较合适。这是我个人的经验和看法。仅以参考！

1、数字推理（每天必须练习）

开始的前3周，每周1.5小时，主要是以看和归纳为主。3周之后要能丢开资料自己可

以回忆出数字推理的若干种类型。特别是经典的7大类型

3周之后看是1周（每天半小时的计时练习。福道题目不得超过53秒），从第5周直

到考试，每天都要用10分钟〜15分钟的时间不停的巩固和练习这数字推理。主要是保持

和培养数字敏感性和了解一些新的题型（新的题型以了解为主，不要强求）

2、数学运算。（我建议集中时间整理和复习准备时间应该是在2个月以上）

首先，先对国考，或者你所参加的地方考试的题型和命题风格做一个了解。看看这些数

学运算试题的难度系数如何。总结归纳常见的考试类型。如果你觉得你有足够的能力，你

还可以归纳考察的思维方向是来自哪儿点（这个比较重要。如果不能达到这一点，可以借鉴

老师，或者网络，借鉴别人的与此相关的总结）

其次是平时的练习。应该划分专项来练习。专项的划分就是根据第一步你对考试类型的

划分。学会总结方法（方法不是公式，只记住公式那是没用的，必须去掌握公式的由来）。

练习的题源应当以国家（03〜至今），北京（05〜至今），山东（04〜至今），浙江（05〜

至今），江苏（04〜至今），辅助于福建（06〜08年）等地的真题为主。

最后通过练习，必须学会做总结归纳，做好笔记。对每种类型都要学会用一句话或者一

段简洁的话写出你的感受和观点。

1.【分享】数学运算的大致常考类型，大家复习可以参照!

（-）数字推理

（1）数字性质：奇偶数，质数合数，同余，特定组合表现的特定含义如口=3.1415926,

阶乘数列。

（2）等差、等比数列，间隔差、间隔比数列。

（3）分组及双数列规律

（4）移动求运算数列

（5）次方数列（1、基于平方立方的数列2、基于2。次方数列，3塞的2,3次方交替

数列等为主体架构的数列）

（6）周期对称数列

（7）分数与根号数列

（8）裂变数列

（9）四则组合运算数列

（10）图形数列

（二）数学运算

（1）数理性质基础知识。

（2）代数基础知识。

（3）抛物线及多项式的灵活运用

（4）连续自然数求和和及变式运用

（5）木桶（短板）效应

（6）消去法运用

（7）十字交叉法运用（特殊类型）

（8）最小公倍数法的运用（与剩余定理的关系）

（9）鸡兔同笼运用

（10）容斥原理的运用

（11）抽屉原理运用

（12）排列组合与概率：（重点含特殊元素的排列组合，插板法已经变式，静止概率以及

先【后】验概率）

（13）年龄问题

（14）几何图形求解思路（求阴影部分面积割补法为主）

（15）方阵方体与队列问题

（16）植树问题（直线和环形）

（17）统筹与优化问题

（18）牛吃草问题

（19）周期与日期问题

（20）页码问题

（21）兑换酒瓶的问题

（22）青蛙跳井（寻找临界点）问题

（23）行程问题（相遇与追击，水流行程，环形追击相遇：变速行程，曲线（折返，高山，

缓行）行程，多次相遇行程，多模型行程对比）

2.【分享】数学公式终极总结

容斥原理

涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：

一的个数+二的个数一都含有的个数=总数一都不含有的个数

【例3】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有

24

人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是多少【国

2004B-461

A.10B.4C.6D.8

应用公式26+24-22=32-X

X=4

所以答案选B

［例9］某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又

不会

游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有多少人。【山东2004-13】

A.57B.73C.130D.69

应用公式：68+62-X=85-12

X=57人

抽屉原理：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，仃的抽

屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以

找到一个抽屉里面至少放两个苹果

【例1】在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中

有白球？【北京应届2007-15】

A.14B.15C.17D.1849.

