第14讲 重难点02三角形中“飞镖”模型（学生版）-七升八数学暑假衔接（人教版）

重难点02三角形中“飞镖”模型【知识梳理】飞镖模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.【考点剖析】一．选择题（共4小题）1．（2022春•龙岗区校级期中）如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是（）A．100° B．80° C．70° D．50°2．（2021春•盐湖区校级期末）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（）A．33° B．23° C．27° D．37°3．（2021秋•藁城区校级月考）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠B＝23°，∠A的度数是（）A．61° B．60° C．37° D．39°4．（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20° B．15° C．30° D．25°二．填空题（共1小题）5．（2022秋•富阳区期中）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠A＝°，∠DBC＝°．三．解答题（共11小题）6．（2022春•衡山县期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝；（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．7．（2022春•乐平市期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O．（1）当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC+∠BAC＝180°．（2）当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明．8．（2022•雁塔区模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为对角线BD上一点，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延长线于点F．求证：FB＝DB．9．（2023•太原二模）如图，在凹四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝55°，∠D＝20°，求∠BCD的度数．下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：方法一：作射线AC；方法二：延长BC交AD于点E；方法三：连接BD．请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．10．（2023•兴庆区校级模拟）问题提出（1）如图①，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C，画射线OC，连接CM，CN，MN，则图①中与△OMC全等的是；问题探究（2）如图②，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，连接CD，BD，若AB+AC＝2AM，求证：∠ACD+∠ABD＝180°；问题解决（3）如图③，工人刘师傅有一块三角形铁板ABC，∠B＝60°，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形BEFD，并要求∠EFD＝120°，EF＝DF．刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出∠BAC的平分线AD交BC于点D，作∠BCA的平分线CE交AB于点E，AD，CE交于点F，得到四边形BEFD．请问，若按上述作法，裁得的四边形BEFD是否符合要求？请证明你的结论．11．（2020秋•金州区校级期末）如图，BD，CE是△ABC的高，若AE＝3，AD＝4，CD＝1．求EB的长．12．（2021秋•安宁市校级期中）如图，求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．13．（2020春•如东县期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请直接写出∠DCE的度数（用含α和β的式子表示）；③如图4，∠ABD，∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度数．14．（2021秋•东源县校级期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．15．（2022秋•盐湖区期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度数．16．（2023春•黑山县期中）如图：直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线，AC＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠AEC＝∠CFB＝∠α．【数学思考】（1）若直线CD是经过∠ACB的内部，且E、F在射线CD上．请解决下面两个问题：①如图1，∠ACB＝90°，∠α＝90°，则AECF（填＞，＜或＝），猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系，并证明你的猜想；②如图2，若0°＜∠ACB＜90°，当∠ACB与∠α之间满足时，能够使得①中的结论仍然成立，并证明两个结论．【问题拓展】（2）如图3．若直线CD经过∠ACB的外部，∠ACB＝∠α，请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系．【过关检测】一．选择题1．如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（）A．33° B．23° C．27° D．37°2．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（

）A．90° B．360° C．180° D．无法确定3．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．4．（2023春·江苏镇江·七年级统考期中）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（

）．A． B． C． D．5．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（）A．115° B．120° C．125° D．130°6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（）A．50° B．118° C．100° D．90°二、填空题7．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，______°．8．（2022秋·青海西宁·八年级青海师大附中校考阶段练习）如图，的度数为_______．9．（2023·全国·八年级假期作业）如图，若，则____________．10．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．三．解答题11．一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．12．如图：（1）求证：∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．13．已知：如图，求证：∠BDC＝∠B+∠C+∠BAC．14．（2022秋·八年级课时练习）如图，中，(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.16．（2022秋·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.17．（2023·全国·八年级假期作业）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________；②如图3，__________；（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________．18．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；（3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．19．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABX+∠ACX＝°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度数．20．平面内的两条直线有相交和