2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练68　离散型随机变量及其分布列

课时分层训练(六十八)离散型随机变量及其分布列(对应学生用书第338页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)C[由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝eq\f(1,3).]2．若离散型随机变量X的分布列为X01P9c2－c3－8c则常数c的值为()A．eq\f(2,3)或eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．1C[根据离散型随机变量分布列的性质知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))得c＝eq\f(1,3).]3．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()【导学号：97190373】A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)C[X服从超几何分布，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,7)C\o\al(10－k,8),C\o\al(10,15))，k＝4.]4．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1,2,3,4)，则P(2＜X≤4)等于()A．eq\f(9,10) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,5) D．eq\f(1,2)B[由分布列的性质知，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＋eq\f(4,2a)＝1，则a＝5，∴P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(3,10)＋eq\f(4,10)＝eq\f(7,10).]5．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A．(－∞，2] B．[1,2]C．(1,2] D．(1,2)C[由随机变量X的分布列知P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，P(X＝2)＝0.1，则当P(X<a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1,2]．]二、填空题6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．eq\f(4,5)[设所选女生人数为X，则X服从超几何分布，其中N＝6，M＝2，n＝3，则P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6))＋eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(4,5).]7．已知随机变量X的概率分别为p1，p2，p3，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))[由已知得p1＝p2－d，p3＝p2＋d，由分布列性质知(p2－d)＋p2＋(p2＋d)＝1，得p2＝eq\f(1,3)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).]8．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________．X345P0.10.30.6[X的可能取值为3,4,5.又P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∴随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6]三、解答题9．有编号为1,2,3，…，n的n个学生，入坐编号为1,2,3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值．(2)求随机变量X的概率分布列.【导学号：97190374】[解](1)因为当X＝2时，有Ceq\o\al(2,n)种坐法，所以Ceq\o\al(2,n)＝6，即eq\f(nn－1,2)＝6，n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意知X的可能取值是0,2,3,4，所以P(X＝0)＝eq\f(1,A\o\al(4,4))＝eq\f(1,24)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)×1,A\o\al(4,4))＝eq\f(6,24)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)×2,A\o\al(4,4))＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝1－eq\f(1,24)－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(3,8)，所以X的概率分布列为：X0234Peq\f(1,24)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(3,8)10.端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列.【导学号：97190375】[解](1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,4).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15).综上知，X的分布列为X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)B组能力提升(建议用时：15分钟)11．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1<x2，则P(x1≤X≤x2)等于()A．(1－α)(1－β) B．1－(α＋β)C．1－α(1－β) D．1－β(1－α)B[显然P(X>x2)＝β，P(X<x1)＝α.由概率分布列的性质可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X>x2)－P(X<x1)＝1－α－β.]12．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数η的分布列为________．η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)[η的所有可能值为0,1,2.P(η＝0)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(η＝1)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1)×2,C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(η＝2)＝eq\f(C\o\al(1,1)C\o\al(1,1),C\o\al(1,2)C\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).∴η的分布列为η012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)]13．(2017·江南名校联考)PM2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095—2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25,35](35,45](45,55](55,65](65,75](75,85]频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．[解](1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)C\o\al(3－k,7),C\o\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．∴P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2