采取总不利原则10+4+1=15这个没什么好说的

剪绳问题核心公式

一根绳连续对折N次，从中M刀，则被剪成了（2ANxM+1）段

【例5】将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪6刀。问这样操作后,

原来的绳

子被剪成了几段？【浙江2006-38］

A.18段B.49段C.42段D.52段

2八3*6+1=49

方阵终极公式

假设方阵最外层一边人数为N,则

一、实心方阵人数=NxN

二、最外层人数=（N-1）x4

【例1】某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?

【国2002A-9】国2002B-18］

A.256人B.250人C.225人D.196人

（N-1）4=60N=1616*16=256所以选A

【例3】某校的学生刚好排成一个方阵，最外层的人数是96人，问这个学校共有学生：【浙

江2003-18】

A.600人B.615人C.625人D.640人

（N-1）4=96N=25N*N=625

过河问题：

来回数=［（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）］*2+1

次数=［（总量-每次渡过去的）/（每次实际渡的）］+1

次数=（总数-1）/（人数-1）

【例1】有37名红军战士渡河，现仅有一只小船，每次只能载5人，需要几次才能渡完？

【广东2005±-10］

A.7次B.8次C.9次D.10次

37-1/5-1所以是9次

【例2】49名探险队员过一条小河，只有一条可乘7人的橡皮船，过一次河需3分钟。全

体

队员渡到河对岸需要多少分钟？（）【北京应届2006-24】

A.54B.48C.45D.39

[（49-7）/6]2+1=1515*3=45

[例4]有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天这只青蛙跳上4米晚上又滑下3

米，

则这只青蛙经过多少天可以从井中跳出？

A.7B.8C.9D.10

[（10-4）/1]+1=7

核心提示

三角形内角和180。N边形内角和为（N-2）180

【例1】三角形的内角和为180度，问六边形的内角和是多少度？【国家

2002B-12]

A.720度B.600度C.480度D.360度

（6-2）180=720°

盈亏问题：

（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）+（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：（大盈-小盈）+（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：（大亏-小亏）+（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏*（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈+（两次每人分配数的差）=人数

例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个

桃子？”

解（7+9）+（10-8）=16+2=8（个）............人数

10x8-9=80-9=71（个）............桃子

还有那个排方阵，一排加三个人，剩29人的题，也可用盈亏公式解答。

行程问题模块

平均速度问题V=2V1V2/V1+V2

【例1】有一货车分别以时速40km和60km往返于两个城市，往返这两个城市一次的平

均时速为多少？【国家1999-39】

A.55kmB.50kmC.48kmD.45km

2*40*60/100=48

【例2】一辆汽车从A地到B地的速度为每小时30千米，返回时速度为每小时20千

米，则它的平均速度为多少千米/时？【浙江2003-20]

A.24千米/时B.24.5千米/时C.25千米/时D.25.5千米/时埃

2*30*20/30+20=24

比例行程问题

路程=速度*时间（121212$丫1=或或或）路程比=速度比*时间比，

S1/S2=V1/V2=T1/T2

运动时间相等，运动距离正比与运动速度

运动速度相等，运动距离正比与运动时间

运动距离相等，运动速度反比与运动时间

【例2】A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分

钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时

间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的

距离比是15：16,那么，甲火车在什么时刻从A站出发开往B站。国2007-53]

A.8时12分B.8时15分C.8时24分D.8时30分

速度比是4：5

路程比是15：16

15S：16S

5V:4V所以T1:T2=3:4也就是45分钟60-45=15所以答案是B

在相遇追及问题中：

凡有益于相对运动的用“加”，速度取“和”，包括相遇、背离等问题。

凡阻碍相对运动的用“减”，速度取“差”，包括追及等问题。

从队尾到对头的时间=队伍长度/速度差

从对头到队尾的时间=队伍长度/速度和

【例2】红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分

钟

步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度？（）

【北京社招2005-20]

A.630米B.750米C.900米D.1500米

X/90+X/210=10X=630

某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用

120秒，整列火车完全在桥上的时间80秒，则火车速度是？【北京社招2007-21】

A.10米/秒B.10.7米/秒C.12.5米/秒D.500米/分

核心提示

列车完全在桥上的时间=（桥长-车长）/列车速度

列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=（桥长+车长）/列车速度

1000+X=120V

1000-X=80V

解得10米/秒

为节约用水，某市决定用水收费实行超额超收，标准用水量以内每吨2.5元，超过标准的部

分加倍收费。某用户某月用水15吨，交水费62.5元，若该用户下个月用水12吨，则应交

水费多少钱？

15顿和12顿都是超额的，所以62.5—(3X5)

[例1]某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的

人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已经步行速度为

8千米/小时，汽车速度为40千米/小时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？

A.5.5小时B.5小时C.4.5小时D,4小时

假设有m个人(或者m组人)，速度v1,一个车，速度v2。

车只能坐一个/组人，来回接人，最短时间内同时到达终点。总距离为S。

T=(S/v2)*[(2m-1)v2+v1]/[v2+(2m-1)v1]

3.【分享】排列组合基础知识及习题分析

在介绍排列组合方法之前我们先来了解一下基本的运算公式！

C5W3=(5x4x3)/(3x2x1)C61R2=(6x5)/(2x1)

通过这2个例子看出

CM取N公式是种子数M开始与自身连续的N个自然数的降序乘积做为分子。以取值N

的阶层作为分母

P53=5x4x3P66=6x5x4x3x2x1

通过这2个例子

PMN=从M开始与自身连续N个自然数的降序乘积当N=M时即M的阶层

排列、组合的本质是研究“从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素，有序和无序摆放的

各种可能性”.区别排列与组合的标志是“有序”与“无序”.

解答排列、组合问题的思维模式有二：

其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；

其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”.

分类：“做一件事，完成它可以有n类方法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分

类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类;

其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②

分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.

分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法，都要分

成n个步骤.分步时・，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设

置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成.

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n

类办法彼此之间是相互独立的，无论那一类办法中的那一种方法都能单独完成这件事，求

完成这件事的方法种数，就用加法原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，

即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法,

求完成这件事的方法种类就用乘法原理.

在解决排列与组合的应用题时应注意以下几点：

1.有限制条件的排列问题常见命题形式：

“在”与“不在”

“邻”与“不邻”

在解决问题时要掌握基木的解题思想和方法：

⑴“相邻”问题在解题时常用“合并元素法”，可把两个以上的元素当做一个元素来看，这是处

理相邻最常用的方法.

⑵“不邻”问题在解题时最常用的是“抽空排列法”.

⑶“在”与“不在”问题，常常涉及特殊元素或特殊位置，通常是先排列特殊元素或特殊位置.

⑷元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制，等排列完毕后，利用规定顺序的实情求

出结果.

2.有限制条件的组合问题，常见的命题形式：

“含，，与“不含，，

“至少”与“至多”

在解题时常用的方法有“直接法”或“间接法”.

3.在处理排列、组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重、不漏，按

事件的发生过程分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列、组合问题的最基本的，也

是最重要的思想方法.

提供10道习题供大家练习

1、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为（C）

（A）25个（B）26个（C）36个（D）37个

【解析】

根据三角形边的原理两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

可见最大的边是11

则两外两边之和不能超过22因为当三边都为11时是两边之和最大的时候

因此我们以一条边的长度开始分析

如果为11,则另外一个边的长度是11,10,9,8,7,6…。…1

如果为10则另外一•个边的长度是10,9,8。。。。。。2,

（不能为1否则两者之和会小于11,不能为11,因为第一种情况包含了11,10的组合）

如果为9则另外一个边的长度是9,8,7,。。。。。。。3

（理由同上，可见规律出现）

规律出现总数是11+9+7+。。。。1=（1+11）x6-2=36

2、

（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法?

【解析】每封信都有3个选择。信与信之间是分步关系。比如说我先放第1封信，有3种

可能性。接着再放第2封，也有3种可能性,直到第4封，所以分步属于乘法原则即3x3x3x3

=3A4

（2）3位旅客，到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？

【解析】跟上述情况类似对于每个旅客我们都有4种选择。彼此之间选择没有关系不够

成分类关系。属于分步关系。如：我们先安排第一个旅客是4种，再安排第2个旅客是4

种选择。知道最后一个旅客也是4种可能。根据分步原则属于乘法关系即4x4x4=4"3

（3）8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本，有多少种不同的分法？

【解析】分步来做

第一步：我们先选出3本书即多少种可能性C8取3=56种

第二步：分配给3个同学。P33=6种

这里稍微介绍一下为什么是P33,我们来看第一个同学可以有3种书选择，选择完成后，

第2个同学就只剩下2种选择的情况，最后一个同学没有选择。即3x2x1这是分步选择符

合乘法原则。最常见的例子就是1,2,3,4四个数字可以组成多少4位数？也是满足这

样的分步原则。用P来计算是因为每个步骤之间有约束作用即下一步的选择受到上一步

的压缩。

所以该题结果是56x6=336

3、

七个同学排成一横排照相.

（1）某甲不站在排头也不能在排尾的不同排法有多少种？（3600）

【解析】

这个题目我们分2步完成

第一步：先给甲排应该排在中间的5个位置中的一个即C5取1=5

第二步：剩下的6个人即满足P原则P66=720

所以总数是720x5=3600

（2）某乙只能在排头或排尾的不同排法有多少种？（1440）

【解析】

第一步：确定乙在哪个位置排头排尾选其一C2取1=2

第二步：剩下的6个人满足P原则P66=720

贝IJ总数是720x2=1440

（3）甲不在排头或排尾，同时乙不在中间的不同排法有多少种？（3120）

【解析】特殊情况先安排特殊

第一种情况：甲不在排头排尾并且不在中间的情况

去除3个位置剩下4个位置供甲选择C4取1=4,剩下6个位置先安中间位置即除了

甲乙2人，其他5人都可以即以5开始，剩下的5个位置满足P原则即5xP55=5x120

=600总数是4x600=2400

第2种情况：甲不在排头排尾，甲排在中间位置

则剩下的6个位置满足P66=720

因为是分类讨论。所以最后的结果是两种情况之和即2400+720=3120

（4）甲、乙必须相邻的排法有多少种？（1440）

【解析】相邻用捆绑原则2人变一人，7个位置变成6个位置，即分步讨论

第1：选位置C6取1=6

第2：选出来的2个位置对甲乙在排即P22=2

则安排甲乙符合情况的种数是2x6=12

剩下的5个人即满足P55的规律=120

则最后结果是120x12=1440

（5）甲必须在乙的左边（不一定相邻）的不同排法有多少种？（2520）

【解析】

这个题目非常好，无论怎么安排甲出现在乙的左边和出现在乙的右边的概率是一样的。所

以我们不考虑左右问题则总数是P77=5040，根据左右概率相等的原则则排在左边的情

况种数是5040-2=2520

4、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数.

（1）能组成多少个四位数？（300）

【解析】四位数从高位开始到低位高位特殊不能排0。则只有5种可能性

接下来3个位置满足P53原则=5x4x3=60即总数是60x5=300

（2）能组成多少个自然数？（1631）

【解析】自然数是从个位数开始所有情况

分情况

1位数：C6取1=6

2位数：C5取2xP22+C5取1xP11=25

3位数：C5取3xP33+C5取2xP22x2=100

4位数：C5取4xP44+C5取3xP33x3=300

5位数：C5取5xP55+C5取4xP44x4=600

6位数：5xP55=5x120=600

总数是1631

这里解释一下计算方式比如说2位数：C5取2xP22+C5取1xP11=25

先从不是0的5个数字中取2个排列即C5取2xP22还有一种情况是从不是0的5个数

字中选一个和0搭配成2位数即C5取1xP11因为。不能作为最高位所以最高位只有1

种可能

(3)能组成多少个六位奇数？(288)

【解析】高位不能为0个位为奇数1,3,5则先考虑低位，再考虑高位即3x4xP44=

12x24=288

(4)能组成多少个能被25整除的四位数？(21)

【解析】能被25整除的4位数有2种可能

后2位是25：3x3=9

后2位是50：P42=4x3=12

共计9+12=21

(5)能组成多少个比201345大的数？(479)

【解析】

从数字201345这个6位数看是最高位为2的最小6位数所以我们看最高位大于等于2

的6位数是多少？

4xP55=4x120=480去掉201345这个数即比201345大的有480—1=479

(6)求所有组成三位数的总和.(32640)

【解析】每个位置都来分析一下

百位上的和：M1=100xP52(5+4+3+2+1)

十位上的和：M2=4x4x10(5+4+3+2+1)

个位上的和：M3=4x4(5+4+3+2+1)

总和M=M1+M2+M3=32640

5、生产某种产品100件，其中有2件是次品，现在抽取5件进行检查.

(1)“其中恰有两件次品”的抽法有多少种？(152096)

【解析】也就是说被抽查的5件中有3件合格的，即是从98件合格的取出来的

所以即C2取2*C98取3=152096

(2)“其中恰有一件次品”的抽法有多少种？(7224560)

【解析】同上述分析，先从2件次品中挑1个次品，再从98件合格的产品中挑4个

C2取1xC98取4=7224560

(3)“其中没有次品”的抽法有多少种？(67910864)

【解析】则即在98个合格的中抽取5个C98取5=67910864

(4)“其中至少有一件次品”的抽法有多少种？(7376656)

【解析】全部排列然后去掉没有次品的排列情况就是至少有1种的

C100取5-C98取5=7376656

(5)“其中至多有一件次品”的抽法有多少种？(75135424)

【解析】所有的排列情况中去掉有2件次品的情况即是至多一件次品情况的

C100取5-C98取3=75135424

6、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台,

则不同的取法共有()

(A)140种(B)84种(C)70种(D)35种

【解析】根据条件我们可以分2种情况

第一种情况：2台甲+1台乙即C4取2xC5取1=6x5=30

第二种情况：1台甲+2台乙即C4取1*C5取2=4x10=40

所以总数是30+40=70种

7、在50件产品中有4件是次品，从中任抽5件，至少有3件是次品的抽法有一种.

［解析】至少有3件则说明是3件或4件

3件：C4取3xC46取2=4140

4件：C4取4xC46取1=46

共计是4140+46=4186

8、有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担

这三项任务，不同的选法共有(C)

(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种

【解析】分步完成

第一步：先从10人中挑选4人的方法有：C10取4=210

第二步：分配给甲乙并的工作是C4取2xC2取1xC1取1=6x2x1=12种情况

则根据分步原则乘法关系210x12=2520

9、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方

案共有_

C(4,12)C(4,8)C(4,4)

一种

【解析】每个路口都按次序考虑

第一个路口是C12取4

第二个路口是C8取4

第三个路口是C4取4

则结果是C12取4xC8取4xC4取4

可能到了这里有人会说三条不同的路不是需要P33吗其实不是这样的在我们从12人中

任意抽取人数的时候，其实将这些分类情况已经包含了对不同路的情况的包含。如果再

xP33则是重复考虑了

如果这里不考虑路口的不同即都是相同路口则情况又不一样因为我们在分配人数的时候

考虑了路口的不同。所以最后要去除这种可能情况所以在上述结果的情况下要+P33

10、在一张节目表中原有8个节目，若保持原有节目的相对顺序不变，再增加三个节目,

求共有多少种安排方法？990

【解析】

这是排列组合的种方法叫做2次插空法

直接解答较为麻烦，故可先用一个节目去插9个空位，有P(9,1)种方法；再用另一个节目去

插10个空位，有P(10,1)种方法；用最后一个节目去插11个空位，有方法，由乘

法原理得：所有不同的添加方法为P(9,1)xP(10,1)xP(11,1)=990种。

另解：先在11个位置中排上新添的三个节目有P(11,3)和I再在余下的8个位置补上原有的

8个节目，只有一解，所以所有方法有P311x1=990种。

4.【分享】排列组合新讲义

作者：徐克猛(天字1号)2009-2-19

-、排列组合定义

1、什么是C

公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列(即不排序)。

例如：编号1〜3的盒子，我们找出2个来使用，这里就是运用组合而不是排列，

因为题目只是要求找出2个盒子的组合。即C(3,2)=3

2、什么是P或A

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列(即排序)。

例如：1〜3,我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取C(3,2)后排

P22,就构成了C(3,2)XP(2,2)=A(3,2)

3、A和C的关系

事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A比C多了一个排序步骤,

即组合是排列的一部分且是第一步骤。

4、计算方式以及技巧要求

组合：C(M,N)=M!4-(N!X(M-N)!)条件：N<=M

排歹(]:A(M,N)=M!+(M-N)!条件：N<=M

为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1〜

7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如C(M,N)

当中N取值过大，那么我们可以看M—N的值是否也很大。如果不大。我们可以求C(M,

[M-N]),因为C(M,N)=C(M,[M-N])

二、排列组合常见的恒等公式

1、C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+......+C(n,n)=2An

2、C(m,n)+C(m,n+1)=C(m+1,n+1)

针对这2组公式我来举例运用

(1)有10块糖，假设每天至少吃1块，问有多少种不同的吃法？

解答:C(9,0)+C(9,1)+......+C(9,9)=2"9=512

(2),公司将14副字画平均分给甲乙筛选出参加展览的字画，按照要求，甲比乙多选1

副，且己知甲按照要求任意挑选的方法与乙任意挑选的方法之和为70,求，甲挑选了

多少副参加展览？

C(8,n)=70n=4即得到甲选出了4副。

三、排列组合的基本理论精要部分(分类和分步)

(1)、加法原理(实质上就是一种分类原则)：一个物件，它是由若干个小块组成的，我们要

知道这个物件有多重，实际上可以分来算，比如，我们知道每一个小块的重量，然后计算总

和就等于这个物件的重量了，这就是我们要谈的分类原则。排列组合当中，当我们要求某一

个事件发成的可能性种类，我们可以将这个事件分成若干个小事件来看待。化整为零，

例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法。根据分类的方法。我们可

以看，

第一类情况：甲坐在左边，乙坐在右边，其他人随便坐，A(5,5)

第二类情况：甲坐在右边，乙坐在左边，其他人随便坐，A(5,5)

我们分别计算出2种情况进而求和即得到答案。这就是分类原则。这样就是A(5,5)+

A(5,5)=240

(2)、乘法原理(实质上就是一种分步原则)：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第•

步有ml种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方

法，那么完成这件事共有N=mlXm2Xm3X…Xmn种不同的方法.

例如：7个人排座位，其中甲乙都只能坐在边上。问有几种方法，按照分步原则，

第一步：我们先对甲乙之外的5个人先排序座位，把两端的座位空下来，A(5,5)

第二步：我们再排甲乙，A(2,2)

这样就是A(5,5)XA(2,2)=240

如何区分两个原理:

我们知道分类原则也就是加法原则，每一个分类之间没有联系，都是可以单独运算，单独成

题的，也就是说，这一类情况的方法是独立的，所以我们采用了加法原理。要做一件事，完

成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；

我们知道分步原则也就是乘法原则。做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只

有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理.说

明其每一个步骤之间都是有必然联系的。是相互依靠的关系。所以采用了乘法原则。

这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来

(3)特殊优先，一般次要的原则

例题：

(1)从1、2、3..........20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差

数列有一个。

第一步构建排列组合的定义模式，如果把数学逻辑转换的问题。

(2)在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A,B两种作物，每种种植一垄，为有

利于作物生长，要求A,B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有种。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有一种选择，

同理A、B位置互换,共12种。

(3)从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有。

(A)240(B)180(C)120(D)60

分析：显然本题应分步解决。

(-)从6双中选出一双同色的手套，有C(6,1)种方法；

(-)从剩下的5双手套中任选2双，有C(5,2)种方法。

(三)这2双可以任意取出其中每双中的1只，保证各不成双；

即C(6,1)*C(5,2)*2A2=240

(4)身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的

人个子矮，则所有不同的排法种数为。

分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方

法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C(6,2)XC(4,2)XC(2,2)=90种。

四、解决排列组合问题的策略

1、逆向思维法：我们知道排列组合都是对一个元素集合进行筛选排序。我们可以把

这个集合看成数学上的单位1,那么1=a+b就是我们构建逆向思维的数学模型了，

当a不利于我们运算求解的时候，我们不妨从b的角度出发思考，这样同样可以求出

a=1-bo

例题：7个人排座，甲坐在乙的左边(不一定相邻)的情况有多少种？

例题：一个正方体有8个顶点我们任意选出4个，有多少种情况是这4个点可以构

成四面体的。

例题：用0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A.24个B.30个C.40个D.60个

2、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略：

（1）无关型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集

例题：用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数？

（2）包含型：两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系

例题：用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数？

P55X—P44=120-24=96

用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被25整除且数字不同的六位数？

25,75（3X3X2X1）X2+P44=36+24=60

（3）影响型：两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。

例题：用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重

复数字的五位数有多少个？

3、解含有约束条件的排列组合问题-----采用合理分类与准确分步的策略

例题：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有

个。

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步.先在4条平行线中任取两条，有

C4取2种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有C5取2种取法。这样取出的四

条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有6X10=60个

4、解排列组台混合问题——采用先选后排策略

对于排列与组合的混合问题，可采取先选铝元素，后进行排列的策略。

例：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_种。144

5、插板法

插板法的条件构成：1元素相同，2分组不同，3必须至少分得1个

插板法的类型：

（1）、10块奶糖分给4个小朋友，每个小朋友至少1块，则有多少种分法？（典型插板法点

评略）

（2）、10块奶糖分给4个小朋友有多少种方法？（凑数插板法：这个题目对照插板法的3

个条件我们发现至少满足1个这个条件没有，所以我们必须使其满足，最好的方法就是

用14块奶糖来分，至少每人1块，当每个人都分得1块之后，剩下的10块就可以随便分

了，就回归到了原题）

（3）、10块奶糖放到编号为1,2,3的3个盒子里，每个盒子的糖数量不少于其编号数，

则有儿种方法？（定制插板法：已然是最后一个条件不满足，我们该怎么处理呢，应该学

会先去安排使得每个盒子都差1个，这样就保证每个盒子必须分得1个，从这个思路出发,

跟第二个例题是姊妹题思路是一样的对照条件想办法使其和条件吻合！）

（4）、8块奶糖和另外3个不同品牌的水果糖要放到编号为1〜11的盒子里面，每个盒子至

少放1个，有多少种方法？（多次插空法这里不多讲，见我排列组合基础讲义）

6、递归法（枚举法）

公考也有这样的类型，排错信封问题，还有一些邮票问题

归纳法：

例如：5封信一一对应5个信封，其中有3个封信装错信封的情况有多少种？

枚举法：

例如：10张相同的邮票分别装到4个相同的信封里面，每个信封至少1张邮票，有多少种

方法？

枚举:

1,1,1,7

1,1,2,6

1,1,3,5

1,1,4,4

1,2,2,5

1,2,3,4

1,3,3,3

2,2,2,4

2,2,3,3

9种方法！

五、疑难问题

1、如何验证重复问题

2,关于位置与元素的相同问题，

例如：6个人平均分配给3个不同的班级，跟6个学生平分成3组的区别

3、关于排列组合里面，充分运用对称原理。

例题：1,2,3,4,5五个数字可以组成多少个十位数小于个位数的四位数？

例题：7个人排成一排，其中甲在乙右边（可以不相邻）的情况有多少种？

注解：分析2种对立情况的概率，即可很容易求解。当对立情况的概率相等，即对称原理。

4、环形排列和线性排列问题。（见我的基础排列组合讲义二习题讲解）

例如：3个女生和4个男生围坐在一个圆桌旁。间有多少种方法？

例如：3对夫妇围坐在圆桌旁，男女间隔的坐法有多少种？

注解：排列组合中，特殊的地方在于，第一个坐下来的人是作为参照物，所以不纳入排列的

范畴，我们知道，环形排列中每个位置都是相对的位置，没有绝对位置，所以需要有一个

人坐下来作为参照位置。

5、几何问题：见下面部分的内容。

例析立体几何中的排列组合问题

在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。

1点

1.1共面的点

例题：四面体的一个顶点为A,从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一

平面上，不同的取法有（）

A.30种B.33种C.36种D.39种

答案：B

点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属难度中等的选择题，失误的主要原因是

没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。

1.2不共面的点

例2：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有

()

A.150种B.147种C.144种D.141种

解析：从10个点中任取4个点有C(10,4)=210种取法，其中4点共面的情况有三类:

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有C(6,2)=15种；第二类，取任一

条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，

它的4个顶点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有210—4X15—6—3=141种。

答案：Do

点评：此题难度很大，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况;

排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。

儿何型排列组合问题的求解策略

有关几何型组合题经常出现在各类试题中，它的求解不仅要具备排列组合的有关知识，而且

还要掌握相关的几何知识.这类题目新颖、灵活、能力要求高，因此要求掌握四种常用求解

策略.

分步求解

例1圆周上有2n个等分点(n>l),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为.

解：本题所求的三角形，即为圆的内接直角三角形，由平面几何知识，应分两步进行：先从

2n个点中构成直径(即斜边)共有n种取法；再从余下的(2n-2)个点中取一点作为直角顶

点，有(2n—2)种不同取法.故总共有n(2n—2)=2n(n—1)个直角三角形.故填2n(n—1).

例2：从集合｛0、1>2、3、5、7、11｝中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中

的A、B、C,所得的经过坐标原点原直线共有一条(结果用数值来表示).

解：因为直线过原点，所以C=0.从1、2、3、5、7、口这6个数中任取2个作为A、B,

两数的顺序不同，表示的直线也不同，所以直线的条数为P(6,2)=30.

二分类求解

例3四边体的一个顶点为A,从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和A在同一平面

上，不同取法有()

(A)30种(B)33种(Q36种(D)39种

解：符合条件的取法可分三类：①4个点(含A)在同--侧面上，有3=30种：②4个点

(含A)在侧棱与对棱中点的截面匕有3种；由加法原理知不同取法有33利1故选B.

三排除法求解

例4从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()

(A)8种(B)12种(C)16种(D)20种

解：由六个任取3个面共有C(6,3)=20种，排除掉3个面都相邻的种数，即8个角上

3个平面相邻的特殊情形共8种，故符合条件共有20-8=12利故选(B).

例5正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有()个？

解：从7个点中任取3个点，共有C(7,3)=35个，排除掉不能构成三角形的情形.3

点在同一直线上有3个，故符合条件的三角形共有35—3=32个.

四转化法求解

例6空间六个点，它